Introdução à Lógica Proposicional
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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE FUNDAMENTOS DE LÓGICA E ALGORITMOS AULA 01 Docente: Éberton da Silva Marinho e-mail: [email protected] 27/05/2016 SUMÁRIO Introdução à Lógica Histórico da Lógica Lógica Proposicional 2 INTRODUÇÃO À LÓGICA A Lógica , ao que tudo indica, foi descoberta por Aristóteles (384-322 a.C). Os registros se encontram em seu famoso livro “Metafísica” em grego antigo: Μετά τα φυσικά, translit. metà ta physikà, "depois dos livros de Física", mas também "além das coisas físicas“ Depois de sua descoberta, ela permaneceu praticamente intecta por mais de dois mil anos. INTRODUÇÃO À LÓGICA As grandes mudanças começaram a ocorrer notadamente com George Boole (1806-1871) e contemporâneos com a introdução da simbolização na Lógica. Outros como Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), Augustus De Morgan (1806-1871), Johann Heinrich Lambert (1728-1777) e outros, contribuíram enormemente para a evolução da lógica de predicados INTRODUÇÃO À LÓGICA O que é Lógica? Lógica é um substantivo feminino com origem no termo grego logiké, relacionado com o logos, razão,palavra ou discurso, que significa a ciência do raciocínio. Em sentido figurado, a palavra lógica está relacionada com um maneira específica de raciocinar, de forma acertada. Por exemplo: Isso nunca vai funcionar! O teu plano não tem lógica nenhuma! INTRODUÇÃO À LÓGICA Lógica aristotélica De acordo com Aristóteles, a lógica tem como objeto de estudo o pensamento, assim como as leis e regras que o controlam, para que esse pensamento seja correto. Para o filósofo grego, os elementos constituintes da lógica são o conceito, juízo e raciocínio. Pensadores medievais como Galeno, Porfírio e Alexandre de Afrodísia classificavam a lógica como a ciência de julgar corretamente, que possibilita alcançar raciocínios corretos e formalmente válidos. INTRODUÇÃO À LÓGICA Lógica de argumentação A lógica de argumentação permite verificar a validade ou se um enunciado é verdadeiro ou não. Não é feito com conceitos relativos nem subjetivos.São proposições tangíveis cuja validade podem ser verificada. Neste caso, a lógica tem como objetivo avaliar a forma das proposições e não o conteúdo. Por exemplo: O Fubá é um cachorro. Todos os cachorros são mamíferos. Logo, o Fubá é um mamífero. INTRODUÇÃO À LÓGICA Lógica matemática A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como objetivo criar um grupo de leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras. INTRODUÇÃO À LÓGICA Lógica de programação A lógica de programação é a linguagem usada para criar um programa de computador. A lógica de programação é essencial para desenvolver programas e sistemas informáticos, pois ela define o encadeamento lógico para esse desenvolvimento. Os passos para esse desenvolvimento são conhecidos como algoritmo, que consiste em uma sequência lógica de instruções para que a função seja executada. INTRODUÇÃO À LÓGICA O que é o Raciocínio lógico? Raciocínio lógico é um processo de estruturação do pensamento de acordo com as normas da lógica que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver um problema. Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do pensamento. Existem diferentes tipos de raciocínio lógico, como o dedutivo, indutivo e abdução. INTRODUÇÃO À LÓGICA Raciocínio lógico Frequentemente, o raciocínio lógico é usado para fazer inferências, sendo que começa com uma afirmação ou proposição inicial, seguido de uma afirmação intermediária e uma conclusão. INTRODUÇÃO À LÓGICA Leitura de texto sobre Aristóteles INTRODUÇÃO AO CÁLCULO PROPOSICIONAL INTRODUÇÃO Definição de Verdadeiro conformidade entre o pensamento ou a sua expressão e o obje to de pensamento qualidade do que é verdadeiro; realidade exatidão, rigor, precisão representação fiel boa-fé; sinceridade coisa certa axioma, premissa evidente INTRODUÇÃO Definição de Falso que não é verdadeiro; fingido, simulado em que há mentira; mentiroso, desleal, traidor que imita o verdadeiro; falsificado que não assenta em bases sólidas; suposto, aparente indivíduo traiçoeiro aquilo que não é verdadeiro local oculto em edifício ou móvel, geralmente usado p ara guardar algo INTRODUÇÃO Analise as seguintes frases O céu é azul A Lua é menor que a Terra O quadro é Negro Se ____________ não lavar a louça do jantar vou colocá-la de castigo O Brasil tem o melhor time de futebol do mundo Amanhã vai chover As frases acima são verdadeiras ou falsas? PARADOXOS Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Os paradoxos foram objetos de estudos e inquietações por parte de filósofos e lógicos, desde os tempos da Antiga Grécia. Os paradoxos podem ser classificados como semânticos e lógicos PARADOXO SEMÂNTICO Paradoxo do mentiroso Partimos do pré-suposto que toda declaração da língua portuguesa ou é verdadeira ou é falsa, mas nunca ambas simultaneamente. Temos a seguinte frase: S1: “A sentença escrita neste slide contém oito palavras*” A sentença S1 é verdadeira, pois S1 contém realmente oito palavras. * unidade linguística dotada de sentido, constituída por fonemas organizados numa determinada ordem, que pertence a uma (ou mais) categoria(s) sintática(s) e que, na escrita, é delimitada por espaços brancos; PARADOXO SEMÂNTICO Paradoxo do mentiroso Agora temos a seguinte frase: S2: “A sentença escrita neste slide contém onze palavras” A sentença S2 é falsa, pois S2 contém realmente oito palavras e não onze. PARADOXO SEMÂNTICO Paradoxo do mentiroso Agora temos as seguintes frases: S3: “A sentença escrita neste slide é falsa” Se S3 é verdadeira, é verdadeiro que a sentença é falsa. Se S3 é falsa, é falso que S3 é falso, logo S3 é verdadeiro PARADOXO SEMÂNTICO Paradoxo do Cartão A sentença escrita no verso deste cartão é verdadeira A sentença escrita no verso deste cartão é falsa Cada uma das sentenças é verdadeira, se e somente se, for falsa. PARADOXO SEMÂNTICO Paradoxo do Barbeiro Suponha-se que exista uma cidade com apenas um barbeiro, do sexo masculino. Nesta cidade, todos os homens se mantém bem barbeados. O barbeiro é um homem da cidade que faz a barba de todos aqueles, e somente dos homens da cidade que não barbeiam a si mesmos. Quem barbeia o barbeiro? Se o barbeiro barbear-se a si mesmo, então o barbeiro (ele mesmo) não deve barbear a si mesmo. Se o barbeiro não barbeia-se a si mesmo, então ele (o barbeiro) deve barbear a si mesmo. LINGUAGENS ARTIFICIAIS Não é toda linguagem que pode ser utilizada para o tratamento da lógica Toda a linguagem universal que tem a capacidade de referir-se a si própria, sem quaisquer restrições, leva inevitavelmente a contradições Precisamos então construir uma linguagem formal para o tratamento da lógica Por que não utilizamos a língua portuguesa? POSSÍVEIS PROPOSIÇÕES LINGUAGENS ARTIFICIAIS Língua portuguesa Nível de detalhamento Não definido Interpretação Ambíguo e depende do contexto Se modifica em um tempo muito curto Irregularidade Sintática Paradoxos de implicação Conclusão? *Não é ideal para representar a lógica LINGUAGENS ARTIFICIAIS Linguagem proposicional Utilizaremos uma parte da língua portuguesa, porções da matemática e de noções ditadas pelo senso comum Nível de detalhamento bem definido Interpretação precisa Não se modifica em um tempo muito curto Não possui irregularidade Sintática Precisaremos de uma meta-liguagem: Uma linguagem que explique os elemento de outra linguagem LINGUAGEM PROPOSICIONAL Sentenças: Declarações afirmativas verdadeiras ou falsas A neve é branca (verdadeira) 2 + 2 = 5 (falsa) Há cinco milhões de grãos de areia na lua (falsa) Adotaremos a notação booleana para designar uma sentença verdadeira ou falsa como abaixo “1” designa o valor “verdadeiro” “0” designa o valor “falso” LINGUAGEM PROPOSICIONAL Tabela da verdade: Tabela onde são enumeradas todas as proposições e os valores que as mesmas podem assumir em uma sentença. Essa tabela nos permite verificar se uma sentença é verdadeira ou não. Proposição Modificadores (Operadores) Valor 01 Valor 03 Valor 02 Valor 04 TABELA DA VERDADE Enumeram-se todas as possibilidades de combinação de valores das proposições Separam-se os operadores do mais interno para o mais externo em sentenças Faz-se a avaliação de cada sentença LINGUAGEM PROPOSICIONAL O cálculo proposicional é o estudo da linguagem proposicional. Ela estuda basicamente cinco símbolos: Negação: ~ Conjunção: /\ Disjunção: \/ Implicação: -> Bi-implicação: <-> LINGUAGEM PROPOSICIONAL Tabela Verdade da Negação (Operador Não) Seja a letra “A” minha proposição A ~A 0 1 1 0 EXEMPLOS Vamos ver algumas afirmações Todo homem é mortal Possíveis negações Todo homem não é mortal Nenhum Homem é Mortal Por que não seria correto afirmar que “Nem todo homem é mortal“ seria uma negação da expressão acima? Seja a proposição: “Todo homem é mortal”, podemos utilizar letras como a letra A para sua representação em lógica proposicional. Logo, ~A seria a negação da primeira proposição. LINGUAGEM PROPOSICIONAL Tabela Verdade da Conjunção (operador E) Sejam as letras “A” e “B” minhas proposições A B A /\ B 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 EXEMPLOS Vamos ver algumas afirmações Bianca não estudava e era mal educada Está chovendo e fazendo frio Chiquinho é esperto e atento Represente as afirmações acima em lógica proposicional LINGUAGEM PROPOSICIONAL Tabela Verdade da Disjunção (operador OU) Sejam as letras “A” e “B” minhas proposições A B A \/ B 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 LINGUAGEM PROPOSICIONAL Tabela Verdade da Implicação Sejam as letras “A” e “B” minhas proposições Na proposição A -> B, A é o antecedente da implicação e B o consequente A B A -> B 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 EXEMPLOS Vamos ver algumas afirmações Se este pote d’água for colocado no fogo no instante t0 então a água ferverá “Se este pote d’água for colocado no fogo no instante t0” -> “então a água ferverá” A -> B Se você estudar você ficará mais inteligente “Se você estudar” -> você ficará mais inteligente A -> B Faça a tabela da verdade para as sentenças acima LINGUAGEM PROPOSICIONAL O equivalente da implicação A -> B é (~A) \/ B Faça a tabela da verdade das duas sentenças e compare LINGUAGEM PROPOSICIONAL Tabela Verdade da Bi-implicação Sejam as letras “A” e “B” minhas proposições Na proposição A <-> B, se e somente se A e B possuem o mesmo valor A B A <-> B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 EXEMPLOS Vamos ver algumas afirmações É verão somente se está calor Nunca é verão se não está calor O brasil será campeão da copa do mundo se e somente se for o melhor Faça a tabela da verdade para as sentenças acima EXEMPLOS Faça as tabelas da verdade das seguintes expressões ((p /\ q) -> r) ((p \/ q) /\ (~ (p /\ q))) EXEMPLOS Faça as tabelas da verdade das seguintes expressões ((p \/ q) -> (~ p)) -> (q /\ p)) LEITURAS EM LÓGICA PROPOSICIONAL Sentença em Lógica Proposicional Sentença em Português ~A Não A; Não se dá que A; Não é fato que A; Não é verdade que A; Não é que A; Não se tem A A /\ B A e B; A, mas B; A, embora B; A, assim como B; A e também B; Não só A, mas também B; A, apesar de B LEITURAS EM LÓGICA PROPOSICIONAL Sentença em Lógica Proposicional Sentença em Português A \/ B A ou B ou ambos A -> B Se A, então B; Se A, isto significa B; Quando A, então B; Quando A, então B; Sempre que A, B; B sempre que se tenha A; B, contanto que A; A é condição suficiente para B; B é condição necessária para A; Uma condição suficiente para B é A; Uma condição necessária para A é B; B, se A LEITURAS EM LÓGICA PROPOSICIONAL Sentença em Lógica Proposicional Sentença em Português A -> B B, quando A; B, no caso de A; A, só se B; A, somente quando B; A, só no caso de B; A implica B; A acarreta B; B é implicada por A A <-> B A se e só se B; A se e somente se B; A quando e somente quando B; A equivalente a B; Uma condição necessária e suficiente para A é B; A é condição necessária e suficiente para B REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA Livro Infopédia. Porto: Porto Editora, 2003-2014. [Consult. 2014-05-20]. Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/linguaportuguesa>. DÚVIDAS e-mail: [email protected] [email protected] Assunto: Turma Endereço eletrônico da disciplina: http://docente.ifrn.edu.br/eberton.marinho 47
