Polígonos Regulares - NS Aulas Particulares

Polígonos Regulares
1. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero.
Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do
lado BC?
a) 118 cm
b) 126 cm
c) 130 cm
d) 142 cm
2. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de
diagonais, então o valor de n é
a) 9.
b) 11.
c) 13.
d) 15.
3. (G1 - ifsp 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno
delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua
Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e
o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um
ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de
a) 50°.
b) 60°.
c) 70°.
d) 80°.
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e) 90°.
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4. (G1 - cftrj 2013) Manuela desenha os seis vértices de um hexágono regular (figura abaixo) e
une alguns dos seis pontos com segmentos de reta para obter uma figura geométrica. Essa
figura não é seguramente um
a) retângulo
b) trapézio
c) quadrado
d) triângulo equilátero
5. (Espm 2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF
é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é:
a) 120°
b) 135°
c) 127,5°
d) 122,5°
e) 110,5°
6. (G1 - ifce 2012) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é
correto afirmar-se que
a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm.
b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem
3 cm.
c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem
3 cm.
d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem
e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem
3 cm.
3 cm.
7. (Uepg 2011) Três polígonos regulares A, B, e C, têm números de lados, respectivamente, a,
b, c, onde a > b > c. Sabendo-se que a, b e c estão em progressão aritmética de razão – 2 e
que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é 3.240°, assinale o que for
correto.
01) O polígono A tem 35 diagonais.
02) O número de diagonais do polígono C é maior que 10.
04) A soma dos ângulos internos do polígono C é 720º.
08) Cada ângulo externo do polígono A mede 36º.
16) Cada ângulo interno do polígono B mede 135º.
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8. (Uft 2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos
formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu
menor ângulo mede:
a) 90º
b) 105º
c) 115º
d) 118º
e) 120º
9. (G1 - cftmg 2011) No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo
terreno tem forma retangular e dimensões 40m  90m . Ele pretende cercar essa área com
estacas de cimento distanciadas de 2,5m uma da outra. O número de estacas necessário para
cercar todo esse terreno é
a) 102
b) 103
c) 104
d) 108
10. (G1 - utfpr 2010) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A
soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é:
a) 180º
b) 360º
c) 540º
d) 720º
e) 900º
11. (Unifesp 2008) A soma de n - 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é
1900°. O ângulo remanescente mede
a) 120°.
b) 105°.
c) 95°.
d) 80°.
e) 60°.
12. (G1 - cftce 2007) Se a razão entre o número de diagonais d e de lados n, com n > 3, de um
polígono, é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono:
a) é sempre par
b) é sempre ímpar
c) é sempre múltiplo de 3
d) não existe
e) é sempre primo
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13. (Ufsc 2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro
lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o
perímetro do hexágono.
14. (Ita 2005) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as
faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a
a) 11.
b) 32.
c) 10.
d) 20.
e) 22.
15. (Pucrj 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x +
20 graus. O menor ângulo mede:
a) 90°
b) 65°
c) 45°
d) 105°
e) 80°
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x
Logo,
2x + 68 + 68 + 68 = 252
2x = 252
x = 126, ou seja, BC = 126 cm.
Resposta da questão 2:
[A]
Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos:
n  (n  3)
 1
n   d  d  3n 
 3n  n2  3  n  6n  n2  9  n  0 
3
2
 
n  0 (não convém) ou
n  9.
Logo, o valor de n é 9.
Resposta da questão 3:
[B]
No quadrilátero formado pelas ruas, temos:
90° + 110° + 100° + x = 360°
x = 360° – 300°
x = 60°
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Resposta da questão 4:
[C]
Não será possível construir um quadrado.
Resposta da questão 5:
[C]
Seja G o ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD.
Como o triângulo BDE é equilátero, segue que DBE  60. Além disso, dado que AF  AB e
GAB  45, vem ABF  AFB 
GAB
 22,5.
2
Portanto,
α  ABF  ABD  DBE
 22,5  45  60
 127,5.
Resposta da questão 6:
[C]
6.(6  3)
 9.
2
Medida das diagonais maiores: 1 + 1 = 2 cm.
Número de diagonais: d =
Medida das diagonais menores: x.
Na figura: x2 + 12 = 22  x =
3
são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem
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3 cm.
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Resposta da questão 7:
01 + 04 + 08 + 16 = 29.
Cálculos Auxiliares
É dado que
a > b > c e a, b e c estão em PA de razão –2.
Logo:
Soma dos ângulos int ernos  Si  180º(n  2)
Portanto:
 180º(a  2)  180º(b  2)  180º(c  2)  3240
 a  b  c  24
 a  c  24  b
Temos:
 b  a  2
 c  b  2
 a  c  24  b
Logo :
b  a  c  b  2b  a  c  2b  24  b  b  8
Por tan to :
a  10 b  8
c6
Item (01) – Verdadeiro
a(a  3) 10(10  3)
D

 35
2
2
Item (02) – Falso
c(c  3) 6(6  3)
D

9
2
2
Item (04) – Verdadeiro
S  180º(c  2)  S  180º(6  2)  720º
i
i
Item (08) – Verdadeiro
Sext 360º

 36º
10
10
Item (16) – Verdadeiro
Si  180º(b  2)  Si  180º(8  2)  1080º
Por tan to :
1 ângulo int erno 
1080º
 135º
8
Resposta da questão 8:
[B]
Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 – 2) . 180° = 720°
x + x +6° + x + 12° + x + 18°+ x + 24° + x + 30° = 720°
6x + 90° = 720°
6x = 630°
x = 105°
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Resposta da questão 9:
[C]
Número de estacas =
 40  40  90  90 
2,5
 104
Representação gráfica da solução:
Resposta da questão 10:
[D]
O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo
vértice.
Logo, a soma de seus ângulos internos será:
S = 4.180o = 720o
Resposta da questão 11:
[D]
Resposta da questão 12:
[B]
Resposta da questão 13:
99 cm
Resposta da questão 14:
[E]
Resposta da questão 15:
[B]
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