Domínio 5: Funções

5
Planificação semanal
Funções
19.a semana (Manual: páginas 56 a 77)
1.ª aula
Sumário
Atividade de diagnóstico. Produto cartesiano de dois conjuntos. Gráfico de uma função. Restrição de
uma função
Descritores
1.1. Identificar, dados os conjuntos A e B, o «produto cartesiano de A por B» como o conjunto
 a, b : a  A  b  B dos pares ordenados  a, b  tais que a e b pertencem, respetivamente, a A e B e
representá-lo por « A  B ».
1.2. Reconhecer que um conjunto G  A  B é o gráfico de uma função de A em B quando e apenas quando
para todo a  A existir um e somente um elemento b  B tal que  a, b   G .
1.3. Identificar, dados os conjuntos A e B, uma função f : A  B e um conjunto C, a «restrição de f a C »
como a função f |c : C A  B , tal que x  C A , f |c ( x)  f ( x) .
1.4. Identificar, dados os conjuntos A e B, uma função f : A  B e C  A , o «conjunto imagem de C por
f » como o conjunto f (C)   y  B : x  C : y  f ( x) das imagens por f dos elementos de C e
representá-lo também por «  f ( x) : x  C ».
……………………………………………………………………………………………………..
Sugestões metodológicas
– Sugerir a resolução da atividade de diagnóstico (páginas 56 a 57) como trabalho de casa.
– Iniciar a aula com a atividade inicial 1.
– Definir produto cartesiano (página 59) e resolver a questão da página 60.
– Recordar gráfico de uma função e resolver as questões 2 e 3 da página 61.
– Definir restrição de uma função a um conjunto (página 61) e resolver a questão 4 da página 62.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 56 a 62 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Ficha de revisão 5
5
Planificação semanal
Funções
19.a semana (Manual: páginas 56 a 77)
2.ª aula
Sumário
Função real de variável real
Descritores
2.1. Designar por «função real de variável real» uma função cujo domínio e conjunto de chegada estão
contidos em .
2.2. Saber, dada uma expressão f ( x), que se convenciona, quando nada for indicado em contrário, que essa
expressão representa a função f com conjunto de chegada igual a e domínio constituído por todos
os números reais a, para os quais fica representado um número real pela expressão que se obtém
substituindo todas as ocorrências de x em f ( x) por um símbolo representando o número a, designar,
nesse caso, a expressão f ( x) por «expressão analítica de f » e este processo de caracterizar f por
«definição (analítica) de f pela expressão f ( x) ».
Sugestões metodológicas
– Recordar a definição numérica de variável numérica.
– Definir função real de variável real.
– Caracterizar funções reais de variável real aplicando os conhecimentos de álgebra e lógica e teoria de
conjuntos.
– Resolver a questão 5 da página 22.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 63 a 64 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 1
5
Planificação semanal
Funções
19.a semana (Manual: páginas 56 a 77)
3.ª aula
Sumário
Função injetiva. Função sobrejetiva. Função bijetiva.
Descritores
1.5. Identificar, dados os conjuntos A e B, uma função como «injetiva» se para todos os x1 e x2 pertencentes
a A, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) (ou, de modo equivalente, f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 e designar também
uma tal função por «injeção de A em B».
1.6. Identificar, dados os conjuntos A e B, uma função f : A  B como «sobrejetiva» se para todo o
y pertencente a B , existir um elemento x pertencente a A tal que y  f ( x) e reconhecer que uma
função é sobrejetiva se e somente se coincidirem os respetivos contradomínio e conjunto de chegada e
designar também uma tal função por «sobrejeção de A em B» ou por «função de A sobre B».
Sugestões metodológicas
– Introduzir as definições utilizando as aplicações da Escola Virtual.
– Introduzir as definições de função injetiva, sobrejetiva e bijetiva.
– Resolver as questões 6 a 11 das páginas 65 a 68.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 65 a 68 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 29 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicações didáticas da Escola Virtual: Função injetiva; Função sobrejetiva e Função bijetiva
5
Planificação semanal
Funções
19.a semana (Manual: páginas 56 a 77)
4.ª aula
Sumário
Função composta.
Descritor
1.8. Identificar, dadas as funções f : D f  A e g : Dg  B , a «função composta de g com f» como a
função tal que Dg
f
  x  D f : f ( x)  Dg  e x  Dg f ,  g f  ( x)  g  f  x   e designá-la também
por «g composta com f », «g após » ou « f seguida de g ».
Sugestões metodológicas
– Correção do trabalho de casa.
– Introduzir a noção de função composta.
– Resolver as questões 12 e 13 da página 70.
– Para alunos mais interessados sugerir a resolução da questão 13 da página 84.
– Como trabalho de casa trabalho de casa sugerir a resolução das questões 30 a 33 das atividades
complementares.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 69 e 70 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
19.a semana (Manual: páginas 56 a 77)
5.ª e 6.ª aulas
Sumário
Função inversa de uma função bijetiva
Descritores
1.9. Designar, dado um conjunto A, por «função identidade em A» a função Id A : A  A tal que
x  A, Id A ( x)  x e justificar que se trata de uma função bijetiva.
1.10. Justificar, dados conjuntos A e B e uma função f : A  B bijetiva, que para todo o y pertencente a B
existe um e apenas um elemento x pertencente a A tal que f ( x)  y e, representando-o por xy ,
designar por «função inversa de f » a função tal que f 1 : B  A tal que y  B , f 1 ( y )  x y .
1.11. +Reconhecer, dada uma função f : A  B bijetiva, que f 1 é bijetiva e que
f 
1 1
 f e designar
também f 1 por «bijeção recíproca de f ».
1.12. Reconhecer, dada uma função f : A  B , que f é bijetiva se e somente se existir uma função,
g : B  A , tal que ( x, y)  A  B, y  f ( x)  x  g( y).
1.13. Justificar que uma função
f : A B
é bijetiva se e somente se existir uma função
g : B  A, tal que g f  Id A e f g  Id B e que, nesse caso, g  f 1.
2.8. +Reconhecer, dada uma função real de variável real bijetiva f e um plano munido de um referencial
monométrico, que os gráficos cartesianos das funções f e f 1 são a imagem um do outro pela
reflexão axial de eixo de equação y  x .
Sugestões metodológicas
– Utilizar o diagrama de setas para introduzir o conceito de função inversa.
– Utilizar a aplicação dos recursos do Máximo na Tecnologia para relacionar o gráfico de uma função com
o gráfico da respetiva inversa.
– Resolver as questões 14 a 17 das páginas 72 a 75.
– Para trabalho de casa sugere-se a resolução da ficha para praticar 30 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 71 a 75 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 30 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Questão-aula 1
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 3 da página 41 (descritores 1.11 a 1.13) e correspondentes
resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Relação geométrica entre o gráfico de uma função e o da
respetiva inversa
5
Planificação semanal
Funções
20.a semana (Manual: páginas 78 a 99)
7.ª aula
Sumário
Resolução de exercícios e problemas sobre composição de funções e função inversa de uma função
bijetiva.
Sugestões metodológicas
– Resolver problemas das atividades complementares e a e avaliação.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula e da ficha de
teste 14 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 78 a 83 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 14 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
20.a semana (Manual: páginas 78 a 99)
8.ª aula
Sumário
Função par e função ímpar. Translação do gráfico de uma função
Descritores
2.3. Identificar uma função real de variável real
x  D f ,  x  D f e f (  x)  f ( x) .
f
como função «par» se, para todo o
2.4. Identificar uma função real de variável real f como função «ímpar» se, para todo o x  D f ,
 x  D f e f (  x)   f ( x) .
2.5. Justificar, dada uma função real de variável real ímpar f , que se 0  D f , então f (0)  0 .
2.6. +Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortogonal, que uma dada função é par se e
somente se o eixo das ordenadas for eixo de simetria do respetivo gráfico cartesiano.
2.7. +Reconhecer, dado um plano munido de um referencial cartesiano, que uma dada função é ímpar se e
somente se o respetivo gráfico cartesiano for «simétrico relativamente à origem O do referencial», isto
é, se e somente se a imagem do gráfico pela reflexão central de centro O coincidir com o próprio
gráfico.
2.9. Reconhecer, dados uma função real de variável real f , um número real c e um plano munido de um
referencial cartesiano, que o gráfico cartesiano de uma função g definida em Dg  D f por
g ( x)  f ( x)  c é a imagem do gráfico cartesiano de f pela translação de vetor u  0, c  .
2.10. +Reconhecer, dados uma função real de variável real f , um número real c e um plano munido de um
referencial cartesiano, que o gráfico cartesiano de uma função g definida por g ( x)  f ( x  c) no
conjunto Dg   x  c : x  D f  é a imagem do gráfico cartesiano f pela translação de vetor u  0, c  .
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula utilizando a aplicação do GeoGebra no Máximo na Tecnologia.
– Apresentar as definições de função par e função ímpar.
– Resolver as questões 1 a 3 das páginas 85 e 86.
– Iniciar as transformações do gráfico de uma função (translação vertical e translação horizontal).
– Resolver as questões 4 e 5 da página 88.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 84 a 88 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 3 da página 42 (descritor 2.6); exercícios 1 a 3 da página 42
(descritor 2.7); exercícios 1 a 3 das páginas 42 a 43 (descritor 2.8); exercícios 1 e 2 da página 43
(descritor 2.9); exercícios 1 e 2 das páginas 42 a 43 (descritor 2.10) e correspondentes resoluções
no Máximo do Professor
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Paridade e simetria dos gráficos de funções pares e funções
ímpares
5
Planificação semanal
Funções
20.a semana (Manual: páginas 78 a 99)
9.ª e 10.ª aulas
Sumário
Dilatação e contração do gráfico de uma função. Reflexões do gráfico de uma função
Descritores
2.11. Designar, dado um plano munido de um referencial ortogonal e um número 0  a  1 (respetivamente
a  1 ), por «contração vertical (respetivamente dilatação vertical) de coeficiente a » a transformação
do plano  que ao ponto P( x, y ) associa o ponto  ( P) de coordenadas  x, ay  .
2.12. Reconhecer, dados uma função real de variável real f , um número 0  a  1 (respetivamente a  1 )
e um plano munido de um referencial ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função g definida em
por g ( x)  af ( x) é a imagem do gráfico cartesiano de f pela contração vertical (respetivamente pela
dilatação vertical) de coeficiente a .
2.13. Designar, dado um plano munido de um referencial ortogonal e um número 0  a  1 (respetivamente
a  1 ), por «contração horizontal (respetivamente dilatação horizontal) de coeficiente a» a
transformação do plano  que ao ponto P( x, y ) associa o ponto  ( P) de coordenadas  ax, y  .
2.14. Reconhecer, dados uma função real de variável real f , um número 0  a  1 (respetivamente a  1 )
e um plano munido de um referencial ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função g definida em
x

Dg   : x  D f  por g ( x)  f (ax) é a imagem do gráfico cartesiano de f pela dilatação horizontal
a

1
(respetivamente pela contração horizontal) de coeficiente .
a
2.15. Reconhecer, dados uma função real de variável real f e um plano munido de um referencial
ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função g definida em Dg  D f por g ( x)   f ( x) é a
imagem do gráfico cartesiano f pela reflexão de eixo Ox .
2.16. Reconhecer, dados uma função real de variável real f e um plano munido de um referencial
ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função g definida em Dg   x : x  D f  por
g ( x)  f ( x) é a imagem do gráfico cartesiano pela reflexão de eixo Oy .
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com a aplicação didática em GeoGebra do Máximo na Tecnologia e definir as respetivas
transformações geométricas. Resolver as questões 6 a 12 das páginas 90 a 93.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 31 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 89 a 93 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 31 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 2 e questão-aula 2
Caderno de Apoio: exercício 1 da página 44 (descritores 2.11 e 2.12); exercício 1 da página 44
(descritor 2.13 e 2.14) e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Relação entre gráfico de uma função f e os gráficos f(x), f(bx),
f(x+c) e f(x) + d
5
Planificação semanal
Funções
20.a semana (Manual: páginas 78 a 99)
11.ª aula
Sumário
Resolução de problemas envolvendo transformações geométricas do gráfico de uma função.
Descritor
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
Sugestões metodológicas
– Início da aula com uma revisão das transformações do gráfico de uma função, utilizando uma aplicação
didática da Escola Virtual.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 32 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 94 a 97 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 32 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Transformações do gráfico de uma função
12.ª aula
Sumário
Atividades de consolidação e avaliação
Descritor
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
Sugestões metodológicas
– Resolver as questões das páginas 98 e 99, trabalho que pode ser realizado individualmente ou em grupo.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha de teste 15 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 98 e 99 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 15 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
21.a semana (Manual: páginas 100 a 117)
13.ª aula
Sumário
Intervalos de monotonia de funções reais de variável real
Descritores
3.1. Identificar, dada uma função real de variável real f e A  D f , f como «(estritamente) crescente em
A» (ou simplesmente «(estritamente) crescente» se A  D f ) se para quaisquer dois elementos x1 e
x2 de A, se x1  x2 então f ( x1 )  f ( x2 ) .
3.2. Identificar, dada uma função real de variável real f e A  D f , f como «(estritamente) decrescente em
A» (ou simplesmente «(estritamente) decrescente» se A  D f ) se para quaisquer dois elementos x1 e
x2 de A , se x1  x2 , então f ( x1 )  f ( x2 ).
3.3. Identificar, dada uma função real de variável real f e A  D f , f como «crescente, em sentido lato, em
A » (ou simplesmente «crescente, em sentido lato» se A  D f ) se para quaisquer dois elementos x1 e
x2 de A , se x1  x2 , então f ( x1 )  f ( x2 ).
3.4. Identificar, dada uma função real de variável real f e A  D f , f como «decrescente, em sentido lato,
em A » (ou simplesmente «decrescente, em sentido lato» se A  D f ) se para quaisquer dois elementos
x1 e x2 de A, se x1  x2 , então f ( x1 )  f ( x2 ).
3.5. Identificar, dada uma função real de variável real f e A  D f , f como «(estritamente) monótona em
A » (ou simplesmente «(estritamente) monótona» se A  D f ) se for (estritamente) crescente ou
(estritamente) decrescente em A e f como «monótona, em sentido lato, em A» (ou simplesmente
«monótona, em sentido lato» se A  D f ) se for crescente ou decrescente, em sentido lato, em A.
3.6. Identificar, dada uma função real de variável real f, um «intervalo de (estrita) monotonia de f» como
um intervalo I  D f tal que f |I é (estritamente) monótona.
3.7. Identificar, dada uma função real de variável real e A  D f , f como «constante em A» se para
quaisquer elementos x1 e x2 de A, f ( x1 )  f ( x2 ).
3.8. Demonstrar que uma função afim definida por f ( x)  ax  b é estritamente crescente (respetivamente
decrescente) em se e somente se a  0 (respetivamente a  0 ).
3.9. Demonstrar que, dada uma função quadrática da forma f ( x)  ax2 , se a  0 , então f é decrescente em
 , 0 e crescente em 0,  
0,   .
e que, se a  0 , então é crescente em , 0 e decrescente em
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com a atividade inicial 3. Definir função crescente e função decrescente utilizando gráficos
para melhor compreensão das definições, assim como função monótona.
– Introduzir a tabela de variação de uma função e resolver a questão 1 da página 104.
– Como trabalho de casa sugerir a demonstração da monotonia de uma função afim e estudar a monotonia
de uma função quadrática.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 100 a 105 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
21.a semana (Manual: páginas 100 a 117)
14.ª aula
Sumário
Extremos de funções reais de uma variável real.
Descritores
4.1. Designar, dada uma função f de domínio D f e valores em
f »
(respetivamente
«minorante
de
f »)
, um número real M como «majorante de
quando,
x  D f , f ( x)  M
(respetivamente
x  D f , f ( x)  M ), referindo a função f como «majorada» (respetivamente «minorada») quando
admitir um majorante (respetivamente um minorante).
4.2. Designar por «limitada» uma função simultaneamente majorada e minorada.
4.3. Designar por «mínimo absoluto» (respetivamente por «máximo absoluto») de uma função real de
variável real um valor f (a) do contradomínio de f tal que x  D f , f (a)  f ( x) (respetivamente
x  D f , f (a)  f ( x) ) e designar por «extremos absolutos de f » os máximos absolutos e os mínimos
absolutos de f .
4.4. Designar, dados um número real x0 e um número real positivo r, por «vizinhança r de x0 » o intervalo
x0  r, x0  r
e representá-la por « Vr ( x0 ) ».
4.5. Referir que uma função real de variável real «atinge um mínimo relativo (ou local)» (respetivamente
«atinge um máximo relativo (ou local) em a  D f quando existe r  0 , tal que
x  D f
Vr (a), f (a)  f ( x) (respetivamente, x  D f
Vr (a), f (a)  f ( x) ) e designar f (a) por
«mínimo relativo (ou local)» (respetivamente «máximo relativo (ou local)») de f
«minimizante» (respetivamente por um «maximizante») de f .
Sugestões metodológicas
– Definir extremos de uma função real de variável real.
– Resolver as questões 2, 3 e 4 da página 118.
– Resolver o exemplo 6 e resolver a questão 7 das páginas 106 a 109.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 106 a 109 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 3 e questão-aula 3
e por um
5
Planificação semanal
Funções
21.a semana (Manual: páginas 100 a 117)
15.ª aula
Sumário
Concavidade do gráfico de uma função
Descritores
4.6. Identificar, dada uma função real de variável real f , o gráfico de f como «tendo a concavidade
(estritamente) voltada para cima» (respetivamente como «tendo a concavidade (estritamente) voltada
para baixo») num dado intervalo I  D f se dados quaisquer três pontos P, Q e R do gráfico, de
abcissas em I tais que xP  xQ  xR , o declive da reta PQ é inferior (respetivamente superior) ao da
reta QR.
4.7. Saber que uma função real de variável real tem a concavidade (estritamente) voltada para cima
(respetivamente para baixo) num dado intervalo I  D f se e somente se dados quaisquer dois pontos
P e Q do gráfico, de abcissas em I , a parte do gráfico de f de abcissas estritamente situadas entre as
abcissas de P e Q ficar “abaixo” (respetivamente “acima”) do segmento de reta [PQ ].
4.8. +Reconhecer, dado um número real não nulo a, que o gráfico da função f definida pela expressão
f ( x)  ax 2 temem ,   a concavidade voltada para cima se a  0 e voltada para baixo se a  0.
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com a aplicação didática com a aplicação em GeoGebra do Máximo na Tecnologia para
introduzir o sentido da concavidade e a relação com os declives.
– Introduzir as definições dos gráficos 110 e 111 e resolver a questão 5 da página 111.
– Demonstrar o teorema da página 111 e resolver as questões 13 a 17 da página 121.
– Explorar a aplicação didática da Escola Virtual.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 33 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 110 a 111 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 33 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 e 2 da página 46 (descritor 4.8) e correspondentes resoluções no
Máximo do Professor
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Sentido da concavidade do gráfico de uma função real de
variável real
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Sentido da concavidade do gráfico de funções quadráticas
5
Planificação semanal
Funções
21.a semana (Manual: páginas 100 a 117)
16.ª aula
Sumário
Resolução de problemas envolvendo monotonia e extremos de uma função real de variável real.
Descritores
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
Sugestões metodológicas
– Resolver as questões das atividades complementares, trabalho realizado de forma individual ou em grupo
(páginas 114 e 115)
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 34 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 112 a 115 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 34 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
17.ª aula
Sumário
Atividades de consolidação e avaliação
Sugestões metodológicas
– Resolução das questões da página 116 a 117, trabalho que pode ser realizado individualmente ou em
grupo.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha de teste 16 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 116 e 117 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 16 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
22.a semana (Manual: páginas 118 a 137)
18.ª e 19.ª aulas
Sumário
Função quadrática
Descritor
5.1. Esboçar o gráfico de funções quadráticas, começando por representá-las por expressões da forma
a( x  b)2  c e identificando os intervalos de monotonia, o extremo absoluto, as eventuais raízes e o
sentido da concavidade dos respetivos gráficos.
Sugestões metodológicas
– Introduzir a aula com a atividade inicial 4.
– Utilizar a aplicação em GeoGebra do Máximo na Tecnologia para, de uma forma intuitiva, introduzir as
novas matérias.
– Estudar as funções do tipo y = a(x – h)2 + k e resolver as questões 1, 2 e 3 das páginas 120 a 122.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 118 a 122 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: Exercícios 1, 2 e 3, página 19 (descritor 4.11) e correspondentes resoluções no
Máximo do Professor
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Extremos, monotonia, sinal, raízes e representação gráfica de
funções quadráticas
20.ª aula
Sumário
Inequações do 2.º grau
Descritor
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
Sugestões metodológicas
– Apresentar o quadro da página 123 e fazer a respetiva análise com a turma.
– Resolver as questões 4 a 7 das páginas 124 a 126.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 123 a 126 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 5 e questão-aula 5
5
Planificação semanal
Funções
22.a semana (Manual: páginas 118 a 137)
21.ª aula
Sumário
Funções definidas por ramos. Gráfico da função módulo
Descritor
5.2. Identificar uma função f : D f 
A1 , A2 ,... An de D f
e expressões
para a qual são dados um número natural n  1 , uma partição
f j ( x) (1  j  n) tais que para todo o j e para todo o
x  Aj , f ( x)  f j ( x) como «estando definida por ramos pelas expressões f j ( x) , respetivamente, nos
conjuntos Aj 1  j  n  ».
Sugestões metodológicas
– Apresentar um exemplo de uma função definida por ramos.
– Resolver as questões 8 a 10 das páginas 127 e 128.
– Resolver o exemplo 5.
– Resolver as questões 9 a 11 da página 135.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 127 a 129 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
22.ª aula
Sumário
Funções do tipo y =a |x – b| + c
Descritor
5.3. +Resolver problemas envolvendo a determinação dos zeros e do sinal de funções polinomiais de grau
superior a dois.
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com a aplicação do Máximo na Tecnologia.
– Apresentar o exemplo da página 129.
– Resolver as questões 11 a 13 das páginas 130 e 131.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 129 e 131 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Estudo da função y =a |x – b| + c, a ≠ 0
5
Planificação semanal
Funções
22.a semana (Manual: páginas 118 a 137)
23.ª aula
Sumário
Equações e inequações com módulos
Descritor
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
Sugestões metodológicas
– Recordar as propriedades dos módulos e resolver as questões 15 e 16 das páginas 132 a 133.
– Explorar a aplicação didática em GeoGebra do Máximo na Tecnologia.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 35 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 138 a 141 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 35 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 6 e questão-aula 6
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática em GeoGebra: Inequações quadráticas
24.ª aula
Sumário
Resolução de exercícios e problemas envolvendo a função quadrática, função módulo e funções
definidas por ramos.
Descritores
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
Sugestões metodológicas
– Resolver as questões das atividades complementares das páginas 135 a 137.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 135 a 137 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 7 e questão-aula 7
5
Planificação semanal
Funções
23.a semana (Manual: páginas 139 a 153)
25.ª aula
Sumário
Resolução de problemas envolvendo funções quadráticas, função módulo e funções polinomiais.
Descritores
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afins, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo,
funções definidas por ramos.
Sugestões metodológicas
– Resolver questões das atividades complementares das páginas 138 a 139.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 36 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 138 e 139 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 36 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
23.a semana (Manual: páginas 139 a 153)
26.ª aula
Sumário
Atividades de consolidação e avaliação
Descritores
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afins, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo,
funções definidas por ramos.
Sugestões metodológicas
– Resolver questões das atividades complementares das páginas 140 e 141.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha de teste 17 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 140 e 141 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 17 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
23.a semana (Manual: páginas 139 a 153)
27.ª aula
Sumário
Funções polinomiais. Estudo de uma função polinomial
Descritor
5.7. Identificar «função polinomial» como uma função que pode ser definida analiticamente por um
polinómio com uma só variável.
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com a atividade inicial 5 da página 142.
– Definir função polinomial.
– Estudar a função f (x)= ax3 + bx2 + cx + d .
– Resolver as questões 1 e 2 da página 145.
– Explorar a aplicação didática da Escola Virtual.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 142 a 145 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 7 e questão-aula 7
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Zeros e sinal de funções polinomiais de grau superior ao
primeiro
5
Planificação semanal
Funções
23.a semana (Manual: páginas 139 a 153)
28.ª e 29.ª aulas
Sumário
Função raiz quadrada
Descritores
5.4. Justificar que a função definida por f :
5.5. Justificar que a função f :
x

0


0


0
é bijetiva e que para todo o x 
definida por

0
, f 1 ( x)  x .
f ( x)  x3 é bijetiva e que para todo o
, f 1 ( x)  3 x .
5.6. Determinar o domínio e esboçar o gráfico de funções definidas analiticamente por:
f ( x)  a n x  b  c ; a, b, c  ; n  2, 3 e a  0.
Sugestões metodológicas
– Introduzir a função y  x .
– Apresentar e analisar o quadro da página 147.
– Resolver as questões 3 e 4 das páginas 147 e 148, respetivamente.
– Introduzir a função y  3 x .
– Apresentar e analisar o quadro da página 149.
– Resolver a questão 5 da página 150.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 146 a 150 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
5
Planificação semanal
Funções
23.a semana (Manual: páginas 139 a 153)
30.ª aula
Sumário
Equações e inequações irracionais
Descritor
6.2. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções raiz quadrada e raiz cúbica.
Sugestões metodológicas
– Introduzir as equações irracionais (página 151).
– Resolver a questão 6 da página 151.
– Estudar a função f (x)= ax3 + bx2 + cx + d .
– Resolver uma inequação irracional (página 152).
– Resolver as questões 7 e 8 das páginas 152 e 153.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 151 e 153 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 8 e questão-aula 8
5
Planificação semanal
Funções
24.a semana (Manual: páginas 154 a 173)
31.ª aula
Sumário
Operações com funções
Descritores
5.9. Identificar, dadas as funções f : D f  , g : Dg 
funções f  g : D f
f
: Df 
g
g
Dg 
um número real  e um número racional r , as
(«soma de f com g »), fg : D f
, («quociente de f por g », onde D f  D f
f de pelo escalar  ») e f r : D f r 
x  D
g
Dg 
, («produto de f por g »),
: g ( x)  0 ,  f : D f 
(«produto
g
(«potência de expoente r de f », onde D f r é o conjunto dos
números reais x para os quais está definido f ( x)r , como as funções com os domínios e conjunto de
chegada indicados, para cada elemento x do respetivo domínio, respetivamente, por:
f 
f ( x)
r
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x), ( f g )( x)  f ( x) g ( x) ,   ( x) 
,  f  x    f  x  e f r  x   f  x 
g ( x)
g
podendo utilizar-se, para representar as potências de expoente racional, as notações envolvendo
raízes.
6.5. +Resolver problemas envolvendo a determinação do domínio de funções obtidas por aplicação de
operações algébricas a funções dadas.
Sugestões metodológicas
– Apresentar o quadro da página 154.
– Resolver a questão 9 da página 155; a questão 10 da página 156 e questão 11 da página 157.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 154 a 157 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 8 e questão-aula 8
5
Planificação semanal
Funções
24.a semana (Manual: páginas 154 a 173)
32.ª e 33.ª aulas
Sumário
Resolução de problemas utilizando a calculadora gráfica.
Descritor
6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afim, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo,
funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.
Sugestões metodológicas
– Resolver problemas utilizando as potencialidades da calculadora gráfica.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 37 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 158 a 161 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 37 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 e 2 da página 46 (descritor 4.8) e correspondentes resoluções no
Máximo do Professor
▪ Máximo na Tecnologia
Aplicação didática: Funções e as calculadoras
5
Planificação semanal
Funções
24.a semana (Manual: páginas 154 a 173)
34.ª aula
Sumário
Resolução de problemas envolvendo funções.
Descritores
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
6.2. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções raiz quadrada e raiz cúbica.
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afim, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo,
funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.
6.5. +Resolver problemas envolvendo a determinação do domínio de funções obtidas por aplicação de
operações algébricas a funções dadas.
Sugestões metodológicas
– Resolução das atividades complementares das páginas 164 a 167.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 38 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 164 a 167 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 38 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 5 das páginas 46 e 47 (descritor 6.1); exercícios 1 a 3 da página
47 (descritor 6.2) e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
5
Planificação semanal
Funções
24.a semana (Manual: páginas 154 a 173)
35.ª aula
Sumário
Atividades de consolidação e de avaliação.
Descritores
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
6.2. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções raiz quadrada e raiz cúbica.
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afim, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo,
funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.
6.5. +Resolver problemas envolvendo a determinação do domínio de funções obtidas por aplicação de
operações algébricas a funções dadas.
Sugestões metodológicas
– Resolver as questões das páginas 168 a 169, trabalho que pode ser realizado individualmente ou em
grupo.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha de teste 18 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 168 a 169 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 18 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 4 das páginas 47 a 48 (descritor 6.3) e exercícios 1 e 2 da página
48 (descritor 6.4) e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
5
Planificação semanal
Funções
24.a semana (Manual: páginas 154 a 173)
36.ª aula
Sumário
Avaliação global
Descritores
6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função
módulo com funções polinomiais.
6.2. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções raiz quadrada e raiz cúbica.
6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de
variável real.
6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afim, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo,
funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.
6.5. +Resolver problemas envolvendo a determinação do domínio de funções obtidas por aplicação de
operações algébricas a funções dadas.
Sugestões metodológicas
– Resolver questões das páginas 170 a 173, trabalho realizado individualmente ou em grupo.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não foram feitas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 170 a 173 da parte 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Ficha de preparação para o teste de avaliação 5 e teste de avaliação 5
25.a semana
37.ª a 42.ª aula
Sumário
Resolução de problemas e avaliação