Matriz, Sistema Linear e Determinante

Matriz, Sistema Linear e Determinante
1.0 Sistema de Equações Lineares
Equação linear de n variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1
+ a2x2 + ... + anxn = b, onde a1, a2, ..., an são constantes não todas nulas e b mais uma constante.
Se b = 0, a equação é denominada equação linear homogênea.
Uma coleção finita de equações lineares é denominada um sistema de equações lineares, ou
sistema linear. Suas variáveis são chamadas de incógnitas.
Solução de um sistema linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma sequência de n números s1, s2,
..., sn, tais que, se substituídas nos lugares das incógnitas, respectivamente, tornam verdadeira
cada equação do sistema.
O conjunto de soluções de um sistema linear é denominado conjunto-solução.
Um sistema linear é consistente se houver pelo menos 1 solução e inconsistente se não existir
solução.
Teorema 1:
Cada sistema de equações lineares tem nenhuma, uma ou uma infinidade de soluções, não
havendo outras possibilidades.
Operações elementares sobre as linhas:



Multiplicar toda uma linha por uma constante não-nula.
Trocar 2 linhas de posição.
Somar um múltiplo de uma linha a outra linha.
2.0 Resolução de Sistemas Lineares usando
Redução por Linhas
Forma escalonada reduzida entre linhas (FERL):



Se a linha não é totalmente constituída de zeros, então o primeiro número não-nulo na
linha é 1, que denominamos de pivô.
Se existem linhas totalmente constituídas por zeros, então elas estão agrupadas na base
da matriz.
Em 2 linhas quaisquer que não são totalmente agrupadas por zeros, o pivô da linha inferior
ocorre mais a direita do que o pivô da linha superior.
Se R é a FERL de uma matriz A de tamanho nxn, então R tem uma linha de zeros ou R é
a matriz identidade In.
Eliminação de Gauss-Jordan:
 Etapa para frente: introduzem-se os zeros abaixo dos pivôs.
 Etapa para trás: introduzem-se os zeros acima dos pivôs.
Se somente usarmos a primeira etapa, o procedimento é chamado eliminação gaussiniana / de
Gauss.
Pivotamento parcial:
Nas eliminações de Gauss-Jordan e de Gauss é procedimento padrão efetuar uma troca de
linhas a cada passo para colocar a entrada de maior valor absoluto na posição de pivô antes de
introduzir o pivô.
Retrossubstituição:
Cada equação correspondente à forma escalonada por linhas é, sistematicamente, substituída
na equação acima dela, começando da base e avançando para cima.
Solução trivial:
Um sistema homogêneo é um conjunto de equações homogêneas em que se observa que x 1 =
x2 = ... = xn = 0, sendo esta uma solução trivial. Qualquer outra solução é denominada solução
não-trivial.
Teorema 2:
Um sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial ou tem uma infinidade de
soluções, não havendo outras possibilidades.
Teorema 3:
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui uma infinidade de
soluções.
3.0 Operações com Matrizes
Duas matrizes são definidas como iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas são
correspondentes.
Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanho que A tal que AB =
BA = I, dizemos que A é invertível / não-singular e que B é uma inversa.
A e B são inversas uma da outra, pois AB = BA.
Teorema 4:
Se A é uma matriz invertível e B e C são ambas inversas de A então B = C, ou seja, uma matriz
invertível tem uma única inversa.
Teorema 5:
Se A é invertível e n é um número inteiro não-negativo, então:





Matrizes elementares:
Uma matriz que resulta de uma única operação elementar sobre linhas de uma matriz
identidade.
São sempre quadradas.
Teorema 6:
Uma matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar.
Teorema 7:
Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes:



A FERL de A é In.
A pode ser expresso como um produto de matrizes elementares.
A é invertível.
Algoritmo de Inversão:
Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre a sequência de operações
elementares que reduz A a I e então efetue a mesma sequência de operações em I para obter
A-1.
Maneira de Executar as tarefas simultaneamente:
Se I não aparecer, A não é invertível.
Se obtivermos uma linha de zeros do lado esquerdo, A não é invertível.
Teorema 8:
Se Ax = B é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A é
invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, x = A-1B.
4.0 Determinantes
Produto elementar de uma matriz A de tamanho mxn é o produto de n entradas de A tais que
não há 2 delas da mesma linha ou da mesma coluna. Assim, se A = [aij], então cada produto
elementar pode ser expresso na forma a1j1a2j2...anjn onde os índices de coluna constituem uma
permutação {j1, j2, ..., jn} dos inteiros 1 à n, e os índices de linha estão ordenados naturalmente.
A permutação é par ou ímpar se o número mínimo de trocas que são necessárias para colocar
a permutação em ordem natural é par ou ímpar. Se a permutação for par, o sinal dela é
positivo, se ímpar, negativo.
O determinante de uma matriz quadrada A é denotado por det(A) e definido como a soma de
todos os produtos elementares com sinal de A:
O número de produtos elementares com sinal num determinante nxn é n!.
Teorema 9:
Se A é uma matriz quadrada com linha ou coluna de zeros, então det(A) = 0.
Teorema 10:
Se A é uma matriz triangular então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal.
Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada aij é denotado por Mij e definido como
o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos de A a i-ésima linha e j-ésima
coluna. O número Cij = (-1)i+jMij é denominado cofator da entrada aij.
Teorema 11:
O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando as
entradas de uma linha (ou coluna) qualquer pelos seus cofatores e somando os produtos assim
obtidos, ou seja, para cada 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n temos
5.0 Propriedades dos Determinantes
Se A é uma matriz nxn:

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

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


det(A) = det(AT)
Se B é uma matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multiplicada por K,
então det(B) = Kdet(A).
Se B é uma matriz que resulta quando 2 linhas ou colunas de A são trocadas, então
det(B) = –det(A).
Se A tem 2 linhas / colunas iguais, det(A) = 0.
Se A tem 2 linhas / colunas proporcionais, det(A) = 0.
Se A e B são matriz quadradas do mesmo tamanho, então det (AB) = det(A).det(B).
det(An) = [det(A)]n.
Se A é invertível, então det(A-1) = 1/det(A).
5.1 Regra de Cramer
Teorema 12:
Se as entradas de qualquer linha (ou coluna) de uma matriz quadrada são multiplicadas pelos
co-fatores das entradas correspondentes de uma linha / coluna diferente, então a soma dos
produtos é zero.
Se A é uma matriz nxn e Cij é o cofator de aij, então a matriz
é denominada matriz de cofatores de A. Sua transposta chama-se adjunta da matriz A,
denominada por adj(A).
Teorema 13:
Se A é invertível, então
Teorema 14 – Regra de Cramer:
Se Ax = b é um sistema linear de n equações a n incógnitas, então o sistema tem uma
solução única se, e somente se, det(A) ≠ 0, caso que a solução é:
onde Aj é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b.
6.0 Provas
PROVA 1 – SE DET(A) ≠ 0, ENTÃO A É INVERTÍVEL.
Prove que se ad – bc ≠ 0 então a FERL de
L1 → (ad-bc)L1 – bL2
L2 → L2
L1 → L 1
L2 → aL2 – cL1
L1 → L1/a(ad-bc)
L2 → L2/(ad-bc)
PROVA 2 – PROVAR TEOREMA 4.
Prove que se B = A-1 e C = A-1, então B = C.
BA = I
(BA)C = IC → Como IC = C, temos:
(BA)C = C → Lei da associedade da multiplicação:
B(AC) = C → Como AC = I, temos:
BI = C → Como BI = B, temos:
B=C
PROVA 3 – A É UMA MATRIZ QUADRADA INVERTÍVEL SE, E SOMENTE SE, DET(A) ≠ 0.
Primeiro vamos verificar que det(A) e det(R) são ambos nulos ou não-nulos, sendo R a matriz
na FERL de A.
Veremos os efeitos das operações elementares sobre o determinante:
 Se multiplicarmos toda uma linha por uma constante não-nula K, o determinante dessa
nova matriz será K.det(A).
 Se trocarmos 2 linhas de posição, o determinante dessa nova matriz será –det(A).
 Se somarmos um múltiplo de uma linha a outra linha o determinante dessa nova matriz
elementar não se altera.
Nos 3 casos, os determinantes antes e depois das aplicações das operações elementares são
ambas nulas ou não-nulas.
Como R é feito por uma série de operações elementares em A, temos que se det(A) ≠ 0,
det(R) ≠ 0 ou se det(A) = 0, det(R) = 0.
Se R é a FERL da matriz Anxn, então R tem uma linha de zeros (det(R) = 0) ou R é uma matriz
identidade In (det(R) = 1 ≠ 0). Para que A seja invertível, R = I. Se det (A) ≠ 0, det(R) ≠ 0; isso
implica que R = I, portanto A é invertível. Se det(A) = 0, então det(R) = 0; isso implica que R ≠ I,
portanto A não é invertível.