2 – Matrizes

Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
1
Matriz (
Definição
Conjunto de
elementos dispostos em
[
linhas e
colunas.
]
Ex.: 0
2
)
1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas.
Elemento
Definição
Elemento de
da matriz
(
)
que se encontra na linha e na coluna .
Ex.:
0
1
3
Definição
Soma de duas matrizes,
e
(
)
Matriz cujos elementos são a soma dos elementos análogos de
[
e de .
]
[
]
[
Ex.: 0
4
1
]
0
Propriedades
1
0
1
0
1
Propriedades da soma de matrizes (
Associatividade: (
)
(
)
)
Comutatividade:
1
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
Exs.:
Associatividade: .0
0
1
0
1/
0
1
0
1
.0
1
0
1/
1
Comutatividade: 0
5
1
0
1
0
Matriz cujos elementos são o produto de
[
6
1
0
1
(
)
pelos elementos análogos de .
]
[
1
0
Produto de um número real, , por uma matriz,
Definição
Ex.: 0
1
]
0
1
0
1
Propriedades do produto de números reais por matrizes (
Propriedades
)
Associatividade: (
)
(
)
Comutatividade:
Distributividade em : (
)
Distributividade no espaço das matrizes:
(
)
)0
1)
Exs.:
Associatividade: , (
)- 0
Comutatividade: 0
1
Distributividade em : (
Distributividade
0
2
1
0
1
1
0
((
1
)0
0
1
0
1
1
0
no espaço das matrizes:
1
0
.0
1
0
1
1
0
1/
0
1
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
7
Vector linha (
Definição
Matriz que tem
Ex.: ,
8
linha.
- é um vector linha porque é uma matriz com
Vector coluna (
Definição
Matriz que tem
Ex.: 0
coluna. Representação matricial de um vector de
(
Definição
linha.
)
1 é um vector coluna porque é uma matriz com
do vector de
9
)
.
linha, e é a representação matricial
).
Matriz quadrada (
)
Matriz cujos números de linhas e de colunas são iguais.
Ex.: 0
10
1 é uma matriz quadrada porque tem tantas linhas como colunas: .
Definição
Diagonal principal de uma matriz quadrada
Conjunto de elementos de
cujos índices de linha e de coluna são iguais.
{
Ex.:
0
11
Definição
}
*
1
+
Diagonal secundária de uma matriz quadrada
Conjunto de elementos de
cujos índices de linha e de coluna somam
{
Ex.:
0
1
.
}
*
+
3
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
12
Definição
Matriz
triangular superior
Matriz cujos elementos que estão abaixo da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
superior ao índice de coluna, são .
[
Ex.: [
13
]
] é uma matriz triangular superior.
Definição
Matriz
triangular inferior
Matriz cujos elementos que estão acima da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
inferior ao índice de coluna, são .
[
Ex.: [
14
]
] é uma matriz triangular inferior.
Definição
Matriz
diagonal
Matriz cujos elementos não pertencentes à diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
diferente do índice de coluna, são . Matriz que é simultaneamente triangular superior e
triangular inferior.
[
Ex.: [
15
]
] é uma matriz diagonal.
Definição
Matriz identidade de dimensão
(
)
Matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são
multiplicação de matrizes.
4
. Elemento neutro da
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2 – Matrizes
[
]
Ex.: 0
1 é a matriz identidade de dimensão .
16
( ( ))
Traço de uma matriz
Definição
Soma dos elementos da diagonal principal de .
[
( )
]
∑
.0
Ex.:
17
(
)
1/
Definição
Produto de duas matrizes
e
(
Perspectiva do produto interno: Matriz cujo elemento
de
)
é o produto interno da linha
e da coluna de .
Perspectiva das colunas: Matriz cujas colunas são combinações lineares das colunas de
, sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada coluna de .
Perspectiva das linhas: Matriz cujas linhas são combinações lineares das linhas de
,
sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada linha de .
0
Ex.:
1
Perspectiva
⟨(
)(
0
do
)
(
produto
)⟩
Perspectiva das
(
1
1 porque:
interno:
⟨(
)(
⟨(
)(
)⟩
)
(
)
(
)
⟨(
)(
)⟩
)⟩
(
colunas:
(
)
(
)
(
)
)
Perspectiva das linhas:
(
0
(
)
(
)
(
)
)
5
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
18
Facto
Condição suficiente e necessária para a existência do produto de
duas matrizes
O produto de duas matrizes
e ,
, existe se e só se o número de colunas de
for igual
ao número de linhas de . A matriz resultante do produto tem tantas linhas como
e tantas
colunas como .
Ex. 1:
0 1
,
-
Ex. 2:
0 1
0
1
19
Propriedades
0
1
Propriedades do produto de matrizes (
Associatividade: (
)
Distributividade: (
(
)
)
)
Exs.:
Associatividade: .0
10
1/ 0
Distributividade:
.0
1
0
1
20
Algoritmo
1
1
0
0
1/ 0
1 .0
1
10
0
10
1/
0
1
0
1
10
Algoritmo para a multiplicação por blocos de duas matrizes
Identificação de sub-matrizes: Dividir
e
1
e
em sub-matrizes, estabelecendo traços
divisórios verticais e horizontais em cada uma delas.
Divisão vertical de
de
e horizontal de : Escolher o número de traços divisórios verticais
e o número de colunas que separa cada um deles. Dividir
horizontalmente de
maneira análoga, no que diz respeito ao número de traços divisórios e número de linhas
entre eles.
Divisão horizontal de
divisórios horizontais de
6
e vertical de
e verticais de .
: Escolher uma qualquer configuração de traços
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2 – Matrizes
Produto de sub-matrizes: Considerar cada sub-matriz criada como um elemento da
2
matriz a que pertence e efectuar o produto de
e
nesta perspectiva, multiplicando
matrizes e não números reais.
[
Ex.:
]
[
Identificação de sub-matrizes:
1
[
0 1
0
1
, -
,
-
,
-
,
-
0
1
0
1
[
2
[
]
]
]
[
]
Produto de sub-matrizes:
[
[
]
][
]
[
]
0 1,
-
0
10
1
0 1,
-
0
10
1
, -,
-
,
-0
1
, -,
-
,
-0
1
[
21
]
[
0
1
0
1
,
-
,
-
]
]
Matrizes
Definição
e
comutativas entre si
Matrizes cujo produto é igual, independentemente da ordem por que é efectuado.
Ex.: 0
0
22
1
10
0
1
1
Definição
0
0
10
1.
Matriz
idempotente
Matriz que é igual ao seu quadrado, ou seja, ao produto de
Ex.: 0
1
1 é idempotente porque 0
1
0
10
por .
1
0
1.
7
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
23
Matriz transposta de uma matriz
Definição
Matriz cujas linhas são as colunas de
elemento
Ex.: 0
24
é o elemento
*
+
*
+
*
+
1
)
e cujas colunas são as linhas de
. Matriz cujo
de .
*
0
(
+
1
Propriedades
Propriedades
da
transposição
de
matrizes
(
)
Soma: (
)
Produto de números reais por matrizes: (
Produto de matrizes: (
)
)
Adjunta:
,
( )-
Inversa:
(
)
(
(
)
)
Exs.:
Soma: .0
1
0
1/
0
1
0
1
0
Produto de números reais por matrizes: . 0
1/
0
Produto de matrizes: .0
1 0
1
Adjunta: .
Inversa: (0
25
Definição
0
10
1/
1 )
Matriz
1/
1 )
(0
(0
0
1 )
0
0
1
0
0
1
1
1
1
simétrica
Matriz que é igual à sua transposta. Matriz cujo elemento
*
8
1
+
é igual ao seu elemento
.
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
Ex.: 0
26
1 é simétrica porque 0
1
Matriz
Definição
0
1.
anti–simétrica
Matriz que é igual à simétrica da sua transposta. Matriz cujo elemento
simétrico do seu elemento
.
*
Ex.: 0
27
é igual ao
1 é anti–simétrica porque 0
+
1
0
1
0
1.
Produto interno de vectores e produto de matrizes
Facto
O produto interno de
vectores de
é equivalente ao produto da forma matricial
transposta de um deles e a forma matricial do outro.
(
⟨
⟩
)
[
⟨(
]
(
)
)(
Ex.: ⟨(
)(
)⟩
28
Definição
,
)⟩
-0 1
,
[ ]
,
-[ ]
,
-[
]
-0 1
Matriz inversa de uma matriz
(
) (se existir)
Matriz cujo produto por , por qualquer ordem, resulta na matriz identidade de dimensão .
Ex.: 0
29
1
Definição
0
1 porque 0
Matriz
10
1
0
10
1
0
1.
não singular
Matriz que possui uma matriz inversa.
9
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
Ex. 1: 0
1
Ex. 2: 0
30
0
1
0
Matriz
Definição
10
1
1
0
0
1
10
1
0
0
1
1
0
1
auto-inversa
Matriz que é igual à sua inversa.
Ex.: 0
31
1
0
-
Definição
Matriz
1
0
1.
ortogonal
Matriz cuja inversa é igual à sua transposta.
Ex.: [
]
32
Propriedades
[
]
[
[
].
Propriedades da inversão de matrizes (
Produto de números reais por matrizes: (
Produto de matrizes: (
Transposta: (
]
)
(
)
)
)
)
Exs.:
Produto de números reais por matrizes: . 0
Produto de matrizes: .0
10
1/
0
1 )
(0
1 )
0
Transposta: (0
10
1/
0
1
0
1
1
1
[
0
]
1
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
33
Operações elementares sobre filas de matrizes
Definição
Troca:
Produto por números reais:
Soma de combinações lineares das restantes filas:
Exs.:
]→
Troca: [
[
]
]→ [
Produto por números reais: [
]
]→
Soma de combinações lineares das restantes filas: [
34
[
]
Operações elementares sobre linhas de uma matriz e matriz
Facto
identidade
Realizar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz
efectuar o produto
, sendo
a matriz que resulta da realização da mesma operação
sobre a matriz identidade de dimensão
]→
Ex.: [
[
]→
35
Facto
[
[
é equivalente a
.
]
] [
][
]
[
]
Operações elementares sobre linhas de matrizes e inversão de
matrizes
Realizar operações elementares sobre as linhas da matriz identidade de dimensão
mesmas operações sobre as linhas de uma matriz
identidade de dimensão
Ex.:
,
0
até que
transforma a matriz identidade em
e as
se transforme na matriz
.
1
-
0
1→
0
1→
11
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
]→
[
[
36
1
[
]
,
-
]
Algoritmo de eliminação de Gauss para inversão de uma matriz
Algoritmo
Triangulação superior: Aplicar os seguintes passos, substituindo
por
. Depois,
repeti-los, substituindo por . Continuar a repeti-los, substituindo pelos restantes índices
de linha da matriz, de forma crescente, até
Transformação de
num número não nulo: Se
for , trocar a linha com outra
linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna não seja . Caso contrário, saltar este passo.
Transformação de
em : Se
não for , dividir a linha por
. Caso contrário,
saltar este passo.
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha
elemento da coluna não seja
cujo
o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha
.
2
Triangulação inferior: Depois de concluída a triangulação superior, aplicar o
1º passo abaixo indicado. Depois, aplicar o 2º passo, substituindo por . Repeti-lo,
substituindo por
. Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices
de linha da matriz, de forma decrescente, até
Transformação de
em
: Se
não for
, dividir a linha
por
. Caso
contrário, saltar este passo.
Anulação da parte superior da coluna : Subtrair a cada linha acima da linha
elemento da coluna não seja
.
Ex.:
12
[
]
cujo
o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha
Apontamentos Álgebra Linear
2 – Matrizes
1
Triangulação superior:
,
-
]→
[
]→
[
]→
[
[
]
→
[
]
2
[
]
Triangulação inferior:
→ [
[
]
[
]→
[
]→
[
[
]
]
[
]
,
-
]
13