Aula 02: Revisão de Probabilidade e Estatística - Aprender

02/04/2014
Aula 02: Revisão de
Probabilidade e Estatística
Prof. Leonardo Menezes
Tópicos em Telecomunicações
Sumário
•
•
•
•
•
•
•
O que é estatística
O que é probabilidade
Variáveis aleatórias
Distribuição de Probabilidade
Momentos
Aplicações
Mapeamentos
O que é estatística
• Estatística é o estudo de dados
– Coleta
– Organização
– Análise
– Interpretação
– Apresentação
• O que significa isso?
– Estatística tenta fazer estabelecer parâmetros a
partir dos dados que são coletados
1
02/04/2014
O que é estatística
• Coleta
– Como devo coletar os dados
– Quantas amostras são necessárias
– Que informação eu posso extrair desta coleta
– Qual é o erro que tenho ao assumir que a
informação extraída é a informação verdadeira.
O que é estatística
• Exemplo 1: Na 2ª Guerra Mundial os aliados
precisavam determinar o número de tanques
dos alemães. Ao capturar tanques alemães
eles encontraram um número de série em
cada um deles
– A partir destes números, eles estimaram quantos
tanques alemães tinham sido produzidos.
O que é estatística
• Pergunta: Quantos tanques alemães foram
produzidos em dado ano?
• Neste caso:
– A coleta e a quantidade de amostras foi
especificada externamente
• O que falta:
– A informação que posso extrair desses dados
– O erro que tenho ao assumir que a informação
extraída é a informação verdadeira
2
02/04/2014
O que é estatística?
• Dados:
– 10 tanques foram capturados
– Números de série dos tanques capturados:
• 239, 23, 251, 219, 91, 154, 436, 408, 500, 123.
• Depois vamos voltar a este problema.
O que é estatística
• Exemplo 2: Queremos saber a preferência de
forma de deslocamento para UnB. As opções
são:
– Somente de carro
– Outros
• Pergunta: Quantas pessoas usam somente
carro para vir a UnB?
• Depois voltamos a este problema...
O que é probabilidade
• Probabilidade é o estudo de fenômenos
aleatórios
– Usa informações do conjunto de total dados para
obter estimativas para amostras (muito
importante em estatística)
– É a fundação matemática da estatística:
• Somente com probabilidade é que conseguimos
responder as perguntas formuladas nos dois exemplos.
3
02/04/2014
O que é probabilidade
• Então se queremos diferenciar probabilidade
de estatística:
– Probabilidade usa informações do conjunto
completo de dados para estimar informações em
amostras
– Estatística usa informações de amostras para
estimar informações do conjunto completo de
dados.
• Na realidade, precisamos das duas na análise
de dados.
O que é probabilidade
• A probabilidade está mais ligada a chance. Mas
com este parâmetro permite estimar outros
• Exemplo 3: Moeda honesta (cara ou coroa). Qual
é a chance de obter 3 caras e 3 coroas em 6
jogadas da moeda?
• Exemplo 4: Moeda desonesta (60% cara e 40%
coroa). Qual é a chance de obter 3 caras e 2
coroas em 5 jogadas da moeda?
• Depois voltamos a estes problemas
O que é probabilidade
• Para definirmos a estatística de um experimento
(ou teste), precisamos definir antes o conjunto de
todos os resultados possíveis deste experimento.
– Este conjunto é chamado de espaço amostral {A}
– Qualquer subconjunto de {A} é chamado de evento
• A probabilidade de ocorrência do evento {B} ( que
é um subconjunto de eventos aleatórios
pertencente a A) é um número real que
representa a chance de ocorrência de A1
4
02/04/2014
O que é probabilidade
• No caso de uma coleção de eventos:
B  A1  A2  ...  Ak
• Temos que, se os mesmos forem disjuntos
Ai  Aj  {}
• Então
P B    P  A j 
j
O que é probabilidade
• Com estas informações podemos começar a
entender probabilidade a partir de um caso
mais próximo a nossa realidade: uma moeda.
– Espaço amostral de A : Cara {X1} e Coroa {X2}
– Cara e Coroa são eventos disjuntos e compõem
todo o espaço amostral {X}
• Portanto:
X  X1  X 2
P X   P X 1  X 2   P X 1   P X 2   1
O que é probabilidade
• Voltemos ao Exemplo 3: Moeda honesta (cara
ou coroa). Qual é a chance de obter 3 caras e
3 coroas em 6 jogadas da moeda?
– Como a moeda é honesta, então a chance de
obter cara é igual a de obter coroa, logo:
P(cara)  p P(coroa)  q
p  q 1
pq
1
pq
2
5
02/04/2014
O que é probabilidade
• O próximo passo é listar todas as chances de
acontecimento
• Como jogar as moeda não afeta as
probabilidades (elas não se alteram a cada
jogada), então 6 jogadas equivalem a:
 p  q  p  q  p  q  p  q  p  q  p  q   1
 p  q 6  1
p 6  6 p 5 q  15 p 4 q 2  20 p 3q 3  15 p 2 q 4  6 pq 5  q 6  1
1
1  6  15  20  15  6  1  1
64
O que é probabilidade
• Portanto a chance de obter 3 caras e 3 coroas em
6 jogadas da moeda é
20 p 3q 3 
20
 0.3125
64
• Com base neste resultado podemos encontrar a
resposta ao exemplo 4: Moeda desonesta (60%
cara e 40% coroa). Qual é a chance de obter 3
caras e 2 coroas em 5 jogadas da moeda?
O que é probabilidade
• Neste caso, como a moeda é não honesta,
então as chances são fornecidas:
P(cara)  p 
6
10
P(coroa)  q 
• Listando as possibilidades
4
10
 p  q  p  q  p  q  p  q  p  q   1
 p  q 5  1
p 5  5 p 4 q  10 p 3 q 2  10 p 2 q 3  5 pq 4  q 5  1
1
243  162  216  144  48  32  1
625
6
02/04/2014
O que é probabilidade
• Portanto a chance de obter 3 caras e 2 coroas
em 5 jogadas da moeda é
10 p 3q 2 
216
 0.3456
625
• Note que a chave é encontrar as
probabilidades adequadamente
representadas
Variáveis Aleatórias
• Mas ao invés de simplesmente nomear
eventos (Cara ou Coroa), podemos associar
números a estes eventos
• Por exemplo:
– Cara = 1 & Coroa = 0 (ou vice-versa)
• Ao fazermos isto, estamos associando
variáveis aleatórias a eventos.
– Isto ampliará em muito a representação de
chance.
Variáveis Aleatórias
• Assim como podemos associar um número ao
evento (x) também podemos representar a
probabilidade, no caso de Cara {x=1} ou Coroa
{x=0} como:
P(cara)  P X  1  p
P(coroa)  P X  0  q
P X   p  q  1
7
02/04/2014
Variáveis Aleatórias
• As variáveis aleatórias podem ser contínuas
(também descontínuas) ou discretas
– As discretas assumem valores bem definidos
PY  y1 
P y1 
– As contínuas tem sua probabilidade definida por
intervalos
PY  y 
Variáveis Aleatórias
• No caso das variáveis aleatórias (VA)
contínuas, há um mapeamento entre os
números reais e as variáveis de modo que:
– Se
– Então
y1  y2
PY  y1   PY  y2 
• Este mesmo raciocínio é aplicado para VA
discreta
Distribuição de Probabilidade
• Desta forma podemos definir a função de
distribuição de probabilidade acumulada F(x)
(tanto para VA contínua quanto discreta):
F x   P X  x 
x1  x2  F x1   F x2 
lim x F x   0
lim x F x   1
8
02/04/2014
Distribuição de Probabilidade
• Apesar do conceito de probabilidade poder
ser usado tanto para o caso de VA contínua
quanto discreta
– É mais simples entender probabilidade através de
VA discreta
• A probabilidade de um evento X1 ocorrer em
n tentativas é
p X 1  lim n
nX 1
n
Distribuição de Probabilidade
• Isto quer dizer que a probabilidade é dada
pela razão do número de vezes que ocorreu
X1 sobre o número total de tentativas
– Esta abordagem é chamada de frequentista (em
oposição a abordagem bayesiana).
• No caso contínuo podemos definir a função
densidade de probabilidade como
p x  
dF x 
dx
Distribuição de Probabilidade
• Há várias densidades de probabilidades
conhecidas. No caso de uma variável aleatória
temos as mais conhecidas:
– Normal (ou Gaussiana)
– Uniforme
p x  
 1

px    b  a

 0

1
e
2
 x   2
2
a xb
c.c
9
02/04/2014
Distribuição de Probabilidade
• Distribuição Normal
Distribuição de Probabilidade
• Distribuição Uniforme (contínua)
Distribuição de Probabilidade
• Distribuição Uniforme (discreta)
10
02/04/2014
Distribuição de Probabilidade
• Através das distribuições de probabilidade
estimar regiões de maior probabilidade
– Basicamente este é o conceito dos intervalos de
confiança
– Isto é mais fácil de entender na distribuição de
probabilidade uniforme contínua
– A Função distribuição é
F x  
xa
ba
Distribuição de Probabilidade
• Note que podemos calcular a probabilidade
do ponto estar em determinado intervalo (por
exemplo de x1 a x2)
x2  x1
Px 2  Px1 
ba
ba
 x    x
2
ba
x1 
 x    x
2
x2 
Distribuição de Probabilidade
• Centrando em torno da média e fazendo
pontos equidistantes da média podemos
encontrar os intervalos de confiança
P  x   P  x  
2x
ba
P  x   P  x 
 x 
ba
2
• Podemos também definir em função do desvio
padrão
 12
P  x   P  x 
x 
2
x   3P  x   P  x 
11
02/04/2014
Momentos
• A partir do conhecimento da definição,
podemos encontrar os momentos da
distribuição
– Podem ser “puros” (não centrados) ou “centrais”
(centrados)

 
E x   
E xk
k

– Os momentos centrais são medidos com relação a
média .
Momentos
• Os momentos tem algumas propriedades
úteis:
Ea  a
Eax  by  aEx bEy

    
E x  y   E x 2  E y 2  2 Exy
2
Momentos
• O momento de ordem k é dado por
– No caso discreto temos variáveis discretas
 
N
nxi
i 1
n
E x k  lim n 
N
N
i 1
i 1
xik   pxi xik   pi xik
– No caso contínuo temos variáveis contínuas
Ex k   x k px dx
12
02/04/2014
Momentos
• O momento de ordem zero é sempre 1
 
N
N
i 1
i 1
E x 0   pxi xi0   pxi   1
Ex 0   x 0 px dx   px dx  1
Momentos
• O primeiro momento é a média da
distribuição (mesma equação da média
ponderada)

N
N
i 1
i 1
E x1   pxi xi1   pxi xi  
Ex1  x1 px dx   xpx dx  
Momentos
• Os momentos seguintes são definidos em
termos dos momentos centrais
• Temos
2
– Variância – ordem 2


Ex    
Ex    
E x     varx
3
– Skewness (distorção) – ordem 3
– Kurtosis (curtose) – ordem 4
4
13
02/04/2014
Momentos
• Variância:
Momentos
• Skewness:
Momentos
• Kurtosis:
14
02/04/2014
Momentos
• A relação da variância com os momentos
puros:


E x     E x 2  2x   2 
2
 E x  E2x E  2 
2
 E x 2  2Ex  2  E x 2   2
varx  Ex 2  Ex
2
Momentos
• A variância da soma de duas variáveis
aleatórias
2
varx  y  E x   x    y   y 


 E x      y     2x    y   
 E x     E  y     2 Ex    y   
2
2
x
y
x
2
y
2
x
y
 varx vary 2 covxy
x
y
Momentos
• Naturalmente, se
covxy  0
• Ou seja a covariância entre as variáveis é nula.
Então
varx  y  varx vary
• Se a covariância é nula, estas variáveis são ditas
não correlacionadas
15
02/04/2014
Momentos
• Se duas variáveis são não correlacionadas então
px, y   px  p y 
• Exemplo 5. Um divisor de tensão entre dois
resistores, tem que um deles é uma VA de
distribuição uniforme entre 1 e 2 W. O outro,
aonde a tensão é medida também é uma VA de
distribuição uniforme entre 1 e 2 W. As duas VAs
não tem correlação. Qual é a média e o desvio
padrão da tensão?
• Voltaremos a este exemplo depois
Momentos
• Mas o que significa variância?
– Usando a analogia de circuitos
• Consideremos a janela de tempo de 0 a T como uma
distribuição uniforme
 1

pt   T  0

 0
0t T
c.c
• A nossa “variável aleatória” será a tensão nos terminais
de um resistor R
Momentos
• Portanto
T
1
Evt    vt  dt  VDC
T
0
V2
1
v 2 t  1
Ept    vt it  dt  
dt  RMS
T
R T
R
0
0
T

T

2
 E v 2 t   VRMS
16
02/04/2014
Momentos
• Portanto
– O primeiro momento puro equivale o “valor DC”
Evt   VDC
– O segundo momento “puro” é equivalente ao
quadrado do valor RMS.
 
2
E v 2 t   VRMS
Momentos
• Com isso podemos pensar no segundo
momento central como
– A energia do sinal “fora” do valor médio (DC), ou
seja, uma forma de dispersão do sinal.
• Se o segundo momento for zero a energia está toda
concentrada na média
• A medida que o momento aumenta, mais energia
estará espalhada ao redor da média
– A raiz quadrada da variância é chamada de desvio
padrão
2
2
2

  
E vt   VDC   E vt   Evt 
V
2
RMS
V
2
DC
 Wmédio  WDC
Momentos
• Primeiros momentos das distribuições
contínuas apresentadas
– Normal
Ex  


E x      2
2
– Uniforme
Ex   
ba
2
2

b  a 2
  b  a   

2
E  x  
     
12

  2   

17
02/04/2014
Momentos
• Ligando a probabilidade e a estatística
– Vamos considerar que foram retirados N amostras
de uma distribuição com média  e desvio .
– Esta distribuição pode ter uma densidade de
probabilidade a priori desconhecida.
• Agora temos dados ao invés de ligações
matemáticas abstratas.
– Como podemos saber quais os momentos da
distribuição das amostras?
Momentos
• Sabemos que

Ex  

E x      2
2
• O que temos é:
X1, X 2 ,..., X N 
• Estes foram obtidos aleatoriamente!
Momentos
• Vamos considerar a soma de todos os dados
amostrados
N
sN  X 1  X 2  ...  X N   X k
k 1
• Se repetirmos a amostragem infinitas vezes, o
valor esperado desta soma é
N
N
 N
Es N   E  X k    EX k      N
k 1
 k 1  k 1
18
02/04/2014
Momentos
• Como: N  Es 
N
1
• Definindo a média amostral X 
N
X
N
k 1
k
• Então a expectativa da média amostral é:
1 N
 1 N

EX   E   X k   E  X k 
 N k 1  N  k 1 
1
1
 Es N   N  
N
N
Momentos
• Pergunta: De que isso adianta? Afinal teremos
que repetir infinitas vezes...
– Não é o caso, pois podemos provar que a
diferença entre a média amostral e  converge
para zero com aumento do número de amostras...
– Basta provar que a variância da diferença da
média amostral e  tende a zero quando o
número de amostras tende ao infinito
• Vamos encontrar a variância da diferença (que
é a variância da média amostral)
Momentos
• O segundo momento central é:
1 N
 1
N

varX   var   X k   2 var  X k 
 N k 1  N
 k 1 
1 N
1
2
 varX k   N 2 N 2  N
N 2 k 1
• Portanto a variância diminui linearmente com o
aumento do número de amostras

– Note que para que isto seja verdade a covariância
entre as amostras tem de ser zero
covxy  0
19
02/04/2014
Momentos
• Alternativamente:

 
  
E X     E X 2  2 X   2  E X 2   2 
2
 1 N
1 N
 

E   X k     2  2 E  X k2    2
N  k 1
 N k 1
 

2
1  N
N
 
2
 2  E   X k      E  X k     2
N   k 1

 k 1  
2

1
2
N 2  N 2  2   2 
2
N
N


Momentos
• Temos então um estimador do primeiro
momento da distribuição (média)
X
1
N
N
X
k 1
k
lim N  X  
• E o segundo momento (variância)?
Momentos
• Vamos calcular o estimador da variância da
amostra considerando a média .
S2 
1
N
N
 X
k 1

  
2
k
1
N
 X
N
k 1
 X  X   
2
k

1 N
2
2 
  X k  X   2X k  X X    X    
N  k 1

20
02/04/2014
Momentos
• Calculando o valor esperado

1  N
2
2
E S 2   2  E   X k  X   2X k  X X    X   
 N  k 1
2 N
1 N
1 N
2
2
 E   X k  X    X k  X X     X    
N k 1
N k 1
 N k 1

 
1 N
2 N

1
2
 E   X k  X    E   X k  X X     E 
 N k 1

 N k 1

N
1 N
2
2
 E  X k  X    0 
N  k 1
N




 X    
N
2
k 1
Momentos
• Rearranjando
1 N
2
2
E  X k  X    0 
N  k 1
N

N
2
2
 E  X k  X    N  1  N  1E S 2
 k 1

2 
 
• Portanto, há um desvio no estimador que
pode ser corrigido fazendo
N
 1
2
E s2  E
 X k  X     2
 N  1 k 1

N
1
2


s2 
X

X
k
N  1 
k 1
 
Aplicações
• Muito bem, mas e como vamos aplicar isso?
• Voltamos ao problema do tanque (exemplo 1):
– 10 tanques foram capturados
– Números de série dos tanques capturados:
• 239, 23, 251, 219, 91, 154, 436, 408, 500, 123.
• A distribuição em questão é uniforme (os
números vão de 1 até M)
– Sabemos quanto é a média de uma distribuição
uniforme e a variância
21
02/04/2014
Aplicações
• Média
M 1
 M  2  1
2

• Variância
2 
M  12  M 
12
12 2  1
Aplicações
• Para calcular a média e a variância usamos os
estimadores das amostras
N
1 N
X k  X 2

N  1 k 1
k 1
• Além disto temos a relação entre o desvio da
média amostral e real
X
1
N
X

s2 
k

E X    
2
2
N

M  12
12 N
Aplicações
• Resultados:
– Média da amostra: 244.4
– Variância da amostra: 25998.3
– Desvio padrão da amostra: 158.1
• Resultados do espaço amostral original
–
–
–
–
Média: 250.5
Variância: 20750.1
Desvio padrão: 144.1
Variância da média da amostra em relação a média
real: 2075.0
– Desvio padrão: 45.6
22
02/04/2014
Aplicações
• Resultados:
– Estimador pela média: 487.8000
– Estimador pela variância: 547.7045
– Média dos dois: 517.7523
– Considerando distribuição uniforme:
M  244.4  158.1 3
 518
– Valor real de M: 500
Aplicações
• Voltemos ao exemplo 2: Quantas pessoas
usam somente carro para vir a UnB?
• Vamos dizer que você entrevistou N pessoas
aleatoriamente e descorrelacionadas e
obteve as proporções p e q
– M pessoas vinham de carro (p)
– N-M pessoas não vinham de carro (q)
– O que podemos dizer a respeito do seu resultado?
Aplicações
• Primeiro associamos VA a cada probabilidade
– 1 para p & 0 para q
p
M
N
q
N M
N
– M amostras escolheram p e N-M escolheram q
• Então usando a relação da média amostral:
1 N
1
M
X   X k  M 1  N  M 0 
p
N k 1
N
N
23
02/04/2014
Aplicações
• Então usando a relação da variância da
amostra:
s2 

1 N
1
2
2
2
 X k  X   N  1 M 1  p   N  M 0  p 
N  1 k 1

M  2Mp  Np 2
N M
M


2
p  p2  
N 1
N  1  N
N

N
N
N
2
2
p 2p  p 
p1  p  
pq
N 1
N 1
N 1



Aplicações
• Pelas relações de variância da média sabemos
que:


E X    
2
2
N

pq
N 1
• Portanto, a proporção de pessoas que vem de
carro para UnB é aproximadamente
p'  p 
p1  p 
N 1
Aplicações
• Só para fazer uma idéia: digamos que foram
entrevistadas 101 pessoas e que a proporção
p foi de 30%
– Temos então
p'  0.30  0.05
24
02/04/2014
Mapeamentos
• Em muitas aplicações em engenharia temos uma
combinação de entradas (ou estímulos)
aleatórios com determinísticos
• Por exemplo:
– Variações na fabricação de componentes
– Incertezas com relação a posicionamento
– Incertezas devido a variáveis muito complexas
• Nestes casos, temos uma relação (equação ou
procedimento determinístico) associado a efeitos
aleatórios
Mapeamentos
• Nestas situações temos um mapeamento
definido de entradas aleatórias (combinadas
com determinísticas)
– Desejamos saber qual é a estatística da saída
• Frequentemente média e desvio padrão
• Por vezes intervalos de confiança ou mesmo a
distribuição de probabilidade (ou sua densidade) do
resultado
– A técnica mais comum é Monte Carlo
Mapeamentos
• Como funciona Monte-Carlo?
– Temos o mapeamento definido
– Geramos uma quantidade de pontos aleatórios
suficiente para nossa finalidade
– Submetemos cada um desses pontos ao
mapeamento
– Investigamos a estatística da saída
• Média, desvio, distribuição, etc...
25
02/04/2014
Mapeamentos
• Exemplo: mapeamento f(x)
– Geramos os pontos aleatórios (a distribuição tem
de ser conhecida)
X 1 , X 2 ,... X k ,... X N
– Submetemos ao mapeamento e obtemos a
estatística da saída
f X  
1
N
N
 f X 
k
k 1
s 
2
f
1 N
 f  X k   f X 2

N  1 k 1
Mapeamentos
• Em casos aonde o problema possa ser
definido de forma analítica, calculamos os
momentos da saída


E  f x     f x  px dx
k
k
Mapeamentos
• Exemplo 6. Um divisor de tensão entre dois
resistores, tem que um deles é uma VA de
distribuição uniforme entre 1 e 2 W. O outro,
aonde a tensão é medida é um resistor de 1
W. Qual é a média e o desvio padrão da
tensão?
V
1
V0
1 x
26
02/04/2014
Mapeamentos
• Usando a definição
1
3
dx  ln    0.4054651084V0
1

x
2
1
2
V  EV   V0 
2
 1
 3 
 ln   dx
1

x
 2 

1
2
 2  V0  
3 1
2
 2 ln 2 ln     ln 3  0.002264712V02
2 6
Mapeamentos
• O desvio padrão é a raiz da variância, logo
  0.04758899032V0
• Podemos que dizer (com o erro de 1 desvio)
V  0.4054651084  0.0475889903V0
• Note que o valor considerando tudo
determinístico é 0.4V0
Mapeamentos
• Vamos calcular este resultado por Monte
Carlo
– Para simplificar fazemos V0=1
• Calculamos a tensão em N amostras aleatórias do valor
da resistência (distribuição uniforme entre 1 e 2)
• Resultados
V  0.4046  0.0558V0
V  0.4056  0.0445V0
V  0.4038  0.0483V0
V  0.4054651084  0.0475889903V0
– N=10
– N=100
– N=1000
27
02/04/2014
Mapeamentos
• Código MATLAB – Monte Carlo para o Problema
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
% Teste para Monte Carlo
clear
% Número de amostras
N=100000;
% Amostras de resistencia
R=1+rand(1,N);
% Calculo da tensão
V=1./(1+R);
% Média da tensão
Vm=mean(V);
% Desvio da tensão
Vd=sqrt(var(V));
% Escreve a média e o desvio
[Vm Vd]
Mapeamentos
• Note que a convergência não é monotônica
– Monte Carlo tem convergência lenta
• Para N=1.000.000
V  0.4053  0.0475V0
V  0.4054651084  0.0475889903V0
• Este é o maior problema de Monte Carlo –
demanda muitas amostras
Mapeamentos
• E se fizermos pela UT?
– De novo para simplificar fazemos V0=1
• Calculamos a tensão em 3 amostras do valor da
resistência (distribuição uniforme entre 1 e 2)
– R=1.1125, R=1.5, R=1.8875
– w1=0.278, w2=0.444, w3=0.278
• Resultados
V  0.4055  0.0476V0
V  0.4054651084  0.0475889903V0
28
02/04/2014
Mapeamentos
• Código MATLAB – UT para o Problema
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
% Teste para UT
clear
% Pontos sigma
sg=[-0.775 0 0.775]';
% Pesos
w=[0.278 0.444 0.278];
% Valores de Resistência
R1=1+1/2*(1+sg);
% Valores de Tensão
V1=1./(1+R1);
% Média
Vm=w*V1;
% Variancia
Va=w*((V1-Vm).^2);
% Desvio
Vd=sqrt(Va);
[Vm Vd]
Mapeamentos
• Finalmente, voltemos ao exemplo 5. Um
divisor de tensão entre dois resistores, tem
que um deles é uma VA de distribuição
uniforme entre 1 e 2 W. O outro, aonde a
tensão é medida também é uma VA de
distribuição uniforme entre 1 e 2 W. As duas
VAs não tem correlação. Qual é a média e o
desvio padrão da tensão?
y
V
yx
V0
Mapeamentos
• Usando a definição
2 2
V  EV   V0  
1 1
y
1
dxdy   0.5V0
yx
2
2
 y
1
  dxdy
y  x 2
1 1 
2 2
 2  V0   

3
 9 ln 2  5 ln 3  0.004736820V02
4
29
02/04/2014
Mapeamentos
• O desvio padrão é a raiz da variância, logo
  0.06882455957V0
• Podemos que dizer
V  0.5  0.06882455957V0
• Note que o valor considerando tudo
determinístico é 0.5V0
Mapeamentos
• E com relação a distribuição?
– Caso contínuo: Utiliza-se o jacobiano do
mapeamento y=g(u) da função densidade de
probabilidade p(u)
dg 1  y 
dg 1  y 
pT  y   p g 1  y 
 p g 1  y 
dg
dy




– A função distribuição de probabilidade

 dgdww dw
F  y    pT wdw   p g 1 w
y
y


1
Mapeamentos
• No caso de mapeamentos polinomiais este
cálculo é menos complicado
– A inversa do polinômio pode ser calculada (mas
nem sempre é simples)
– Mapeamento
y  g u   a2u 2  a1u  a0
– Função densidade de probabilidade
pu  
u2
1 2
e
2
30
02/04/2014
Mapeamentos
• Portanto
  a  a 2  4a y  4a a
1
2
2 0
 1

2a2
1
u  g y  
2
  a1  a1  4a2 y  4a2 a0

2a2

1


d g 1  y  d g 1  y   a12  4a2 y  4a2 a0


1
dg
dy

 a12  4a2 y  4a2 a0

 

Mapeamentos
• Portanto, a nova função densidade de
probabilidade
2
  1  1 a1  a12 4a2a0  4a2 y 
1  1  a1  a1  4 a2 a0  4 a2 y 
 


a2
22
a2
 22


1 e 
e 
p y  

 2
2
2  a1  4a2 a0  4a2 y
a1  4a2 a0  4a2 y


2
• Para a0=a1=0:

2







y
e 2 a2
p y  
2a2 y
Conclusão
• Apresentados os conceitos básicos de
estatística e probabilidade
• Revisados os conceitos de momentos
• Revisados os conceitos de distribuição de
probabilidade e densidade de probabilidade
• Apresentado o conceito de mapeamento
31