Sistemas de Equações lineares

Sistemas-1
LEIC – FEUP 2003/04
Sistemas de Equações lineares
SEL-1
 x1

Dado o sistema  x1
2 x
 1
+ 2 x2
+
3x3
+
+
−
x3
x3
x2
=
1
= 2 , resolva-o invertendo a matriz dos
= 0
coeficientes.
SEL-2
Considere o seguinte sistema de equações lineares:
 x1

 x1
x
 1
+
+
x2
+ 2ax2
x2
+
=
x3
+ 2ax3
+ ax3
1
= 1
= b
a) Discuta o sistema para os diferentes valores de a e b.
b) Para a = 2 e b = 1 , resolva o sistema pela regra de Cramer.
SEL-3
Considere o sistema:
 x1

2 x1
 x
 1
− x2
+
− x2
+
x3
− 2 x3
x3
=
1
= 4
= 2
a) Para o sistema dado, calcule o valor da incógnita x3 usando a regra de Cramer.
b) Diga se a equação x1 − x2 − x3 = 0 é compatível com o sistema.
SEL-4
Resolva o sistema a seguir apresentado.
−2 x1 + 4 x2
 3x − 6 x

1
2

−2 x1 + 6 x2
 2 x 1 − 5 x2
SEL-5
− 6 x4
+ 10 x4
+
x4
+ 8 x4
= 4
= −1
=
1
= −3
Verifique que o sistema a seguir representado é impossível.
 x1

2 x1
 3x
 1
SEL-6
− 2 x3
+ 6 x3
−
x3
+ 4 x3
+ 2 x2
− x3
+ 2 x4
=
+ 7 x2
+ 8 x2
+ x3
− x3
+
x4
+ 4 x4
= 14
= 17
4
Classifique o sistema seguinte no que se refere ao número de soluções.
 x1

2 x1
4 x
 1
+ 2 x2 − 5 x3 = 2
− 3x2 + 4 x3 = 4
+
x2 − 6 x3 = 8
Álgebra
Sistemas-2
LEIC – FEUP 2003/04
SEL-7
Considere o seguinte sistema:
z =
1
 x + y −

2
=
 x + ay
ax + y + (b − a) z = a + c

a) Discuta o sistema para os diferentes valores de a, b e c.
b) Fazendo a = 2 , b = −1 e c = −1 , escreva o sistema com notação matricial e resolva-o.
SEL-8
Discuta e resolva o sistema seguinte.
 x1 +

 x1 −

 2 x1 +
2 x 1 +
SEL-9
x2
x2
x2
x2
+
x3
+ 2 x3
+
x3
+ 2 x3
= 0
= 2
= 1
= k
Seja o seguinte sistema de equações lineares:
ax1


 x
 1
+ bx2
bx2
= c
− x3
+ cx3
= 1
= 2
Determine a relação entre a, b e c por forma que o sistema só tenha uma variável livre.
SEL-10 Seja o sistema de equações lineares:
 x1
 x
 1

2 x1
 x 1
+
x2
+ 3x2
+ 0 x2
+ 3x 2
+ ax3
+
x3
+ 2 x3
+
x3
+
x4
+ x4
+ 2 x4
− cx4
= b
= 1
= 2
= 1
a) Discuta o sistema para os diferentes valores dos parâmetros a, b e c.
b) Tomando a = 1 e c = −1 , determine a solução geral do sistema homogéneo associado.
Determine ainda a dimensão e uma base para este conjunto de soluções.
SEL-11 Considere o sistema de equações lineares:
 2 x + 3 y + 12 z − 2w = a

− 3z + 4w = b
− x

4 y + 8 z + 8w = c

a) Estabeleça a relação entre a, b e c para que o sistema seja possível.
b) Calcule a solução geral do sistema, sabendo que x
particular.
Álgebra
(1)
= [1 −1 3 0 0] é uma solução
t
Sistemas-3
LEIC – FEUP 2003/04
SEL-12 Considere o sistema de equações lineares:
y + z = b1
 x −

 x − 2 y − z = b2
2 x − 3 y
= b3

Suponha que x
(1)
= [ −1 2 0] é uma solução particular do sistema.
t
a) Determine a solução geral do sistema.
b) Indique dois conjuntos fundamentais de soluções do sistema homogéneo associado ao
sistema dado.
SEL-13 Sabendo que o sistema de equações lineares Ax = b tem duas soluções distintas x1 e x2 ,
prove que α x1 + (1 − α ) x2 também é solução qualquer que seja o número α . Mostre
também que se Ax = b tem duas soluções distintas, então existe uma infinidade de soluções
para o sistema.
SEL-14 Considere o sistema de equações lineares:
 x


ax

− 2z =
y −
−
1
bz =
1
z = 2a
a) Discuta o sistema em função de a e b.
b) Considere a = 1 2 e b = 1 . Calcule a solução geral do sistema homogéneo associado.
SEL-15 Considere o sistema homogéneo Ax = O e seja x (1) uma solução particular do sistema.
Seja B uma matriz tal que AB = BA . Mostre que x (2) = Bx (1) também é uma solução do
sistema homogéneo.
SEL-16 Sendo A uma matriz quadrada regular de ordem n, isto é A tem matriz inversa, prove que
os sistemas de n equações em n incógnitas AX = B e A−1 X = C possuem a mesma solução
se e só se B = A2C .
SEL-17 Classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa e escreva uma
justificação sucinta da resposta.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Todo o sistema de equações lineares tem pelo menos 1 solução.
Todo o sistema de equações lineares tem no máximo 1 solução.
Todo o sistema de equações lineares homogéneo tem pelo menos 1 solução.
Todo o sistema de n equações lineares em n incógnitas tem pelo menos 1 solução.
Todo o sistema de n equações lineares em n incógnitas tem no máximo 1 solução.
Se o sistema homogéneo associado a um sistema de equações lineares tem 1 solução,
então o sistema tem solução.
7. Se a matriz dos coeficientes de um sistema homogéneo de n equações lineares em n
incógnitas é invertível, então o sistema não tem soluções não triviais.
Álgebra
Sistemas-4
LEIC – FEUP 2003/04
Soluções
SEL-1
x1 = −3, x2 = 11, x3 = −6 .
SEL-2
a)
a = 1 , b ≠ 1 - sistema impossível
a = 1 , b = 1 - sistema indeterminado
a = 1 2 , ∀b - sistema indeterminado
a ≠ 1 , a ≠ 1 2 , ∀b - sistema possível e determinado
 x1  1 
   
b) x2 = 0
   
 x3  0 
SEL-3
a) x3 = −1 3 .
SEL-4
 x1   1
 x   1
2
O sistema é possível e determinado com solução   =   .
 x3   2
   
 x4   −1
SEL-6
O sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação igual a 1.
SEL-7
a)
b)
SEL-8
b) A equação não é compatível.
∀a, b = −1 , c ≠ −1 - sistema impossível
∀a, b = −1 , c = −1 - sistema possível e indeterminado
a ≠ 1 , b ≠ −1, ∀c - sistema possível e determinado
a = 1 , b = c - sistema possível e indeterminado
a = 1 , b ≠ c - sistema impossível
1 1 −1  x  1 
2z
x =

   
Sistema em notação matricial 1 2 0 y = 2 , solução 

   
 y = 1− z
 2 1 −3  z  1 
Se k ≠ 1 , o sistema é impossível.
 x1   1
   
Se k = 1 , o sistema é possível e determinado com solução x2 = −1 .
   
 x3   0
SEL-9
a = −1, c = −1, ∀b ∈ R ou a = 1 2, c = 2, ∀b ∈ R ou b = 0, ac = c − 2a .
Álgebra
Sistemas-5
LEIC – FEUP 2003/04
SEL-10 a)
a = 1, b ≠ 1, ∀c - sistema impossível
a ≠ 1, c ≠ −1, ∀b - sistema possível e determinado
a ≠ 1, c = −1, ∀b - sistema possível e indeterminado (de grau 1)
a = 1, b = 1, c ≠ −1 - sistema possível e indeterminado (de grau 1)
a = 1, b = 1, c = −1 - sistema possível e indeterminado (de grau 2)
 x1 
 −1
 −1
x 
 0
 0
2
b) solução geral do sistema   = λ1   + λ2   .
 x3 
 1
 0
 
 
 
 x4 
 0
 1
  −1  −1 
    
0 
 0
O espaço tem dimensão 2 ; uma base possível é    ,   
  1  0  
  0   1 
4
8
a− b+c = 0.
3
3
x  1 
 −3
 4
 y   −1 3
 −2 
 −2 






b) A solução geral do sistema é
=
+λ
+λ  .
 z   0  1  1 2  0 
  

 
 
 w  0 
 0
 1
SEL-11 a)
O Sistema é possível se −
 x   −1
 −3




 
SEL-12 a) A solução geral do sistema é y = 2 + λ −2 .
   
 
 z   0 
 1
  −3     6  
     
b) Conjuntos fundamentais de soluções :  −2  e  4  .
 
 
  1    −2  
     
SEL-14 a) Para a = 1 2 o sistema é impossível. Para a ≠ 1 2 o sistema é possível e determinado
x
 2
 
 
b) A solução geral do sistema é y = k 1 .
 
 
 z 
 1
Álgebra