24 de Fevereiro de 2016 Critérios de Divisibilidade

Critérios de Divisibilidade
MÚLTIPLOS E DIVISORES
 MÚLTIPLO
Um número natural é múltiplo de um outro,
quando a sua divisão por esse outro é exata.
Assim, 21 é múltiplo de 3 e de 7, pois:
21  3 = 7
21  7 = 3
Múltiplo de um número é o produto desse
número por um número natural qualquer.
Dessa forma, para se obter os múltiplos de um
número, basta multiplicá-lo pelos termos da
seqüência natural dos números. Como essa
seqüência é ilimitada, conclui-se que:
a) todo número tem uma infinidade de
múltiplos;
b) excluindo o zero, o menor múltiplo de um
número é o próprio número.
Exemplos:
I) o conjunto dos múltiplos de 2 são:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... }
II) o conjunto dos múltiplos de 5 são:
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ... }
 DIVISOR
Um número natural é divisor de outro,
quando ele divide esse outro exatamente, isto é,
sem deixar resto.
Se um número é divisor de outro, dizemos que
o outro é múltiplo dele.
Ex.:
a) 2 é divisor de 6, pois 6 é múltiplo de 2.
b) 5 é divisor de 10, pois 10 é múltiplo de 5.
Os divisores de um número formam sempre
um conjunto finito.
Exemplo:
O conjunto dos divisores de 4 são: D(4) = {1, 2, 4}
O conjunto dos divisores de 15 são: D(15) = {1, 3,
5, 15}
Observações:
1. o 1 é divisor de qualquer número natural.
2. o zero é múltiplo de qualquer número
natural.
3. o zero não é divisor de nenhum número
natural.
4. o maior divisor de um número natural é
ele mesmo.
5. não existe o maior múltiplo de um número
natural.
6. o menor divisor de um número natural é
1.
7. o menor múltiplo de um número natural é
0.
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8. um número natural, com exceção do
zero é simultaneamente múltiplo e divisor
de si mesmo.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Vamos estudar neste capítulo “macetes”
para podermos verificar quando o número é ou
não divisível por outro, sem fazermos a respectiva
divisão.
 DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando termina
em 0, 2, 4, 6 e 8, ou seja, for par.
 o número 74 é divisível por 2, pois termina
em 4.
 DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por 5 quando o
algarismo das unidades é 0 ou 5 (ou quando
termina em zero ou 5).
 320 é divisível por 5, pois termina em 0.
 35 é divisível por 5, pois termina em 5.
 DIVISIBILIDADE POR 10
Um número é divisível por 10 quando os
algarismos das unidades é 0 (ou quando termina
em 0).
 500 é divisível por 10, pois termina em 0.
 DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando os dois
últimos algarismos forem 00 ou formarem um
número divisível por 4.
 100 é divisível por 4, pois termina em 00.
 216 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
 DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando os três
últimos algarismos forem 000 ou formarem um
número divisível por 8.
 1000 é divisível por 8, pois termina em 000.
 1216 é divisível por 8, pois 216 é divisível por
8.
 DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma
dos valores absolutos dos seus algarismos é um
número divisível por 3.
 o número 123 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 3
= 6 e 6 é divisível por 3.
 DIVISIBILIDADE POR 9
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Um número é divisível por 9 quando a soma
dos valores absolutos de seus algarismos for
divisível por 9.
 81 é divisível por 9, pois 8 + 1 = 9
 513 é divisível por 9, pois 5 + 1 + 3 = 9 é
divisível por 9.
 DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6 quando o mesmo
é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
 24 é divisível por 6, pois 24 e por 3
simultaneamente.
 DIVISIBILIDADE POR 12
Um número é divisível por 12 quando for é
divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
 960 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e
4 simultaneamente.
 DIVISIBILIDADE POR 15
Um número é divisível por 15 quando for é
divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
 960 é divisível por 15, pois é divisível por 3 e
5 simultaneamente.
Os divisores (N) de 60 são:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
Em Z, os divisores de 60 são:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e
60
Número Composto
Um número natural, maior que 1, que tem
mais de dois divisores é um número composto.
9 e 12 são números compostos porque têm
mais de 2 divisores.
Números Primo
Em N para que um número seja primo só
pode apresentar como divisores a unidade e ele
próprio (2 divisores).
Portanto, são primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
 Conjunto dos Divisores de um Número
Se levamos em consideração o número 12,
sabemos que ele pode ser dividido exatamente
por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 e por ele mesmo.
Sendo assim, dizemos que o conjunto dos
divisores de 12 é o seguinte:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Quando um número só é divisível por ele
mesmo e por 1 (um), dizemos, então, que o
número é primo. Os primeiros números primos são
os seguintes:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}
Obs.: quando o número tem mais de dois
divisores (além do 1 e dele mesmo), ele é
chamado de composto.
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 Decompondo um Número Composto em
Fatores Primos
Decompor um número composto significa
fatorar este número. Vamos entender melhor isto
observando o exemplo que segue:
Ex.: Fatorar o número 90.
Solução: dividimos 90 sucessivamente pelos seus
divisores primos. Os divisores são colocados à
direita do traço vertical e os quocientes obtidos
à esquerda. Observe:
90
2
45
3
15
3
5
5
1
2
90 = 
2x3
x5


Forma Fatorada
90  2 = 45. Este resultado (45) é colocado logo
abaixo do 90. A seguir, divide-se 45 por 3, dando
15 como resultado, que por sua vez é colocado
abaixo do 45 e assim sucessivamente até chegar
em 1 (um).
AGORA É SUA VEZ: Fatore os seguintes números
a) 108
c) 36
b) 490
d) 144
Obtenção dos Divisores de um Número
Vamos ver como se determina o conjunto
dos divisores de um número natural qualquer.
Para tanto, acompanhe com atenção a
resolução do exemplo que segue:
Ex.: Determinar o conjunto dos divisores do
número 42.
Solução: o processo é o seguinte:
1º) Fatoramos o número dado:
42
2
21
3
7
7
1
2º) Anotamos o número 1, que é divisor de todos
os números.
1
42
2
21
3
7
7
1
3º) Multiplicamos o primeiro fator primo pelo 1 e
anotamos o resultado.
1
42
2
2
21
3
7
7
1
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4º) Multiplicamos o próximo fator primo pelos
divisores já obtidos e anotamos os resultados.
(Não se repetem resultados).
1
42
2
2
21
3
3, 6
7
7
1
5º) Multiplicamos o próximo fator primo pelos
divisores já obtidos e anotamos os resultados.
1
42
2
2
21
3
3, 6
7
7
7, 14, 21,
1
42
AGORA É SUA VEZ: Determine os divisores dos
seguintes números:
a) 30
c) 35
b) 42
d) 45
 O Maior Divisor Comum (MDC) de Números
Naturais
Podemos Calcular o MDC de duas formas:
através do Método das Divisões Sucessivas (mais
conhecido como “Jogo da Velha”), ou
aplicando a definição matemática de MDC,
que diz:
O MDC será o produto dos fatores comuns
elevados aos menores expoentes.
Obs.: quando tivemos mais de dois números,
calculamos o MDC dos dois maiores e, em
seguida, calcula-se MDC do resultado obtido e
do último número.
Ex.: Determine o MDC dos números 90 e 108.
Solução: aplicando a definição matemática de
MDC, faremos assim:
1º) fatoram-se os números dados;
2º) tornam-se os fatores primos comuns, cada
um elevado ao menor expoente;
3º) o produto desses fatores é o MDC procurado.
90
45
15
5
1
2
3
3
5
108 2
54
2
27
3
9
3
3
3
1
90 = 2 x 32 x 5 108 = 22 x 32
MDC (90, 108) = 2 x 32 = 2 x 9 = 18
Fatores primos comuns com
expoentes.
O MMC será o produto dos fatores comuns elevados
aos maiores expoentes e dos não-comuns
Ex.: Calcule o MMC dos números 12 e 50.
Solução: Se aplicarmos a definição matemática
de MMC devemos fazer assim:
1º) Fatoram-se os números dados;
2º) Tomam-se os fatores comuns elevados aos
maiores expoentes e também os nãocomuns.
3º) O MMC será o produto de todos este fatores
mencionados acima.
12 2
50
2
6
2
25
2
3
3
5
5
1
1
12 = 22 x
3
50 = 2 x 52
MMC (12, 50) = 22 x 3 x 52 = 4 x 3 x 25 =
300
Fator comum Fatores
nãocom
maio comuns
expoente
Ex.: Calcule o MMC de 40, 50 e 75
Solução:
para
aplicar
o
método
da
decomposição simultânea, faz-se assim:
1º) fatoram-se simultaneamente os números
dados;
2º) multiplicam-se os fatores primos obtidos;
3º) o resultado desta multiplicação é o MMC.
40, 50, 75
20, 25, 75
10, 25, 75
5, 25, 75
5, 25, 25
1, 5, 5
1, 1, 1
2
2
2
3
5
5
MMC (40, 50, 75) = 22 x 3 x 52 = 8 x 3 x 25 = 600
os
menores
AGORA É SUA VEZ: Determine o MDC dos
seguintes números:
a) 60 e 45
b) 90 e 54
c) 36, 24 e 18
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 O Menor Múltiplo Comum (MMC) de Números
Naturais
Podemos da mesma forma que ocorreu com
MDC, calcular o MMC de duas maneiras: através
da decomposição (fatoração) simultânea dos
números ou aplicando a definição matemática
de MMC, que diz:
1. Mínimo múltiplo comum (MMC)
Dados dois números inteiros positivos, a e b,
o MMC (a, b) é o menor número que é múltiplo
de a e de b ao mesmo tempo.
Decompomos
ambos
os
números,
simultaneamente, desta forma, já se obtém os
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fatores comuns e os não comuns com os maiores
expoentes.
realizarão a viagem. Daqui a quantos dias esse
fato ocorrerá novamente?
Ex1: Calcule o mmc de 60 e 126.
Ex2: Calcule o mmc de (14, 30, 8)
2. Máximo Divisor Comum
Decompomos em fatores primos todos os
números simultaneamente, desde que o fator
primo divida todos os números ao mesmo tempo.
O produto dos fatores primos já nos fornece o
MDC.
Ex1: MDC (50, 120)
02 – Dois corredores de bicicleta saem no mesmo
instante do ponto de partida de uma pista
circular. O primeiro dá uma volta em 132
segundos e o outro em 120 segundos. Calcule
os minutos que levarão para se encontrar
novamente.
03 – Três rolos de fita de 60 metros, 120 metros e
150 metros, respectivamente, devem ser
divididos em pedaços iguais, de maior
comprimento possível, de modo que não sobre
nenhum pedaço de fila. Qual deve ser
tamanho de cada pedaço?
Ex2: MDC (60, 126)
Ex3: MDC (90, 75, 45)
01 – Em quatro salas de aula de uma escola há,
respectivamente, 60, 48, 36 e 24 alunos. Em
Quantas equipes podemos agrupar esses
alunos de mesma sala, de modo que cada
equipe tenha o mesmo e o maior número
possível de alunos?
Solução:
MDC (60, 48, 36 e 24) = nº de alunos em cada equipe
60, 48, 36, 24 2
30, 24, 18, 12 2
15, 12, 9, 6 3
5, 4, 3, 2
MDC = 2 x 2 x 2 = 12 alunos por equipe
nº de equipes: 5 + 4 + 3 + 2 = 14
02 – Quatro ciclistas, A, B, C e D partem juntos
para dar uma volta em torno de um quarteirão
do bairro onde moram, eles completam o
percurso respectivamente em 60, 48, 36 e 24
minutos. Quantas voltas terá dado o mais lento
até o momento em que estarão juntos no
ponto de partida?
Solução:
MDC (60, 48, 36 e 24) = tempo entre os dois encontros
60, 48, 36, 24
30, 24, 18, 12
15, 12, 9, 6
5, 4, 3, 2
5, 2, 3, 1
5, 1, 3, 1
5, 1, 1, 1
1, 1, 1, 1
2
2
3
2
2
3
5
MDC = 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3 x 5
MDC = 720 minutos
O mais lento dá uma volta em 60 min.
720
= 12 voltas
60
Exercícios de Sala
01 – Ligando duas cidades há 3 linhas de ônibus.
A primeira realiza a viagem a cada 3 dias, a
segunda a cada 5 dias e a terceira a cada 7
dias. Suponha que hoje os ônibus das três linhas
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04 – Considere A = 24 x 32 x 5,
B = 2 3 x 33 x 7
4
e C = 3 x 5 x 7. Calcule:
a) MDC (A, B)
b) MMC (A, B, C)
Relação entre MMC e MDC – O produto de dois
números naturais, diferentes de zero, é igual ao
produto do MMC pelo MDC entre eles, isto é,
MDC(a, b) x MMC(a, b) = a x b. Usando essa
propriedade, resolva os problema:
a) Qual é o produto de dois números naturais,
sabendo-se que o MMC é 120 e o MDC é 50?
Calcule o MDC(a, b), sabendo-se que a x b
= 1470 e o MMC(a, b) = 210.
Exercícios Propostos
1. Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para
colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha
240 pastas; o segundo 360; o terceiro180. Ele
deseja repartir os 3 lotes em pacotes contendo
todos a mesma quantidade de pastas e a maior
quantidade de pastas possível. O número de
pacotes que ele fará de:
a) 6
d) 15
b) 10 e) 18
c) 13
2. Numa pista circular de autorama, um carrinho
vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e
um carrinho azul dá uma volta a cada 80
segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos,
quantas voltas terá dado o mais lento até o
momento em que ambos voltarão a estar lado a
lado no ponto de partida?
a) 6
c) 8
e) 10
b) 7
d) 9
3. Dividindo-se um número natural X por 5,
obtém, quociente 33 e o resto é o maior possível.
Esse número X é:
a) menor que 1 centena
b) maior que 2 centenas
c) igual a 3 centenas
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d) quadrado perfeito
e) cubo perfeito
4. Um fabricante de palito de fósforo
acondicionou uma certa quantidade de palitos
em 5 dúzias de caixas, cada uma contendo 80
palitos. Se como medida de economia
resolvesse colocar 96 palitos em cada caixa, a
quantidade de caixas que economizaria seria:
a) uma dezena
c) uma dúzia
b) meia dúzia
d) uma dúzia e meia
5. Quais os números primos que são divisores de
120?
a) 0, 1, 2, 3, 5
d) 1, 3, 5
b) 1, 2, 3, 5
e) 2, 3, 5
c) 3, 5, 8
6. Quantos divisores positivos têm o número 16?
a) 5
c) 10
e) 2
b) 6
d) 12
7. Um número formado de três algarismos é
divisível por 6. Se o algarismo das centenas é 4, o
algarismo das dezenas é 5, então o algarismo
das unidades deve ser:
a) 1
c) 3
e) 7
b) 2
d) 6
8. Das opções abaixo, assinale a que é divisível
ao mesmo tempo por 2, 3 e 5:
a) 1.060
d) 1.800
b) 2.025
e) 2.300
c) 1.100
9. Saem do porto de Santos, navios Argentinos de
6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num
dia saírem dois navios desses países que tempo
demorará para saírem juntos outras vez?
a) 10 c) 12
e)14
b) 11 d) 13
10. Numa república hipotética, o presidente
deve permanecer 4 anos em seu cargo: os
senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa
república houve eleição para os três cargos em
1989. A próxima eleição simultânea para esses
três cargos ocorrerá, novamente, em:
a) 1995
c) 2001
e) 2005
b) 1999
d) 2002
11. Três peças de tecidos iguais possuem
respectivamente 48m, 60m e 72 m. Precisam ser
cortadas em pedaços iguais e do maior
tamanho possível. O Tamanho de cada pedaço
e o número de pedaços, são respectivamente
iguais a:
a) 10 e 10
c) 12 e 15
e) 15 e 15
b) 12 e 12
d) 15 e 12
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12. Um funcionário arquivou um lote de com 320
processos e outro com 360, da seguinte maneira:
 os do primeiro lote na estante A e os do
segundo lote na B.
 utilizou o menor número possível de
prateleiras;
 colocou o mesmo número de processos em
cada prateleira utilizada.
Nessas condições, é verdade que:
a) utilizou um total de 17 prateleiras.
b) utilizou 9 prateleiras da estante A.
c) utilizou 10 prateleiras da estante B.
d) colocou exatamente 30 processos em cada
prateleira.
e) colocou 45 processos em cada prateleira.
13. Duas pessoas, fazendo seus exercícios diários,
partem de um mesmo ponto e contornam,
andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas
anda de forma mais acelerada e dá uma volta
completa na pista em 12 minutos, enquanto a
outra leva 20 minutos para completar a volta.
Depois de quanto tempo essas duas pessoas
voltarão a se encontrar no ponto de partida e
quantas voltas terá dado cada uma das
pessoas?
a) 60 min, 5 e 3
c) 32 min, 1 e 2
b) 32 min, 4 e 2
d) 8 min, 12 e 20
14. Numa divisão, o quociente é 7, o divisor é 12
e o resto é o maior possível. O dividendo será:
(A)
90
(C) 100
(B) 95
(D) 105
15. Considere dois rolos de barbante, um com 96
m e outro com 150 m de comprimento.
Pretende-se cortar todo o barbante dos rolos em
pedaços de mesmo comprimento. O menor
número de pedaços que poderá ser obtido é:
a) 38
c) 43
e) 55
b) 41
d) 52
16. Cada um dos números inteiros a = 2² . 3 x . 5y e
b = 2z . 32 admite 18 divisores positivos e o mdc
(a,b) = 12. Os valores de a e b são,
respectivamente:
a) 300 e 288
d) 600 e 576
b) 300 e 144
e) 288 e 300
c) 144 e 288
17. Qual o menor número natural de três
algarismos que verifica as condições seguintes:
I. dividido por 8 dá resto 3
II. o quociente anterior, dividido por 7, dá resto 2
III. o novo quociente, dividido por 5, dá resto 1
a) 515
c) 259
e) 315
b) 179
d) 355
18. De um número x que é múltiplo de 3, e de um
número y, que deixa resto 4 na divisão por 6,
pode-se afirmar:
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a) x – y é divisível por 3
b) y -1 é múltiplo de 6
c) xy – 1 é um número par
d) x2 é divisível por 6
e) xy é múltiplo de 3
19. Para distribuir 105 litros de álcool, 120 litros de
azeite e 75 litros de água em barris de mesma
capacidade, de modo que a quantidade de
barris seja a menor possível, a capacidade de
cada barril, em litros, deve ser de:
20. Três cidades resolveram realizar um evento no
ano 2000. A cidade A decidiu que, a partir de
então, ele se realizará de 5 em 5 anos; a cidade
B decidiu que ele se repetirá de 3 em 3 anos; e a
cidade C, de 6 em 6 ano. As cidades A, B e C
realizarão novamente o evento no mesmo ano
em:
a) 2014
c) 2030
e) 2006
b) 2090
d) 2021
21. Um perito foi chamado para desmontar uma
bomba encontrada na garagem de um prédio.
Ao examiná-la, ele constatou que a bomba
continha um marcador circular graduado,
semelhante a um relógio, com um único
ponteiro. O perito verificou, ainda, que a bomba
já fora acionada e que explodiria assim que o
ponteiro do marcador retornasse a ponto de
partida, após completar uma volta.
Observou também, que, o ponteiro percorria 12º
sempre
que
4
lâmpadas
piscavam
simultaneamente e que estas piscavam,
respectivamente, a cada 1/4 de minuto, 3/20 de
minuto, 3/10 de minuto e 1/5 de minuto. Se, no
momento em que começou a desativar a
bomba, o ponteiro já havia percorrido 60º, o
tempo, em minutos, disponível para o perito
realizar a tarefa foi de:
22. Num avião encontram-se 122 passageiros dos
quais 96 eram brasileiros, 64 homens, 47
fumantes, 51 homens brasileiros, 25 homens
fumantes, 36 brasileiros fumantes e 20 homens
brasileiros fumantes.
O número de mulheres estrangeiras nãofumantes é:
a) 4
c) 14
e) 7
b) 0
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