2007_08_06_Nivelamen..

Nivelamento INSS – Tele-Transmitido
Prof. Anderson Conceição
Recordando operações básicas
Matemática
j) O dobro do que tenho, mais R$ 150,00 é
igual a R$ 550,00. Quanto tenho?
01. Calcule as expressões abaixo:
k) A soma de dois números é 39. O maior é
igual ao dobro do menor. Quais são ao dois
números?
a) 2254 + 1258 =
b) 300+590 =
c) 210+460=
l)
Determine
dois
números
inteiros
consecutivos tais que a soma de seus
quadrados seja 85.
d) 104+23 =
e) 239 – 54 =
f) 655 -340 =
m) O quadrado de um número natural é igual
ao seu dobro somado com 24. O dobro desse
número menos 8 é igual a"
g) 216-56=
h) 35 x 15 =
i) 50 x 210 =
a) 2
j) 366 x 23 =
k) 355 ÷ 5 =
b) 3
l) 364 ÷ 3=
c) 4
m) 1050 ÷ 25=
d) 5
n) 3852 ÷ 16 =
e) 6
02. Resolva problemas:
a) Se eu tivesse R$ 1.500,00 a mais do que
tenho, ficaria com R$ 4.000,00. Quanto eu
tenho?
Critérios de Divisibilidade
b) Meu avô nasceu em 1902 e faleceu em
1995. Com quantos anos faleceu?
Para alguns números como o dois, o três, o
cinco e outros, existem regras que permitem
verificar a divisibilidade sem se efetuar a
divisão. Essas regras são chamadas de
critérios de divisibilidade.
c) O preço de uma televisão é R$ 520,00.
Como paguei À vista, obtive um desconto
de R$ 70,00. Quanto paguei?
Divisibilidade por 2
d) Comprei 3 camisas, pagando R$ 45,00.
Quanto custou cada camisa ?
e) Quero distribuir 735 laranjas colocando 35
laranjas em cada caixa. Quantas caixas
serão necessárias?
f) Numa divisão cujo divisor era 37, achou-se
para quociente 15 e para o resto 32. Qual era
o dividendo ?
g) Numa divisão o quociente é 20 e o resto 7.
Se o divisor for o menor possível, qual será o
dividendo ?
h) Numa divisão o divisor é 17 e o quociente
03. Se o resto for o maior possível, qual será o
dividendo ?
i) O triplo de um número, menos 11 unidades é
igual a 43. Qual é esse número?
Atualizada 060820077
Um número natural é divisível por 2 quando ele
termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja,
quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um
número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma
dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus
algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é
divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
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1
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Matemática
Divisibilidade por 4
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 4 quando termina
em 00 ou quando o número formado pelos dois
últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Um número é divisível por 9 quando a soma
dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 9.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em
00 e 50 não é divisível por 4.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus
algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é
divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 10 quando
ele termina em 0.
Um número natural é divisível por 5 quando ele
termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em
0 nem em 5.
Um número é divisível por 6 quando é divisível
por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2
(par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por
2
(par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2,
mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3,
mas não é divisível por 2).
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina
em 000, ou quando o número formado pelos
três últimos algarismos da direita for divisível
por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível
por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível
por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é
divisível por 8.
Atualizada 060820077
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não
termina em 0.
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a
diferença entre as somas dos valores
absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a
dos de ordem par é divisível por 11.
Divisibilidade por 6
2
Divisibilidade por 10
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o
das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de
3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número
87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada,
acrescenta-se o menor múltiplo de 11
(diferente de zero) ao minuendo, para que a
subtração possa ser realizada: 10+11 = 21.
Então
temos
a
subtração 21-21=0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087
é divisível por 11.
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Exercícios
01. A diferença entre o cubo de um número
real positivo e o seu quádruplo é igual a 45
vezes o seu inverso. O referido número é:
a) divisível por 3.
b) divisível por 5.
c) múltiplo de 4.
d) múltiplo de 7.
e) múltiplo de 15.
Matemática
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem
apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores
são
chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15
é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
02. O algarismo que se deve intercalar entre
os algarismos do número 76 de modo que o
numeral obtido seja divisível por 4 e 9
simultaneamente é:
a) 1
b) 7
c) 5
d) 6
03. Considere um número inteiro formado por
cinco algarismos cuja representação na base
dez seja abcde. Considere também o fato de
que um número dessa forma é divisível por 11
se, e somente se, a+c+e-b-d for divisível por
11. Com base nessas condições, assinale a
alternativa na qual consta um número divisível
por 11.
a) 50623
b) 65432
c) 71819
d) 78321
e) 836213
Exemplos:
1) O número 161:
* não é par, portanto não é divisível por 2;
* 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
* não termina em 0 nem em 5, portanto não é
divisível por 5;
04. A soma de três números
consecutivos é um número:
a) par
b) impar
c) primo
d) quadrado perfeito
e) múltiplo de 3
naturais
* por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161
é divisível por 7, e portanto não é um número
primo.
2) O número 113:
* não é par, portanto não é divisível por 2;
* 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
* não termina em 0 nem em 5, portanto não é
divisível por 5;
Números Primos
Números primos são os números naturais
que têm apenas dois divisores diferentes: o
1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2
é
um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto
17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10
não é um número primo.
Atualizada 060820077
Para saber se um número é primo, dividimos
esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7,
11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste
caso
o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que
o divisor e o resto diferente de zero. Neste
caso o número é primo.
* por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente
(16) ainda é maior que o divisor (7).
* por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O
quociente (10) é menor que o divisor (11), e
além disso o resto é diferente de zero (o resto
vale 3), portanto 113 é um número primo.
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Matemática
Exercícios
Regra prática para a fatoração
01. Considere as afirmações:
Existe um dispositivo prático para fatorar um
número. Acompanhe, no exemplo, os passos
para montar esse dispositivo:
I - Um número natural representado no
sistema decimal é divisível por 9 se e somente
se a soma de seus dígitos for divisível por 9.
II - Se um número inteiro não é impar, então o
seu quadrado não é impar.
III - 529 é um número primo.
Associe cada uma delas a letras 'V' se for
verdadeira e 'F' caso seja falsa. Na ordem
representada temos:
a) V - F - V
b) V - V - F
c) F - V - V
d) V - V - V
e) V - F – F
02. Se P é o produto de todos os números
primos menores que 1000, o dígito que ocupa
a casa das unidades de P é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 5
e) 9
03. Um número inteiro positivo m dividido por
15 dá resto 7. A soma dos restos das divisões
de m por 3 e por 5 é
a)
2.
b)
3.
c)
4.
d)
5.
e)
6.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser
decomposto num produto de dois ou mais
fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são
primos.
Chamamos
de
fatoração
de
24
a
decomposição de 24 num produto de fatores
primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
1º
) Dividimos o número pelo seu menor divisor
primo;
2º
) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo
menor divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura abaixo mostra a fatoração do número
630.
Então
630
=
2
x
3
x
3
x
5
x
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Determinação dos divisores de um número
Na prática determinamos todos os divisores de
um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores
de 90:
1º
)
decompomos o
número
em
fatores primos;
2º
)
traçamos
uma linha e
escrevemos o 1
no alto, porque
ele é divisor de
qualquer
número;
De um modo geral, chamamos de fatoração
de um número natural, maior que 1, a sua
decomposição num produto de fatores primos.
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Atualizada 060820077
7.
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Matemática
O m.d.c. é o produto dos fatores primos
comuns
=> m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
3º
)
multiplicamos
sucessivamente
cada
fator
primo
pelos
divisores
já
obtidos
e
escrevemos
esses produtos
ao lado de cada
fator primo;
Escrevendo a fatoração do número na forma
de
potência temos:
2
2
36 = 2 x 3
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores comuns a
eles, cada um elevado ao menor expoente.
Mínimo Múltiplo Comum
Múltiplo de um número natural
4º
) os divisores
já obtidos não
precisam
ser
repetidos.
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é
múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e
24.
Se um número é divisível por outro,
diferente de zero, então dizemos que ele é
múltiplo desse outro.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6,
9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Os múltiplos de um número são calculados
multiplicando-se esse número pelos números
naturais.
Máximo Divisor Comum
Exemplo: os múltiplos de 7 são:
Dois números naturais sempre têm divisores
comuns. Por exemplo: os divisores comuns de
12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior.
Então chamamos o 6 de máximo divisor
comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18)
= 6.
O maior divisor comum de dois ou mais
números é chamado de máximo divisor
comum desses números. Usamos a
abreviação m.d.c.
Cálculo do M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais
números é utilizar a decomposição desses
números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores
primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos
comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
Atualizada 060820077
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 ,
28 , ...
Observações importantes:
1)Um
número
tem
infinitos
múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos
comuns a eles.
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é
o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo
múltiplo comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais
números, diferente de zero, é chamado de
mínimo múltiplo comum desses números.
Usamos a abreviação m.m.c.
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Nivelamento INSS – Tele-Transmitido
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Cálculo do M.M.C.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais
números utilizando a fatoração. Acompanhe o
cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores
primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos
comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma
de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um
elevado ao maior expoente.
Processo da Decomposição Simultânea
Neste processo decompomos todos os
números ao mesmo tempo, num dispositivo
como mostra a figura ao lado. O produto dos
fatores
primos
que
obtemos
nessa
decomposição é o m.m.c. desses números. Ao
lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)
Matemática
h) m.m.c. (2, 64)
i) m.m.c. (5, 10)
j) mmc. (3, 9)
k) m.m.c. (4, 16)
l) m.m.c. (2, 4, 8)
m) m.m.c. (4, 8, 16)
n) m.m.c. (2, 16, 64)
o) m.m.c. (32, 64, 128)
q) m.m.c. (4, 64, 128)
02. Determine o conjunto dos divisores do
número 750.
03. Sabendo-se que 2x . 32 . 53 possui 60
divisores, determinar x.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 8
04. Considere o número inteiro 3600, cuja
fatoração em primos é 3600 = 24 . 32. 52. Os
divisores inteiros e positivos de 3600 são os
números da forma 2x. 3y. 52, com x ∈
{0,1,2,3,4}, y
Determine:
∈
{0,1,2} e n
∈
{0,1,2}.
I) o número total de divisores inteiros e
positivos de 3600 e quantos desses divisores
são também divisores de 720.
(II) quantos dos divisores inteiros e positivos
de 3600 são pares e quantos são quadrados
perfeitos.
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 =
120
01. Calcule:
a) m.d.c. (5, 8)
b) m.d.c. (7,9)
c) m.d.c. (12, 19)
d) m.d.c. (3, 10)
e) m.d.c. (4, 8)
f) m.d.c. (3, 12)
g) m.d.c. (8, 32)
d) m.d.c. (8, 16)
e) m.d.c. (16, 32)
f) m.d.c. (16, 64)
g) m.m.c (2, 4)
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Atualizada 060820077
05. O algarismo que se deve intercalar entre
os algarismos do número 76 de modo que o
numeral obtido seja divisível por 4 e 9
simultaneamente é:
a) 1
b) 7
c) 5
d) 6
06. O número 18900 apresenta n divisores
naturais, onde n é igual a:
a) 12
b) 36
c) 72
d) 18
e) 24
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