Equações Diferenciais - Cálculo IV

Equações Diferenciais - Cálculo IV
Prof. Jorge J. Delgado
Terceira Lista
1. Determine o intervalo de convergência das séries abaixo:
(a)
c)
∞
X
ln n
n=2
∞
X
n=0
n3
xn
2n 2n
x
(2n)!
(b)
Resp: [−1, 1]
Resp: (∞, ∞)
(d)
∞
X
n!
n=0
∞
X
100n
xn
(−1)n
n=1
Resp: {0}
1
(2x − 1)n
n 6n
2. Determine o raio de convergência da série abaixo:
∞
X
1 × 3 × 5 × . . . × (2n − 1) n
x
(−1)n
3 × 6 × 9 × . . . × (3n)
n=0
Resp: ( 52 , 72 ] .
Resp: 23 .
3. Determine a série de Taylor em x0 = 0 das funções abaixo e calcule o raio de convergência.
(a) f (x) = senh(x) .
Resp:
(b) f (x) = x sen(3x) .
(c) f (x) = cos2 (x) .
∞
X
1
x2n+1 ,
(2n
+
1)!
n=0
Resp:
ρ = ∞.
∞
X
(−1)n32n+1 2n+2
x
, ρ = ∞.
(2n + 1)!
n=0
Resp: 1 +
∞
X
(−1)n22n−1 2
x n, ρ = ∞.
(2n)!
n=1
4. Determine a série de Taylor em x0 das funções abaixo:
(a) f (x) = sen(x) , x0 =
(b) f (x) =
1
, x0 = 2.
x
π
.
4
Resp:
∞
X
√
n=0
Resp:
∞
(−1)n
π 2n+1 X (−1)n π 2n
√
x−
+
x−
.
4
4
2 (2n + 1)!
2 (2n)!
n=0
∞
X
(−1)n
(x − 2)n .
n+1
2
n=0
5. Verifique os primeiros quatro dígitos do valor das integrais abaixo, avaliando a série de Taylor da função f (x)
no valor de x dado:
Z 1
Z x
3
1
1
1
(a)
dx
=
0,
3333
,
f
(x)
=
du , x = .
6
6
1+x
0
Z
(b)
0
1
x2
e− 10 dx = 0, 9677 ,
0
Z
f (x) =
x
1+u
3
u2
e− 10 du , x = 1 .
0
1
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Terceira Lista de Exercícios
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6. Em cada caso, determine se o ponto x0 dado é ordinário, singular regular ou singular irregular da equação
dada:
(a) x0 = 1 , y 00 + 3y 0 + 2xy = 0 .
(b) x0 = 2 , (x +
2)y 00
+
(x2
(d) x0 = 0 , x3 y 00 + y = 0 .
(e) x0 = 0 ,
+
+ (x − 2)2 y = 0 .
1 0
y + xy = 0 .
x
(c) x0 = 0 , (x + 1)y 00 +
ex y 00
+
Resp: ordinário.
2)y 0
Resp: ordinário.
Resp: singular regular.
Resp: singular irregular.
sen(x)y 0
+ xy = 0 .
Resp: ordinário.
7. Determine a solução em série das equações abaixo, em torno do ponto x0 :
(a) x0 = 0 , (x2 − 1)y 00 + xy − y = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an+2 =
1
1
1
n−1
an . Solução: y = a0 [1 − x2 − x4 − x6 − . . .] + a1 x .
n+2
2
8
16
(b) x0 = 0 , y 00 − xy = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an+2 =
Solução: y = a0 [1 + 16 x3 +
(c) x0 = 1 ,
y 00
1
6
180 x
an−1
,
(n + 2)(n + 1)
+ . . .] + a1 [x +
1 4
12 x
+
1
7
504 x
+ . . .] .
− xy = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an+2 =
an + an−1
.
(n + 2)(n + 1)
Solução: y = a0 [1 + 12 (x − 1)2 + 16 (x − 1)3 +
1
24 (x
− 1)4 + . . .] + a1 [(x − 1) + 61 (x − 1)3 +
1
12 (x
− 1)4 + . . .] .
(d) x0 = −2 , y 00 − x2 y 0 + (x + 2)y = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an+2 =
4n
4
n−2
an−1 −
an +
an+1 .
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
n+2
Solução: y = a0 [1 − 61 (x + 2)3 − 16 (x + 2)4 + . . .] + a1 [(x + 2) + 2(x + 2)2 + 2(x + 2)3 + 32 (x + 2)4 + . . .] .
8. Determine os primeiros termos da expansão em série de potências da solução dos problemas abaixo:
(
y 00 − 2xy + x2 y = 0
1 4
(a)
. Resp: y(x) = 1 − x − 31 x3 − 12
x − ...
y(0) = 1 , y 0 (0) = −1
(
y 00 − 2xy = x2
(b)
. Resp: y(x) = 2(x − 1) + 12 (x − 1)2 + (x − 1)3 + . . .
y(1) = 0 , y 0 (1) = 2
9. A equação
y 00 − 2xy 0 + λy = 0 ,
−∞ < x < ∞ ,
onde λ é uma constante, é chamada uma equação de Hermite.
(a) Determine os quatro primeiros termos de duas soluções L.I., em torno de x = 0.
Resp: y1 (x) = 1 −
y2 (x) = x −
GMA-IMUFF
λ−2 3
3! x
λ 2
2! x
+
+
λ(λ−4) 4
x
4!
(λ−2)(λ−6) 5
x
5!
−
−
λ(λ−4)(λ−8) 6
x
6!
+ ...
(λ−2)(λ−6)(λ−10) 7
x
7!
2
+ ...
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(b) Note que, se λ = 2n é um inteiro par não negativo, então alguma das soluções fundamentais do item
acima, termina. Tal solução é, portanto, um polinômio. Esse polinômio é determinado de maneira única a
menos de uma constante multiplicativa.
Determine essas soluções polinomiais para λ = 0, 2, 4, 6, 8 e 10.
Resp: 1 , x , 1 − 2x2 , x − 23 x3 , 1 − 4x2 + 43 x4 , x − 43 x3 +
4 5
15 x
+ ...
10. Determine os pontos singulares da equação e diga se cada um deles é regular ou não (irregular).
(a) x2 (1 − x)2 y 00 + 2xy 0 + 4y = 0 .
(b) (1 −
x2 )2 y 00
+ x(1 −
x)y 0
Resp: x = 0 singular regular.
+ (1 + x)y = 0 .
Resp: x = 1 singular regular ; x = −1 singular irregular.
(c) x(1 − x2 )3 y 00 + (1 − x2 )2 y 0 + 2(1 + x)y = 0 .
Resp: x = 0 singular regular ; x = 1 singular irregular ;
x = −1 singular regular.
(d) x2 y 00 + 2(ex − 1)y 0 + (e−x cos x)y = 0 .
Resp: x = 0 singular regular.
11. Resolva as seguintes equações de Euler, para x > 0.
(a) x2 y 00 − 2y = 0 .
Resp: y = C1 x1 + C2 x2 .
(b) x2 y 00 − 3xy 0 + 4y = 0 .
Resp: y = C1 x2 + C2 x2 ln x .
(c) x2 y 00 + 7xy 0 + 5y = 0 .
Resp: y = C1 x1 + C2 x15 .
(d) x2 y 00 − 2xy20 y = 3x2 + 2 ln x .
Resp: y = C1 x + C2 x2 + 3x2 ln x + ln x +
3
2
.
(e) x2 y 00 + xy 0 + 4y = sen(ln x) .
Resp: y = C1 cos(2 ln x) + C2 sen(2 ln x) +
1
3
sen(ln x) .
(f) 3x2 y 00 + 12xy 0 + 9y = 0 .
Resp: y = C1 x−3/2 cos( 32 ln x) + C2 x−3/2 sen( 32 ln x) .
12. Mostre que x0 = 0 é um ponto singular regular de cada equação abaixo e determine duas soluções linearmente
independentes em séries de potências, numa vizinhança de x0 = 0, convergentes para x > 0.
(a) 2x2 y 00 + (x2 − x)y 0 + y = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an = −
Soluções: y1 (x) = x[1 − 31 x +
1 2
15 x
−
an−1
.
2(r + n) − 1
1
3
105 x
+ . . . e y2 =
√
x[1 − 12 x + 18 x2 −
1 3
48 x
+ . . .] .
(b) 3x2 y 00 − 2xy 0 − (2 + x2 )y = 0 .
an−2
(r + n − 2) .
3(r + n) − 1
Resp: Fórmula de recorrência: an =
Soluções: y1 (x) = x2 [1 +
(c)
xy 00
+
y0
1 2
26 x
+
1
4
1976 x
+ . . .] e y2 (x) = x−1/3 [1 − 12 x2 +
1 4
40 x
−
1
6
2640 x
+ . . .] .
− y = 0.
(Indicação: Multiplique a equação por x).
an−1
.
(r + n)2
Resp: Fórmula de recorrência: an =
Soluções: y1 (x) = 1 + x + 41 x2 +
1 3
36 x
+ . . . e y2 (x) = y1 (x) ln x + [−2x − 43 x2 + . . . .
(d) x2 y 00 + (x − x2 )y 0 − y = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an =
Soluções: y1 (x) = x[1 + 31 x +
GMA-IMUFF
1 2
12 x
+
an−1
.
r+n+1
1 3
60 x
+ . . .] e y2 (x) = x−1 [1 + x +
3
1 2
2! x
+
1 3
3! x
+ . . .] =
ex
x
.
2007-II
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Terceira Lista de Exercícios
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(e) xy 00 − (x − 2)y 0 − y = 0 .
(Indicação: Multiplique a equação por x).
Resp: Fórmula de recorrência: an =
Soluções: y1 (x) = x2 [1 + x +
1 2
2! x
+
an−1
.
r+n−2
1 3
3! x
+ . . .] = x2 ex e y2 (x) = −y1 (x) ln x + [1 − x + x2 + 0x3 + 0x4 + . . .] .
(f) x2 y(00 x2 − 3x)y 0 − (x − 4)y = 0 .
Resp: Fórmula de recorrência: an = −
Soluções: y1 (x) = x2 [1 − x +
1 2
2! x
−
an−1
.
r+n−2
1 3
3! x
− . . .] = x2 e−x e y2 (x) = y1 (x) ln(x) + x2 [x − 43 x2 +
11 3
36 x
+ . . .] .
13. A equação de Bessel de ordem zero é a equação:
x2 y 00 + xy 0 + x2 y = 0 .
(1)
Verifique que x0 = 0 é um ponto singular regular da equação (1), que as raízes da equação indicial são
r1 = r2 = 0 e que:
∞
X
(−1)n x2n
,
J0 (x) = 1 +
2n
2
n=1
2 (n!)
é uma solução definida para x > 0. A função J0 (x) é chamada a função de Bessel de primeira espécie e
ordem zero.
GMA-IMUFF
4
2007-II