trigonometria-do-triangulo-rectangulo

AMEI Escolar
Matemática
9º Ano
Trigonometria do triângulo
rectângulo
Razões trigonométricas de um ângulo
agudo. Resolução de triângulos
rectângulos
Conteúdos desta unidade:
 Razões trigonométricas
de um ângulo agudo.
Resolução de triângulos
rectângulos;
 Relações entre as razões
trigonométricas do
mesmo ângulo;
 Resolução de problemas
aplicando trigonometria.
 A palavra trigonometria resultou da composição de três termos
gregos: tri (três) + gono (ângulo) + metria (medida). Vamos aprender
a trigonometria aplicada aos triângulos rectângulos, cujas
propriedades já nos anos anteriores estudaste algumas:
 existe sempre um ângulo recto (90º), daí o nome;
 a soma de todos os ângulos internos é igual a 180º;
 ao lado oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa e aos
outros lados chamamos catetos;
 o teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos diferentes
lados do triângulo a partir da fórmula
.
Exercício resolvido:
Indica a hipotenusa e os catetos e calcula o comprimento da hipotenusa.
R: O comprimento da hipotenusa é de 29 cm.
 Quando assinalamos um dos ângulos agudos do triângulo rectângulos
podemos diferenciar os catetos em cateto adjacente (que faz parte do
ângulo) e cateto oposto (que é oposto ao ângulo), da seguinte
maneira:
 As razões trigonométricas que vais estudar são três: o seno, o coseno e a tangente. Sendo [ABC] um triângulo rectângulo em B e α a
amplitude de um dos ângulos agudos, definem-se as razões
trigonométricas seno α (sinα), co-seno α (cosα) e tangente α (tanα)
do seguinte modo:
 Por simplificação da linguagem podemos chamar ao comprimento do
lado x simplesmente lado x. Para determinar na calculadora o seno, o
co-seno ou a tangente de um número devemos carregar nas teclas
correspondentes (sin, cos ou tan).
 Quando nos é dado o valor de sinα, cosα ou tanα e queremos saber o
valor de α basta calcular o valor dado elevado a -1 (sin-1, cos-1 ou tan1
). Na calculadora encontramos também as teclas correspondentes a
estas funções, normalmente nas segundas funções. Podemos resumir
isto nas seguintes equações:
 Resolver um triângulo rectângulo é determinar os ângulos e os lados
desconhecidos a partir do conhecimento de determinados ângulos e
lados.
Exercício resolvido:
Resolve o seguinte triângulo.
Exercícios 1:
1. Observa os seguintes triângulos.
Exercícios 1 (continuação):
1.1. Completa a tabela com as letras correspondentes.
Triângulo
Hipotenusa
Cateto oposto ao
ângulo assinalado
Amarelo
Verde
Laranja
1.2. Sabendo que a = 8, b = 17 e c = 15:
a) determine tanα.
b) determine α.
1.3. Sabendo que d = 12, e = 25,5 e f = 22,5:
a) determine sinβ.
b) determine β.
Cateto adjacente ao
ângulo assinalado
Exercícios 1 (continuação):
1.4. Sabendo que g = 7,4, h = 7 e i = 2,4.:
a) determine cosθ.
b) determine θ.
2. Observa os seguintes triângulos.
2.1. Resolve o triângulo [MAR].
Exercícios 1 (continuação):
2.2. Resolve o triângulo [ABC].
2.3. Resolve o triângulo [TRI].
Relações entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo
 Existem uma fórmula da trigonometria que relaciona as 3 razões
trigonométricas estudadas que é:
Exercício resolvido:
Observa o seguinte triângulo e calcula
.
 Existe também outra fórmula que é chamada de fórmula fundamental
da trigonometria:
Exercício resolvido:
Observa o seguinte triângulo e prova a fórmula fundamental da trigonometria.
c.q.p.
 A partir da fórmula fundamental da trigonometria podemos retirar
outras fórmulas que nos podem ser úteis tais como:
Exercícios 2:
1. Sabendo que α é um ângulo agudo e que sinα = 0,8:
1.1. determina cosα;
1.2. determina tanα.
2. Sabendo que β é um ângulo agudo e que cosβ = 0,9:
2.1. determina tanβ;
Exercícios 2:
2.2. determina β.
3. Classifica as equações com VERDADEIRO ou FALSO.
a)
 ________________
b)
 ________________
c)
 ________________
d)
e)
 ________________
 ________________
Resolução de problemas aplicando trigonometria
 A resolução de muitos problemas que envolvem a determinação de
alturas ou amplitudes de ângulos é facilitada através do uso da
trigonometria.
Exercício resolvido:
Qual a largura do rio ilustrado na figura?
R: A largura do rio é aproximadamente 143 metros.
Exercício resolvido:
Qual a altura do prédio ilustrado na figura?
R: O prédio tem aproximadamente 85 metros de altura.
Exercícios 3:
1. A situação apresentada nesta figura significa que, em cada 100 m medidos (ou
percorridos pelo carro) na horizontal a estrada "sobe" 10 m na vertical. Determina α.
Exercícios 3 (continuação):
2. A Joana foi visitar um castelo. Do cimo do fosso vazio, ela avista o topo do castelo
com um ângulo de elevação de 72º e a base segundo um ângulo de depressão de 31º.
Sabe-se também que a largura do fosso é de 10 metros. Determina a altura do castelo.
Exercícios 3 (continuação):
3. A Rita construiu um quadrante e com ele quer determinar a altura da árvore que fica
em frente à sua casa. Observa a figura e determina a altura da árvore.
4. Observa a imagem e determina a que altura se encontra o balão de ar quente.