Lista de Exercícios 4

DCC111 Matemática Discreta
UFMG/ICEx/DCC
Lista de Exercícios 4
Sequências e Indução Matemática
1o Semestre de 2017
Ciências Exatas & Engenharias
1. O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número
racional um número natural. Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um
par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador. Começando do
número racional 1 par ordenado (1, 1) é possível associar o número natural 1 e, seguindo o sentido das
setas, atribuir o próximo número natural denindo assim uma sequência de enumeração. Dado o número
racional positivo , qual é o número natural correspondente?
... ... ... ... ... . . .
↑
p
q
(1, 6)
(2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6). . .
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5). . .
↑ &
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4). . .
&
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3). . .
↑ &
&
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2). . .
&
&
(1, 1)→(2, 1) (3, 1)→(4, 1) (5, 1)→(6, 1). . .
2. Prove por indução matemática que
12 + 22 + . . . + n2 =
3. Prove por indução matemática que
n(n + 1)(2n + 1)
, n ≥ 1.
6
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 , n ≥ 1.
4. Prove por indução matemática que
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 , n ≥ 1.
5. Prove por indução matemática que
2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + . . . + 2n = n2 + n, n ≥ 1.
6. Prove por indução matemática que
n−1
X
i(i + 1) =
i=1
n(n − 1)(n + 1)
,∀
3
inteiros n ≥ 2.
7. Ache a fórmula fechada para a soma
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1·2 2·3 3·4
n(n + 1)
∀
inteiros n ≥ 1 e prove o seu resultado por indução matemática.
1
8. Ache a fórmula fechada para o produto
1
1
1
1
1−
1−
1−
... 1 −
2
3
4
n
inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.
9. Ache a fórmula fechada para a soma
∀
1
1
1
+
+ ... +
1·3 3·5
(2n − 1) · (2n + 1)
inteiros n ≥ 1 e prove o seu resultado por indução matemática.
10. Ache a fórmula fechada para a soma
X
∀
n
1
,
(i − 1)i
inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.
11. Prove o seguinte predicado P (n) usando indução matemática:
P (n): Qualquer número inteiro positivo n ≥ 8 pode ser escrito como a soma de 3's e 5's.
12. Suponha que temos selos de 4 e 7 centavos. Prove que é possível ter qualquer valor de postagem de 18
centavos ou mais usando somente esses selos.
13. Prove por indução matemática que n < 2 , para todos inteiros n ≥ 5.
14. Seja a seqüência a , a , a , . . . denida como
i=2
∀
2
1
2
n
3
a1
=
3
ak
=
7ak−1 , ∀
inteiros k ≥ 2
Prove por indução matemática que a = 3 · 7 para todos os inteiros n ≥ 1.
15. Seja a seqüência a , a , a , . . . denida como
n−1
n
1
2
3
a1
=
1
a2
=
3
ak
= ak−2 + 2ak−1 , ∀
inteiros k ≥ 3
Prove por indução matemática que a é ímpar para todos os inteiros n ≥ 1.
16. Seja a seqüência g , g , g , . . . denida como
n
0
1
2
g0
=
12
g1
=
29
gk
=
5gk−1 − 6gk−2 , ∀
Prove por indução matemática que g = 5 · 3
17. Seja a seqüência h , h , h , . . . denida como
n
n
0
1
+ 7 · 2n
inteiros k ≥ 2
para todos os inteiros n ≥ 0.
2
h0
=
1
h1
=
2
h2
=
3
hk
= hk−1 + hk−2 + hk−3 , ∀
Prove por indução matemática que h
n
≤ 3n
inteiros k ≥ 3
para todos os inteiros n ≥ 0.
2
18. Seja a seqüência x , x , x , . . . denida como
0
1
2
x0
=
0
x1
=
1
xk
=
5x3k−1 + 7xk−2 , ∀
inteiros k ≥ 2
Prove por indução matemática que se k é múltiplo de 3 então x é par.
19. Seja a seqüência a , a , a , . . . denida como
k
0
1
2
a0
=
0
a1
=
0
ak
= ak−1 + 3k (k − 1), ∀
inteiros k ≥ 2
Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática.
20. Seja a seqüência a , a , a , . . . denida como
0
1
2
a0
=
0
a1
=
1
ak
=
k − ak−1 , ∀
inteiros k ≥ 1
Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática.
21. Prove por indução matemática que ∀n ≥ 1, 3 − 2 é ímpar.
n
3