o ensino de probabilidades nas visões clássica

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O ENSINO DE PROBABILIDADES NAS VISÕES CLÁSSICA, FREQUENTISTA E
GEOMÉTRICA
Thatiana Sakate Abe 1
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS
[email protected]
Marilena Bittar 2
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS
[email protected]
Resumo: Neste artigo apresentamos o andamento de nossa pesquisa de mestrado sobre a
aprendizagem de alunos do 9º ano do Ensino Fundamental confrontados com situações
envolvendo diferentes visões de Probabilidade (Frequentista, Laplaciana e Geométrica).
Para tanto utilizamos como referencial teórico a Teoria das Situações Didáticas e como
metodologia de pesquisa a Engenharia Didática. Partimos do pressuposto que situações
envolvendo essas diferentes visões podem ser propostas aos alunos de modo a contribuir
para uma aprendizagem que desenvolva suas potencialidades probabilísticas, ampliando
sua capacidade de tomar decisões de forma que também faça sentido fora do contexto
escolar.
Palavras-chave: Probabilidade Geométrica; Probabilidade Frequentista; Probabilidade
Clássica.
INTRODUÇÃO
Para os povos antigos, suas crenças religiosas justificavam todos os acontecimentos
o que provocou a dificuldade de aceitar e compreender a concepção do acaso. A percepção
ainda que tardia de que ocorrências do cotidiano podem ser de ordem aleatória, por não
haver uma causa plausível, fez surgir a Teoria das Probabilidades.
A humanidade precisou de centenas de anos para se acostumar com um
mundo onde alguns eventos não tinham causa ou eram determinados por
causas tão remotas que somente podiam ser razoavelmente representados
por modelos não-casuais.
(PICHARD, 1997 apud SILVA, p. 34)
1
Mestranda do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Federal de Mato
Grosso do Sul – UFMS, Campo Grande/MS. Bolsista da FUNDECT – Fundação de Apoio ao
Desenvolvimento do Ensino, Ciência e Tecnologia do Estado de Mato Grosso do Sul.
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Coordenadora do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática – UFMS, Campo Grande/MS,
orientadora dessa pesquisa.
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Na tentativa de avaliar e determinar esses acontecimentos aleatórios desenvolveu-se
o cálculo das probabilidades que, como afirma Cajori (2007), teve pouco progresso em
relação às outras teorias da matemática principalmente no período que tange as idéias de
Laplace até 1930, com a fundamentação da probabilidade axiomática de Andrei
Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Atualmente contamos com um grau elevado de
desenvolvimento da Teoria da Probabilidade como afirmam Davis e Hersh (1998) e
distinguem-se três aspectos: a teoria da probabilidade pura, aplicada e aplicada em nível
profundo.
A introdução da Probabilidade no Ensino Fundamental ocorreu apenas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática de 1998, onde foi inserida dentro do
bloco Tratamento da Informação em conjunto com a Estatística e a Combinatória.
Os PCN defendem sua inclusão devido à demanda social e, por isso, seu ensino não
pode ser baseado apenas em definições e fórmulas determinísticas; deve ser trabalhado de
modo mais amplo, interdisciplinar e principalmente fazendo conexão com a realidade,
sugerindo uma abordagem frequentista.
O Guia de Livros Didáticos PNLD 2008, declara que o bloco Tratamento da
Informação tem sido pouco valorizado nos livros didáticos e ainda aponta problemas
graves, como o uso do termo possibilidade sendo usado como sinônimo de probabilidade.
Os problemas apontados pelo Guia podem ser um reflexo do que vem acontecendo
no ensino atual. Talvez o pouco tempo de presença da Probabilidade, Estatística e
Combinatória no Ensino Fundamental ainda não tenha permitido um consenso de que
conteúdos devem ser abordados e de que forma esse ensino deve ocorrer.
Observando alguns livros didáticos percebemos que a Estatística tem tomado mais
enfoque no que se refere ao Bloco Tratamento da Informação, restando pouco ou quase
nada para a Probabilidade, onde apenas a visão clássica ou laplaciana tem sido abordada,
restringindo seu ensino apenas a eventos equiprováveis e fórmulas determinísticas.
Silva (2002) faz um resumo dos principais problemas relacionados ao ensino e
aprendizagem do conceito de probabilidades no ensino médio como a falta do trabalho de
algumas noções, a abordagem tecnicista-tradicional baseada na sequência “definiçãoexemplo-exercício” ou apenas “definição-exemplo”, com explorações superficiais que
forçadamente simulam a realidade e destaca ainda que a abordagem exclusiva da visão
clássica proporciona aos alunos apenas um dos lados da teoria probabilística.
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Coutinho (1994, p. 09) também defende a visão frequentista de probabilidade que
parece “[...] mais adequada a um primeiro contato com as probabilidades, pois pode utilizar
experimentos ligados à realidade dos alunos, uma vez que não precisa estar limitado à
hipótese de eqüiprobabilidade”. A presença da probabilidade frequentista no ensino se
justifica por fazer parte de nosso cotidiano, pois estamos sempre cercados de informações
presentes em jornais, revistas, televisão, internet e noticiários onde a maioria dos dados
probabilísticos é calculada por meio dessa probabilidade.
Outro ponto a favor da concepção frequentista é que por ser empírica ela é
calculada a posteriori, assim, mesmo sem ter o conhecimento teórico a maioria dos alunos
já utilizou intuitivamente de alguma forma o conceito de frequência relativa no seu dia a
dia, apesar da necessidade de repetição do experimento um número significativo de vezes.
Também acreditamos que a Geometria pode ser utilizada na compreensão de vários
conceitos de Probabilidade e vice-versa, numa mistura denominada Probabilidade
Geométrica, pois utilizamos conhecimentos prévios geométricos já adquiridos pelos alunos
em séries anteriores, o que lhes dá também, a oportunidade de rever o que já aprenderam e
de utilizá-lo.
A Probabilidade Geométrica conserva as propriedades da visão clássica, assim,
iremos confrontar os resultados de um mesmo experimento com os obtidos na
Probabilidade Frequentista, e também seus eventos aleatórios são medidos e não
contabilizados, como definem Guimarães e Cabral (1997, p. 75):
[...] não é possível, por exemplo, calcular a probabilidade de que um
ponto selecionado ao acaso a partir de uma região (por exemplo de um
circulo) que se localize uma determinada sub-região incluída nesse
círculo (por exemplo um triângulo). Para o fazer é necessário estender o
conceito de probabilidade ao acaso de experiência aleatórias, nas quais os
resultados possíveis constituam conjuntos contínuos.
Muitas vezes professores e alunos têm dificuldades de fazer contextualizações
dentro da matemática, ou seja, estabelecer conexões entre diferentes teorias ou de fazer
associações entre determinados conceitos mesmo dentro da Matemática, como ocorre na
Probabilidade Geométrica e na porcentagem que muitas vezes tem sido ensinada sem fazer
menção alguma à probabilidade, apesar de ser um elemento fundamental dessa teoria.
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Com base em alguns questionamentos e a partir das análises de leituras efetuadas,
definimos a seguinte questão de pesquisa: como ocorre a aprendizagem de alunos diante de
situações envolvendo três diferentes visões de probabilidade (clássica, frequentista e
geométrica)?
Como objetivo geral, para tentar responder nossa questão, estamos investigando a
aprendizagem dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, levando em consideração
situações envolvendo diferentes visões de probabilidade.
Para atingir esse objetivo geral definimos os seguintes objetivos específicos:
investigar e analisar dificuldades e erros que os alunos enfrentam no estudo de
probabilidade, pois assim acreditamos poder compreender os principais problemas na
aprendizagem desse conceito e a partir daí elaborar as atividades para depois estudar
estratégias utilizadas por alunos na resolução de problemas probabilísticos específicos às
três visões e assim, compreender como se desenvolve a aprendizagem.
ESCOLHAS TEÓRICO E METODOLÓGICAS
Como queremos investigar a aprendizagem, vamos verificar como o sujeito aprende
e para nós o aluno aprende numa perspectiva construtivista piagetiana, como um processo
de aquisição do conhecimento por adaptação que ocorre por meio da assimilação e
acomodação, na passagem de um estágio de desequilíbrio para um de equilíbrio.
Assim, iremos nos inspirar na Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU,
1996), para elaborar e propor situações que envolvam diferentes visões de probabilidade
(clássica, geométrica e laplaciana) de modo a contribuir para uma aprendizagem que
desenvolva as potencialidades probabilísticas dos alunos, ampliando sua capacidade de
tomar decisões de forma que também faça sentido fora do contexto escolar e, além disso, é
Por meio da análise das situações didáticas é possível investigar a
problemática da aprendizagem matemática e desvelar aspectos que
ocorrem durante a resolução de problemas e a elaboração de conceitos
pelos alunos.
(FREITAS, 2008, p. 81)
A Teoria das Situações Didáticas se apóia em três hipóteses. O aluno aprende
adaptando-se ao meio; o meio sem intenções didáticas é insuficiente para permitir a
aquisição de conhecimentos matemáticos e finalmente o meio e as situações devem
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envolver significativamente os saberes matemáticos envolvidos no processo de ensino e
aprendizagem. As situações didáticas podem ser definidas como
[...] o conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou
implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, um certo meio
(contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema
educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber
constituído ou em constituição.
(BROUSSEAU, 1978, apud ALMOULOUD, 2007, p. 33)
O professor, para ensinar um conteúdo, prepara um conjunto de situações que
compreendem o meio e que envolve todo o entorno do aluno. Um exemplo a ser
mencionado seria a utilização de um jogo e o formato de desenvolvimento dessa atividade,
ou seja, as regras do jogo. Assim, dizemos que a aprendizagem ocorre de acordo com as
regras que são postuladas e na medida em que a situação se desenrola, levando em
consideração a interação do aluno nesse meio.
Dentro das situações didáticas, existem ainda, as situações adidáticas, quando o
aluno trabalha sem a interferência direta do professor sobre o saber. Para isso o professor
apresenta um bom problema para o aluno para que ele aceite como seu e queira resolvê-lo
sem que seja por obrigação escolar e sem ajuda do mestre, ou seja, deve haver devolução.
O aluno sabe que o problema foi escolhido para fazer com que ele
adquira um conhecimento novo, mas precisa saber, também, que esse
conhecimento é inteiramente justificado pela lógica interna da situação e
que pode prescindir das razões didáticas para construí-lo. Não só pode
como deve, pois não terá adquirido, de fato, esse saber até que o consiga
usar fora do contexto de ensino e sem nenhuma indicação intencional.
(BROUSSEAU, 2008, p. 35)
Na situação adidática, o aluno tem um papel ativo em seu processo de ensino e
aprendizagem, passando por três fases distintas: ação (coloca seus saberes em prática para
tentar resolver o problema, formula hipóteses empiricamente), formulação (tem que
explicitar verbalmente sua hipótese, transformando o conhecimento implícito em explícito)
e validação (tem que validar/demonstrar sua hipótese).
Analisando a situação adidática como um jogo, a fase da ação é quando o aluno se
familiariza com as regras individualmente e começa a jogar. Neste ato, ocorre à exploração
e após várias jogadas, o aluno consegue elaborar algumas estratégias.
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Na segunda fase, de formulação, que pode ser em equipes, o grupo observa seu
representante jogar e não pode dar palpites, porém, em seguida, são discutidas as jogadas
para chegar a uma estratégia vencedora. Assim, cada um começa a estruturar o que
observou e analisou na primeira fase para ser capaz de comunicar a seus colegas, ou seja,
deve conjecturar uma solução.
Na fase de validação, deve-se demonstrar, de alguma forma, a conjectura elaborada
com argumentos válidos; é estabelecido um debate de idéias.
Brousseau (2008, p. 31) acreditava inicialmente que apenas as situações de ação,
formulação e validação já compunham todas as situações de aprendizagem possíveis, até
que durante as experiências desenvolvidas percebeu que apenas essas situações não eram
suficientes e que os professores precisavam “rever o que já haviam feito”, ou seja,
institucionalizar o conteúdo trabalhado.
Demoramos a perceber que os professores realmente eram obrigados a
“fazer alguma coisa”: tinham que dar conta da produção dos alunos,
descrever os fatos observados e tudo que estivesse vinculado ao
conhecimento em questão; conferir um status aos eventos da classe vistos
como resultados dos alunos e do processo de ensino; determinar um
objeto de ensino e identificá-los; aproximar as produções dos
conhecimentos de outras criações (culturais ou do programa) e indicar
quais poderiam ser reutilizadas.
(BROUSSEAU, 2008, p. 31)
Assim, surgiu a necessidade de considerar a situação de institucionalização, na qual
o professor dá status de saber aos conceitos ensinados. Neste momento, o professor
oficializa o conhecimento matemático e, em conjunto com os alunos, sistematiza o que
aprenderam para que os alunos reconheçam o que construíram.
Para ajudar a organizar essas situações e fazer as análises e validações propostas
nos objetivos, utilizaremos a Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996) como metodologia,
pois também visa pesquisas que estudam os processos de aprendizagem de um dado objeto
matemático, ou seja, favorece uma ligação entre a pesquisa e a ação pedagógica.
Como metodologia de pesquisa, é definida por Artigue (1996, p. 196, grifo do
autor) como “[...] um esquema experimental baseado em realizações didáticas na sala de
aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise de sequências de
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ensino”, e assim abre caminhos para a experimentação na sala de aula como prática de
investigação.
Machado (2008) afirma que o processo experimental da Engenharia Didática é
composto por quatro fases a serem percorridas: análises preliminares; concepção e análise
a priori das situações didáticas; experimentação e análise a posteriori e validação.
Na primeira fase, momento em que devem ser realizadas análises preliminares, as
hipóteses cognitivas e didáticas serão formuladas, pois são elas que irão fundamentar toda
a estrutura da Engenharia Didática.
Em nossa pesquisa, as análises preliminares levam em consideração as dimensões
epistemológica, cognitiva e didática, onde inicialmente foi feito uma leitura minuciosa dos
PCN, para averiguar o que eles sugerem ser ensinado quanto ao conteúdo de
Probabilidades no Ensino Fundamental. Além disso, por considerarmos o livro didático a
principal fonte de pesquisa dos professores analisamos também o Guia de livros didáticos
do PNLD 2008 e algumas coleções para saber como está sendo feita a abordagem desse
conteúdo.
Seguindo ainda as orientações, estamos realizando uma análise detalhada de livros,
artigos e pesquisas realizadas na área de Probabilidades, para verificar o que já foi feito,
para onde as pesquisas apontam e identificar problemas didáticos e epistemológicos.
Na fase de concepção e análise a priori, deve ser feita a construção das situações e
para tanto, inicialmente são delimitadas variáveis micro-didáticas, que se referem a apenas
uma sessão da engenharia e as macro-didáticas, que se refere ao conjunto todo, a
organização geral.
O objetivo da análise a priori é determinar hipóteses de como as escolhas efetuadas
e as variáveis que admitimos pertinentes permitem controlar os comportamentos dos
alunos, explicar seu sentido podendo assim controlar a realização das atividades dos
alunos, identificando os fatos observados e compreendê-los.
Nossa pesquisa encontra-se na fase de construção da sequência didática, com
aproximadamente 10 sessões levando em consideração conhecimentos prévios dos alunos
do 9º ano do Ensino Fundamental, as concepções errôneas e variáveis didáticas.
Na fase de experimentação, ocorre a aplicação da engenharia, momento de por em
prática todas as situações didáticas construídas e se houver um problema ou imprevisto não
previsto na análise a priori, podem ser feitas alterações necessárias,
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Todos os registros obtidos ao longo da experimentação como: gravações,
filmagens, transcrições, questionários, produções dos alunos e observações pertinentes, são
examinados com atenção na análise a posteriori, pois é nessa fase que deve ser feito o
“tratamento” das informações coletadas.
Para finalizar há a confrontação entre as análises a priori e a posteriori (validação
interna), que podem legitimar ou refutar todas as hipóteses levantadas na análise a priori.
REFERÊNCIAS
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Instituto Piaget Horizontes Pedagógicos, 1996. Cap. 4, p. 193-217.
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2007.
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Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemáticas (3o e 4o ciclos do Ensino Fundamental).
Brasília: SEF/MEC, 1998.
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Programa Nacional do Livro Didático. Guia de livros didáticos PNLD 2008: Matemática
(séries/anos finais do Ensino Fundamental). Brasília: SEF/MEC, 1998.
BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: BRUN, J.
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1, p. 35-111.
______________. Introdução ao Estudo da Teoria das Situações Didáticas – Conteúdos e
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COUTINHO, C. de Q. e S. Introdução ao Conceito de Probabilidade por uma Visão
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GUIMARÃES, R.C.; CABRAL, J. A. Estatística. Lisboa: McGrw-Hill, 1997.
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