´Algebra Linear

Álgebra Linear
Determinantes, Valores e Vectores Próprios
Jorge Orestes Cerdeira
Instituto Superior de Agronomia
- 2010 -
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
2
Conteúdo
1 Determinantes
5
2 Valores e vectores próprios
13
2.1
Valores e vectores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3
CONTEÚDO
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
4
Capı́tulo 1
Determinantes
Vamos associar a cada matriz quadrada um valor que se define da seguinte forma.
Definição 1 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e A′ a matriz em escada que
se obtem de A por aplicação da fase descendente do método de eliminação de Gauss,
utilizando exclusivamente as operações elementares de troca de linhas e substituição de
uma linha por soma desta com um múltiplo de outra linha. Chama-se determinante de
A e representa-se por det A ou |A|, o valor
det A = |A| = δa′11 a′22 · · · a′nn ,
em que a′11 , a′22 , . . . , a′nn são os elementos da diagonal principal da matriz A′ e

 1 se é par o no de trocas de linhas efectuadas no processo A → · · · A′ ,
δ=
 −1 caso contrário.
Exemplos 1

1. A = 
1
2


→
1
2

 = A′ e portanto det A = 1 × (−3) = −3.
−1 −5
0 −3




0 5
−3 4
→
 = A′ e portanto det A = −1 × (−3) × 5 = 15.
2. A = 
−3 4
0 5
5

3. De uma forma geral, tem-se det 




a11 a12
 = a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22





−1 1 3
−1 1 3
−1 1 3
0 5 −1
















4. A =  −3 4 2  →  −3 4 2  →  0 1 −7  →  0 1 −7  = A′








0 0 34
0 5 −1
0 5 −1
−1 1 3
e portanto

1


5. A =  2

−1
det A = −1 × (−1) × 1 × 34 = 34.





1 3
4
1 3
4
3 4










4 6  →  0 −2 −2  →  0 −2 −2  = A′ e portanto det A =





0 0
0
0 4
4
1 0
1 × (−2) × 0 = 0.
Exercı́cios 1 Prove os seguintes resultados.
1. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal
principal.
2. Uma matriz com uma linha ou uma coluna de zeros tem determinante igual a zero.
3. É nulo o determinante de uma matriz com linhas proporcionais.
O determinante satisfaz a seguinte propriedade.
Proposição 1.1 Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, tem-se det(AB) =
det A det B, i.e., o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes.
É claro que não poderá haver grandes expectativas relativamente à quantidade de informação que o determinante contem da matriz. De facto, não é razoável admitir que
um único valor possa reter muito conhecimento sobre os n2 elementos de uma matriz de
ordem n. No entanto, o determinante permite caracterizar a invertibilidade de matrizes.
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6
CAPÍTULO 1. DETERMINANTES
Proposição 1.2 Uma matriz quadrada A é invertı́vel sse det A 6= 0. Se a matriz A é
invertı́vel, então det A−1 =
1
.
det A
Demonstração: É sabido que uma matriz quadrada A é invertı́vel sse todas as colunas de
A′ , a matriz em escada obtida aplicando a A a fase descendente do método de Gauss, têm
pivots. Como os pivots são os elementos não nulos da diagonal principal de A′ e det A é,
a menos do sinal, o produto dos elementos da diagonal principal de A′ , tem-se det A 6= 0
sse A é invertı́vel.
Se A é invertı́vel, det(AA−1 ) = 1 = det A det A−1 , donde se conclui que det A−1 =
1
.
det A
Vamos agora apresentar uma forma alternativa de calcular o determinante. Para isso
precisamos da seguinte definição.
Definição 2 Chama-se complemento algébrico ou co-factor do elemento (i, j) da matriz
A e representa-se por ∆ij o valor ∆ij = (−1)i+j Aij , em que Aij é o determinante da matriz
que se obtem de A eliminando a linha i e a coluna j.




2 4 −2


3
0


 = 15, ∆21 = (−1)2+1
Exemplo 2 Se A =  1 3
0  , ∆11 = (−1)2 det 


2 5
−1 2
5


4 −2
 = (−1) × 24 = −24.
det 
2
5
Teorema 1.3 (Teorema de Laplace) Sejam i e j, respectivamente, uma linha e uma
coluna arbitrárias da matriz A de ordem n. Tem-se
det A = ai1 ∆i1 + ai2 ∆i2 + · · · + ain ∆in = a1j ∆1j + a2j ∆2j + · · · + anj ∆nj .
Exemplos 3








2 3 −1


5 7
4 7
4 5


 − 3 det 
 − 1 det 
 = 2 × 19−
1. det  4 5
7  = 2 det 


−2 1
0 1
0 −2
0 −2 1
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7
3 × 4 − (−8) = 34.

0


1
2. det 

2

0
5 3 2






0 5 2



4 0 0
1
4

 = −2 det 
 = −2 × 2 × (−5) = 20.
 1 4 0  = −2 × 2 det 




3 1 0
2 3

2 3 0
0 2 0
Terminamos a matéria sobre determinantes com uma curiosa aplicação, que nos vai permitir obter de forma expedita um vector que é ortogonal a cada um de dois vectores dados
de R3 .
Definição 3 Sejam x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2, y3 ) vectores de R3 . Chama-se produto
externo de x e y e representa-se por x × y, o vector de R3
x × y = (x2 y3 − x3 y2 , −x1 y3 + x3 y1 , x1 y2 − x2 y1 ).
O vector x ×
“aplicando” da seguinte forma o Teorema de Laplace

y pode ser memorizado
e
 1

à “matriz”  x1

y1

e
 1

x×y = “ det  x1

y1
e2 e3


x2 x3  , em que e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Tem-se pois,

y2 y3

 
 
 






e2 e3
1
0
0




x2 x3 
x1 x3 
x1 x2 













 0 −det
 1 +det
 0 .
x2 x3  ” = det

y2 y3  
y1 y3  
y1 y2  
y2 y3
0
0
1


e e2 e3

 1


Exemplo 4 (1, −2, 0) × (1, 0, 1) = “ det  1 −2 0  ” = (−2, −1, 2).


1 0 1
Para mostrar que o vector produto externo x × y é ortogonal a x e a y, consideremos a
seguinte definição.
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CAPÍTULO 1. DETERMINANTES
Definição 4 Sejam z = (z1 , z2 , z3 ), x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) vectores de R3 .
Chama-se produto misto de z, x e y ao produto interno de z por x × y, i.e.,








z1 z2 z3


x2 x3
x1 x3
x1 x2








z|x×y = z1 det
−z2 det
+z3 det
= det  x1 x2 x3  .


y2 y3
y1 y3
y1 y2
y1 y2 y3
Tem-se então o seguinte resultado.
Proposição 1.4 Sejam x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) vectores de R3 . O produto
externo de x e y é um vector ortogonal a x e a y.


x x x
 1 2 3


Demonstração: x|x × y = det  x1 x2 x3  = 0, pois é o determinante de uma matriz


y1 y2 y3
com duas linhas iguais e portanto x ⊥ x × y.
O mesmo raciocı́nio permite concluir que y|x × y = 0, i.e., y ⊥ x × y. Assim, se {x, y} é linearmente independente, x × y é ortogonal ao plano gerado por x e y
(ver a Figura 1).
V⊥
x×y
y
V
x
Figura 1.1: O vector produto externo de dois vectores x e y que geram um plano V de R3
A norma do vector produto externo é dada pelo seguinte resultado.
Proposição 1.5 Se x e y vectores de R3 , kx × yk = kxkkyk| sin θ|.
Demonstração: Por cálculo algébrico não há dificuldade em estabelecer que kx × yk2 =
kxk2 kyk2 − (x|y)2. A demonstração prossegue tendo em conta que kxk2 kyk2 − (x|y)2 =
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9
kxk2 kyk2 − kxk2 kyk2 cos2 θ = kxk2 kyk2 (1 − cos2 θ) = kxk2 kyk2sin2 θ ⇒ kx × yk =
kxkkyk| sin θ|. Assim, a norma do produto externo kx × yk é a área do paralelogramo de lados x e y (ver
a Figura 1).
y
h
θ
x
Figura 1.2: kx × yk = kxkkyk| sin θ| = kxkh, é a área do paralelogramo de lados x e y.
Também se pode concluir que o valor absoluto do produto misto |x × y|z| é o volume do
paralelipı́pedo definido por x, y e z (ver a Figura 1).
x×y
z
projx×y z
y
kx × yk
x
Figura 1.3: |x×y|z| = kx×ykkzk| cos θ| = kx×ykkprojx×y zk, é o volume do paralelipı́pedo
definido por x, y e z.
Exercı́cios 2
1. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes indicando se é invertı́vel.
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CAPÍTULO 1. DETERMINANTES

a) 

cos α
sin α
− sin α cos α
1
1
2 0

, α ∈ R





 −1 1 1 2 


d) 

 2 −1 1 1 


1
1 1 1

2


b)  1

1

2


 2
e) 

 0

5

4 18



3 15 

0 6
0
2
1



−2 1
0 


1
0 −2 

1 −1 3
3


c)  1

0

1


 2
f) 

 5

0
2 1



1 2 

2 1
3 4 3



0 0 2 
.

6 1 6 

0 0 1
2. Utilizando a noção de produto externo, indique
a) um vector ortogonal aos vectores u = (1, 1, 2) e v = (1, 0, 1),
b) uma equação cartesiana do plano definido por
(x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (1, 1, 2) + µ (1, 0, 1) , ∀λ, µ ∈ R.
3. Sejam P0 = (x0 , y0, z0 ) um ponto de R3 e u = (u1, u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) vectores
linearmente independentes de R3 . Mostre que a equação
x − x0 y − y0 z − z0 u1
u2
u3 = 0
v1
v2
v3 define o plano que passa no ponto P0 e que contém as direcções dos vectores u e v.
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12
Capı́tulo 2
Valores e vectores próprios
2.1
Valores e vectores próprios
Definição 5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Um vector v não nulo de Rn é
vector próprio de A se existir um número λ tal que Av = λv. O número λ chama-se valor
próprio associado ao vector próprio v.

Exemplo 5 
1 2


1


=
3


 = 3
1

 . Diz-se pois que 
0 3
1
3
1

1 2
 e 3 é o valor próprio associado.
da matriz 
0 3


1
1

 é vector próprio
Note que os vectores próprios associados a λ são os vectores v, não nulos, tais que Av =
λv ⇔ Av = λIv ⇔ (A − λI)v = ~0, i.e., são os vectores de N (A − λI) \ {~0}.
Tem-se pois provado os seguintes resultados.
Teorema 2.1 Seja A uma matriz quadrada.
1. λ é valor próprio de A sse o espaço nulo da matriz A − λI inclui vectores não nulos,
i.e., N (A − λI) 6= {~0}.
13
2.1. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
2. Se λ é valor próprio de A, os vectores próprios associados a λ são os vectores não
nulos de N (A − λI).
Definição 6 Se λ é valor próprio da matriz A, o espaço nulo de A−λI chama-se subespaço
próprio de λ e representa-se por E(λ).


2 −5
5




Exemplo 6 Consideremos a matriz A =  0
3 −1  .


0 −1
3
Para decidir se 2 é valor próprio de A, vamos ver se o espaço nulo da matriz A − λI, com
λ = 2, inclui vectores não nulos, i.e., se existem soluções não nulas do sistema homogéneo
(A − 2I)x = ~0.
Aplicando a fase descendente do método
 

2 0
2 −5
5
 

 

A − 2I =  0
3 −1  −  0 2
 

0 0
0 −1
3
de Gauss à matriz A − 2I, tem-se



 
0 −5 5
0 −5
5
0



 



 
0 0 .
1 −1  →  0
0 = 0



 
0
0 0
0 −1
1
2
Como a matriz em escada obtida tem colunas sem pivots, podemos concluir que o sistema
(A − 2I)x = ~0 tem soluções não nulas, o que permite concluir que 2 é valor próprio da
matriz A.
Para identificar os vectores próprios associados ao valor próprio 2, vamos determinar o
espaço próprio E(2), que é o conjunto das soluções do sistema (A − 2I)x = ~0. Para isso
aplica-se a fase ascendente do método de Gauss à matriz em escada obtida anteriormente.
Assim,




0 1 −1
0 −5 5




n




 0
0  e portanto E(2) = v = (v1 , v2 , v3 ) :
0 0 → 0 0




0 0
0
0
0 0
v1 = ∀
v2 = v3
o
.
v3 = ∀
Os vectores próprios associados ao valor próprio 2 são os vectores não nulos de E(2), i.e.,
os vectores não nulos de R3 que têm a segunda componente igual à terceira.
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14
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Podemos facilmente verificar que, se v é um qualquer vector de E(2), i.e., v = (a, b, b),
tem-se




2a
a
2 −5
5
  

  

Av =  0
3 −1   b  =  2b
  

2b
b
0 −1
3



 = 2v.

O ponto 2 do Teorema 2.1 indica (e o Exemplo 6 ilustra) como se podem identificar
os vectores próprios associados a cada valor próprio. Vamos agora ver como é que se
determinam os valores próprios de uma matriz.
O ponto 1 do Teorema 2.1 estabelece que λ é valor próprio da matriz A sse o sistema
homogéneo (A − λI)x = 0 é indeterminado, que como sabemos é equivalente à não
existência de inversa da matriz A − λI, ou ainda ao facto do determinante de A − λI ser
igual a zero. Tem-se pois o seguinte resultado.
Proposição 2.2 λ é valor próprio de A sse det(A − λI) = 0.
Assim, os valores próprios de A são os valores de λ que anulam a função p(λ) = det(A−λI).
Vamos ver que a função p(λ) é um polinómio na variável λ.




a11 a12
a11 − λ
a12
 é uma matriz genérica de ordem 2, A − λI = 
e
Se A = 
a21 a22
a21
a22 − λ
p(λ) = det(A − λI) = (a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 = λ2 − (a11 − a22 )λ − a12 a21 é um
polinómio de

a
 11

Se A =  a21

a31
grau 2.
a12 a13
a22
a32






é
uma
matriz
de
ordem
3,
A−λI
=

a23 


a33
p(λ) = det(A − λI) =

(a11 − λ) det 

+ a13 det 
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a22 − λ
a23
a32
a33 − λ

a21 a22 − λ
a31
a32


a11 − λ
a12
a13
a21
a22 − λ
a23
a31
a32
a33 − λ
a21


 − a12 det 
a23
a31 a33 − λ
.
15




+
2.1. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Uma vez que o 1o termo é um polinómio de grau 3 e os 2o e 3o termos são polinómios de
grau 1, p(λ) é um polinómio de grau 3.
Repetindo este raciocı́nio para matrizes genéricas de ordens 4, 5, . . . , conclui-se o seguinte.
Proposição 2.3 Se A é uma matriz quadrada de ordem n, a função p(λ) = det(A − λI)
é um polinómio de grau n, que se chama polinómio caracterı́stico de A.
Os valores próprios são portanto os zeros do polinómio caracterı́stico.
Exemplos 7

1 0 1





1. Para determinar os valores próprios da matriz A =  0 1 0  considera-se o


1 2 1
polinómio caracterı́stico


1−λ
0
1




p(λ) = det  0
1−λ
0  = (1 − λ)((1 − λ)2 − 1) = (1 − λ)(−λ)(2 − λ).


1
2
1−λ
Os valores próprios de A são 0, 1 e 2, pois são os valores de λ que anulam o polinómio
caracterı́stico.

0 1 0


2. O polinómio caracterı́stico da matriz A =  −1 0 0

0 0 1

−λ 1
0


p(λ) = det  −1 −λ
0

0
0 1−λ



 é




 = (1 − λ)(λ2 + 1).

Os valores próprios de A são λ = 1 e os zeros de λ2 + 1, que são os números
imaginários i e −i.
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16
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Uma matriz A de ordem n tem n valores próprios, reais e/ou complexos, distintos ou não.
O número de vezes que λ aparece como zero do polinómio é a multiplicidade algébrica de
λ. Assim, por exemplo, os zeros de (2 − λ)2 λ(1 + λ)3 são 2, 0 e −1 com multiplicidades
algébricas iguais a 2, 1 e 3, respectivamente.
Note que em cada um dos Exemplos 7 a soma dos valores próprios é igual à soma dos
elementos da diagonal principal da matriz A. Também o determinante de cada matriz e o
produto dos correspondentes valores próprios são iguais. Tal facto não é uma coincidência,
como estipulam os dois resultados seguintes, que permitem de alguma forma averiguar
eventuais erros cometidos no cálculo dos valores próprios.
Proposição 2.4 Sejam λ1 , λ2 , . . . , λn os valores próprios de uma matriz A de ordem n.
1. A soma dos valores própios é igual ao traço da matriz, i.e., λ1 + λ2 + · · · + λn =
a11 + a22 + · · · + ann .
2. O produto do valores próprios é igual ao determinante da matriz, i.e., λ1 λ2 . . . λn =
det A.
Resulta directamente do ponto 2 da Proposição 2.4 a seguinte caracterização da invertibilidade de matrizes em termos de valores próprios.
Proposição 2.5 Uma matriz é singular (i.e., não é invertı́vel) sse zero é valor próprio.
Exercı́cios 3


1 1 0




1. Considere a matriz A =  0 2 2 .


0 2 5
a) Verifique que (1, 5, 10) é vector próprio.
b) Verifique que 1 é valor próprio.
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
17
2.1. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS


0
1 −1




2. Verifique que −1 é valor próprio da matriz A =  1
0 −1  e determine os


1 −1
0
vectores próprios associados a −1.
3. Determine os valores próprios e correspondentes vectores próprios de cada uma das
seguintes matrizes, indicando em cada caso, uma base e a dimensão do subespaço
próprio associado a cada valor próprio.








1 1 0
1
0 0




2 1
0 −1



, B = 
, C = 
A=
 −7 1 0  , D =  0 2 2  ,




0 1
1 0
0 2 5
4 −3 1






1 1 0 0


3 1 0
1 2 −2






 0 1 0 0 




.
E =  2 1 0 , F =  1 3 0 , G = 






 0 0 −2 0 


0 0 2
−2 0 1
0 0 0 2

1 1 −1


4. Considere a matriz A =  2 2

1 a



0 , com a ∈ R.

a
a) Determine os valores do parâmetro a para os quais a matriz A admite o valor
próprio zero.
b) Para cada um dos valores de a obtidos na alı́nea anterior calcule os valores
próprios de A e identifique os correspondentes vectores próprios.
c) Discuta, em função do parâmetro a, a invertibilidade da matriz A.
5. Seja v um vector próprio associado ao valor próprio λ de uma matriz A.
a) Mostre que, para todo o real α, v é um vector próprio da matriz A − αI e
indique o valor próprio associado.
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18
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
b) Mostre que, para todo o inteiro n, v é vector próprio da matriz An e indique o
valor próprio associado.
2.2
Diagonalização
Uma questão importante no estudo dos valores e vectores próprios é a diagonalização de
matrizes. Começamos esta secção com a definição de matrizes semelhantes.
Definição 7 Duas matrizes quadradas da mesma ordem A e B são semelhantes se existir
uma matriz invertı́vel P , tal que B = P −1 AP .


0
1
0




Exemplo 8 As matrizes A =  1 −3 −1  e


0 −1
1

1


De facto, tomando a matriz invertı́vel P =  0

−1



P −1 AP = 

0 0 −1



1
2 1







B =  −1
0 0  são semelhantes.


4 −5 3

1 0


2 1  tem-se

0 0

1
2 1
1 1 0
0
1
0

 



 


=






−1
0 0  = B.
0 2 1
1 −3 −1
1 0
1

 


4 −5 3
−1 0 0
0 −1
1
−2 1 −2
Pode provar-se o seguinte.
Proposição 2.6 Matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios.
Demonstração: Se A e B são matrizes semelhantes, existe uma matriz invertı́vel P tal que
B = P −1 AP . Assim, tem-se det(B − λI) = det(P −1 AP − λI) = det(P −1 AP − λP −1 P ) =
det(P −1 (AP − λP )) = det(P −1 (A − λI)P ) = det P −1 det(A − λI) det P = det(A − λI),
i.e., as matrizes A e B têm o mesmo polinónimo caracterı́stico e, consequentemente, os
mesmos valores próprios. ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
19
2.2. DIAGONALIZAÇÃO
Definição 8 Uma matriz quadrada A é diagonalizável se é semelhante a uma matriz
diagonal, i.e., existe uma matriz P invertı́vel, tal que D = P −1 AP é uma matriz diagonal.
Diz-se que P é matriz de diagonalização.
Observação 1 Se a matriz A é semelhante à matriz diagonal D,
1. os valores próprios A são os elementos da diagonal principal de D;
2. como D = P −1AP ⇔ A = P DP −1, tem-se,
para todo o k ∈ Z+ , Ak = (P DP −1)(P DP −1)...(P DP −1) = P D k P −1 .
{z
}
|
k vezes
O resultado seguinte estabelece uma condição necessária e suficiente para uma matriz ser
diagonalizável.
Teorema 2.7 Uma matriz quadrada A de ordem n é diagonalizável sse existem n vectores
próprios de A que formam um conjunto linearmente independente.
Demonstração:
(i) Se A é diagonalizável, existe uma matriz P invertı́vel, tal que D = P −1 AP é matriz
diagonal.

Sejam P = 
w1 w2 . . . wn
|
|



 e D=


|
λ1 · · ·
..
.
0
0
· · · λn



.

Note que D = P −1 AP ⇔ P D = AP .



Aw1 Aw2 . . . Awn
λ w λ w ...
 e PD =  1 1 2 2
Como AP = 
|
|
|
|
|
λn w n
|

,
AP = P D significa que Aw1 = λ1 w1 , Aw2 = λ2 w2 , . . . , Awn = λn wn , i.e., w1 , w2,
. . . , wn são n vectores próprios de A. Esses vectores próprios formam um conjunto
linearmente independente uma vez que são as colunas da matriz invertı́vel P .
Note também que os valores próprios associados às colunas de P são os elementos
da diagonal principal matriz D.
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
20
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
(ii) Se {v1 , v2 , . . . , vn } é um conjunto de vectores próprios de A linearmente independente
e λ1 , λ2 , . . . , λn os valores próprios associados, vamos definir a matriz invertı́vel




λ1
0


v1 v2 . . . vn

..
 e a matriz diagonal D := 
P := 
.

.


| |
|
0
λn
As igualdades Av1 = λ1 v1 , Av2 = λ2 v2 , . . . , Avn = λn vn podem ser escritas matricialmente na forma

 

Av1 Av2 . . . Avn
λ1 v1 λ2 v2 . . . λn vn

=
 ⇔ AP = P D ⇔ P −1AP = D,
|
|
|
|
|
|
que permite conluir que A é diagonalizável. Observação 2 Na demonstração do Teorema 2.7 constatou-se o seguinte. Se P é uma
matriz de diagonalização da matriz A de ordem n,
1. as n colunas de P são vectores próprios de A que formam um conjunto linearmente
independente;
2. o valor próprio associado à coluna i da matriz P é o elemento (i, i) da matriz diagonal
D = P −1 AP .
Teorema 2.8 Um conjunto de vectores próprios associados a valores próprios distintos
é linearmente independente.
Demonstração: Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
(i) Sejam λ1 6= λ2 valores próprios de A e v1 , v2 vectores próprios correspondentes. Quer
provar-se que a combinação linear nula α1 v1 + α2 v2 = ~0 só é realizável com os
coeficientes α1 = α2 = 0.
Ora, α1 v1 + α2 v2 = ~0 ⇒ A(α1 v1 ) + A(α2 v2 ) = A~0 ⇔ α1 (Av1 ) + α2 (Av2 ) = ~0 ⇔
α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 = ~0 ⇔ (como α2 v2 = −α1 v1 ) α1 λ1 v1 + λ2 (−α1 v1 ) = ~0 ⇔ α1 (λ1 −
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
21
2.2. DIAGONALIZAÇÃO
λ2 )v1 = ~0 ⇒ (como v1 6= ~0) α1 (λ1 − λ2 ) = 0 ⇒ (como λ1 6= λ2 ) α1 = 0 ⇒ α2 = 0 , e
portanto {v1 , v2 } é linearmente independente.
(ii) Sejam λ1 , λ2 , λ3 valores próprios distintos de A e v1 , v2 , v3 vectores próprios correspondentes. Quer provar-se que a combinação linear nula α1 v1 + α2 v2 + α3 λ3 v3 = ~0
só é realizável se α1 = α2 = α3 = 0.
(×A)
α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = ~0 ⇒ α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + α3 λ3 v3 = ~0 ⇔ α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 +
λ3 (−α1 v1 − α2 v2 ) = ~0 ⇔ α1 (λ1 − λ3 )v1 + α2 (λ2 − λ3 )v2 = ~0. Uma vez que v1 e
v2 são vectores próprios associados a valores próprios distintos, de (i) resulta que
a equação anterior só é satisfeita com α1 (λ1 − λ3 ) = α2 (λ2 − λ3 ) = 0. Tendo em
conta que λ1 6= λ3 e λ2 6= λ3 , tem-se α1 = α2 = 0. Como v3 é um vector não nulo,
α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = ~0 só se verifica se também α3 = 0.
Temos assim provado que {v1 , v2 , v3 } é linearmente independente.
O resultado para k > 3 valores próprios distintos prova-se de forma análoga. O teorema anterior permite concluir que, se uma matriz de ordem n tem n valores próprios
distintos, então é diagonalizável. E se a matriz tem algum valor próprio com multiplicidade
algébrica maior do que 1? A resposta a esta questão é dada utilizando o seguinte conceito.
Definição 9 Chama-se multiplicidade geométrica do valor próprio λ da matriz A à dimensão do subespaço próprio E(λ) = N (A − λI).
A relação entre multiplicidades álgebrica e geométrica é estabelecida no resultado seguinte.
Proposição 2.9 A multiplicidade geométrica de um valor próprio é menor ou igual do
que a multiplicidade algébrica.
O próximo teorema estabelece uma forma expedita de decidir sobre a diagonalização de
matrizes.
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
22
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Teorema 2.10 Uma matriz é diagonalizável sse as multiplicidades geométrica e algébrica
de cada valor próprio são iguais.

−1
1
0





Exemplo 9 Veja se a matriz A =  0
5 0  é diagonalizável.


4 −2 5


−1 − λ
1
0




p(λ) = det(A − λI) = det 
0
5−λ
0  = (5 − λ)(−1 − λ)(5 − λ).


4
−2 5 − λ
p(λ) = 0 ⇔ λ = −1 (mult.
 alg. 1) ou λ = 5 (mult. alg. 2).
−6 1 0




E(5) = N (A − 5I) = N  0
0 0 .


4 −2 0
|
{z
}
car=2
Assim, mult. geométrica de 5 = dim E(5) = 3 − car(A − 5I) = 1 < mult. algébrica de 5
= 2, e portanto A não é diagonalizável.
Os valores e vectores próprios de matrizes simétricas têm propriedades interessantes.
Teorema 2.11 Se A é uma matriz simétrica (A = A⊤ ),
1. os valores próprios são reais;
2. a matriz é diagonalizável;
3. vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais.
Demonstração do ponto 3: Sejam λ1 6= λ2 valores próprios da matriz simétrica A e v1 , v2
vectores próprios correspondentes. Tem-se λ1 v1 |v2 = (Av1 )|v2 = (Av1 )⊤ v2 = v1⊤ A⊤ v2 =
λ1 6=λ2
v1⊤ Av2 = v1⊤ λ2 v2 = λ2 v1 |v2 . Ora, λ1 v1 |v2 = λ2 v1 |v2 ⇔ (λ1 − λ2 )v1 |v2 = 0 ⇒ v1 |v2 = 0,
i.e., v1 ⊥ v2 . ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
23
2.2. DIAGONALIZAÇÃO
Exemplo 10 Vamos verificar que
 próprios associados a valores próprios dis os vectores
3 0 1




tintos da matriz simétrica A =  0 2 0  são ortogonais.


1 0 3


3−λ
0
1




p(λ) = det(A − λI) = det  0
2−λ
0  = (2 − λ)((3 − λ)2 − 1) = (2 − λ)(2 −


1
0
3−λ
λ)(4 − λ).
Os valores próprios são 2 (m. alg = 2) e 4 (m. alg = 1).





1 0 1
1 0 1










E(2) = N (A − 2I) = N  0 0 0  = N  0 0 0  = {





0 0 0
1 0 1



1 0
−1 0
1






E(4) = N (A − 4I) = N  0 −2 0  = · · · = N  0 1



0 0
1
0 −1
 
c
 
 
{ 0 }.
 
c



−b






} = { a }.
x2 = ∀



b
x3 = ∀



x = x3
−1

 1




=
{


x = 0 } =
0

 2

x3 = ∀
0
x1 = −x3
Ora, (−b, a, b)|(c, 0, c) = −bc + 0 + bc = 0, i.e, quaisquer dois vectores próprios u e v, com
u ∈ E(2) e v ∈ E(4), são ortogonais.
Teorema 2.12 Uma matriz simétrica A do tipo n × n tem n vectores próprios ortogonais.
Demonstração: Defina-se uma base ortogonal do subespaço próprio de cada valor próprio
de A. Como A é diagonalizável (e portanto o número de vectores da base é igual à multiplicidade algébrica do correspondente valor próprio), a reunião destas bases é constituı́da
por n vectores. Se dois destes vectores estão associados ao mesmo valor próprio, são
ortogonais por construção. Se estão associados a valores próprios distintos, o ponto 3 do
Teorema 2.11 estabelece que são ortogonais. ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
24
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Assim, uma matriz simétrica A, do tipo n × n, tem n vectores próprios ortonormais (ortogonais de norma 1). Sejam v1 , v2 , . . . , vn vectores próprios ortonormais, e λ1 , λ2 , . . . , λn
os valores próprios correspondentes.



λ ··· 0
 1
v1 v2 . . . vn

..
, tem-se P −1 AP = 
Se definirmos a matriz P = 
.

| |
|
0 · · · λn



 = D.

Como P ⊤ = P −1, i.e., P é matriz ortogonal, tem-se D = P −1 AP = P ⊤ AP . Diz-se que
A é ortogonalmente diagonalizável , i.e., admite matrizes de diagonalização ortogonais.
Tem-se assim provado o seguinte resultado
Teorema 2.13 Matrizes simétricas são ortogonalmente diagonalizáveis
Sejam A uma matriz simétrica do tipo n × n, v1 , v2 , . . . , vn vectores próprios ortonormais
e λ1 , λ2 , . . . , λn os correspondente valores próprios.



λ ··· 0
 1
v1 v2 . . . vn
..
,D = 
Se definirmos P = 
.


| |
|
0 · · · λn


v1



 v2

−1
, tem-se P = 
..



.

vn








e A = P DP −1.
Se tomarmos um vector arbitrário x de Rn , vem 

 v1 |x
λ1 v1 λ2 v2 . . . λn vn 
.

Ax = (P D)(P −1x) = 
 ..

|
|
|
vn |x
⊤
⊤
⊤
⊤
λ1 v1 v1 x + · · · + λn vn vn x = (λ1 v1 v1 + · · · + λn vn vn )x.



 = λ1 v1 v1 |x + · · · + λn vn vn |x =

Como o vector x é arbitrário, pode concluir-se das igualdades anteriores que A = λ1 v1 v1⊤ +
· · · + λn vn vn⊤ , i.e., a matriz A pode ser escrita à custa dos valores próprios e de vectores
próprios ortonormais. Este resultado, conhecido como Teorema da decomposição espectral ,
é agora enunciado.
Teorema 2.14 Sejam A uma matriz simétrica do tipo n × n, v1 , v2 , . . . , vn vectores próprios
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
25
2.2. DIAGONALIZAÇÃO
ortonormais e λ1 , λ2 , . . . , λn os correspondentes valores próprios. A matriz A pode ser decomposta na forma seguinte A = λ1 v1 v1⊤ + λ2 v2 v2⊤ · · · + λn vn vn⊤ .
Observação 3 O Teorema da decomposição espectral tem a seguinte interpretação.
Toda a matriz simétrica do tipo n × n é uma combinação linear das matrizes de projecção
sobre cada um de n vectores próprios ortonormais. Os coeficientes são os correspondentes
valores próprios.

3 0 1





Exemplo 11 Como se viu no Exemplo 10, a matriz simétrica A =  0 2 0  admite


1 0 3
os vectores próprios (−b, a, b), correspondentes ao valor próprio 2 e (c, 0, c), associados ao
valor próprio 4. Fazendo cada uma das variáveis livres igual a 1 e as restantes iguais a
0, obtem-se o conjunto {(0, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 0, 1)} de três vectores próprios linearmente
independente. Como o conjunto é ortogonal, para obter três vectores próprios ortonormais basta tomar o versor de cada um deles, i.e., v1 = (0, 1, 0), v2 = (− √12 , 0, √12 ), v3 =
( √12 , 0, √12 ). As matrizes de projecção sobre cada um desses vectores são



1
2
0 0 0
0






v1 v1⊤ =  0 1 0  , v2 v2⊤ =  0 0



− 12 0
0 0 0
− 12


1
2
1
2

0






⊤
,
v
v
=


0
0 0 0 .
3 3



1
1
1
0 2
2
2
A combinação linear destas matrizes, com coeficientes iguais aos correspondentes valores
próprios, é a matriz

0 0 0


2 0 1 0

0 0 0


1
2
0




+2 0 0


− 12 0
− 12


1
2
1
2


0
3 0 1


 


 
0  +4 0 0 0  =  0 2 0


 
1
1
1
1 0 3
0 2
2
2



 = A.

Exercı́cios 4
ISA/UTL – Álgebra Linear – 2010/11
26
CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS


0 −2 2




1. Considere a matriz A =  0 0 1  .


0 −1 2
a) Calcule os valores próprios de A e as respectivas multiplicidades algébricas.
b) Indique um vector próprio de A.
d) Será que existe uma matriz quadrada P , de ordem 3, invertı́vel tal que P −1 AP
é uma matriz diagonal? Justifique.
2. Indique, justificando, quais das seguintes matrizes





1
0

2 1
0 −1

, B = 
 , C =  −7 1
A=

0 1
1 0
4 −3



1 2 −2






E =  2 1 0 , F = 



−2 0 1
são diagonalizáveis.



1 1 0
0






0 , D =  0 2 2 ,



0 2 5
1




1 1 0

1 1 0
3 1 0




 0 1 0



1 3 0 , G =  0 2 2 , H = 




 0 0 −2

0 2 5
0 0 2
0 0 0
3. Determine uma matriz de diagonalização de cada uma das seguintes matrizes






1 3 4
1 1 0
1 3
0












A =  3 −2 −1 , B =  1 1 0 , C =  3 1 0 .






4 0 1
0 0 2
0 −1 1



4. Seja A = 

1
2
1
2
0
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2



.

1
a) verifique que o polinómio caracterı́stico de A é p(λ) = λ(1 − λ)(λ − ).
4
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0



0 
.

0 

2
2.2. DIAGONALIZAÇÃO


1 0 0




b) Determine uma matriz invertı́vel P tal que P −1 AP =  0 0 0 .


1
0 0 4

5. Considere a matriz A = 
3
5
4
5
2
5
1
5

.
a) Indique uma matriz de diagonalização.


b) Prove que lim An = 
n→+∞

6. Considere A = 
2 1
a b
2
3
2
3
1
3
1
3
.

, com a, b ∈ R.
a) Para a = 2 e b = 1, indique uma matriz de diagonalização.
b) Se b = 2, para que valores de a é A ortogonalmente diagonalizável?


2 1
 e A sejam semelhantes?
c) Se b = 2, existirá algum a > 0 tal que 
2 1
Justifique.
7. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 que admite o valor próprio 1, com de
multiplicidade algébrica 2 e (1, 0, −1), (0, 1, 1) vectores próprios associados a 1.
a) Justifique que A é diagonalizável.
b) Determine E(1).
c) Sabendo que (−1, 1, 0) é um vector próprio de A associado a 2, determine a
matriz A.


4 2 2




8. Indique uma matriz ortogonal de diagonalização da matriz A =  2 4 2 .


2 2 4
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CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
9. Prove os seguintes resultados.
a) Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis são simétricas.
b) Se λ é um valor próprio real não nulo de uma matriz A e v um vector próprio
associado a λ, então λ tem o sinal de v T Av.
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