Variável Aleatória

Variável Aleatória
Gilson Barbosa Dourado
[email protected]
6 de agosto de 2008
Denição de Variável Aleatória
Considere um experimento E e seu espaço amostral
Ω = {a1 , a2 , . . . , an }. Variável aleatória é qualquer função que
associa a cada elemento do espaço amostral um valor númerico.
As variáveis aleatórias (v.a.) podem ser classicadas em: discretas
(se assumir valores num conjunto enumeravel com certa
probabilidade) contínua (se seu conjunto de valores qualquer
intervalo dos números reais, o que seria um conjunto não
enumerável).
Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Probabilidade
Uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
uma relação dos distintos valores
xi
de
X
juntamente com as
probabilidades associadas. A notação utilizada é a seguinte:
(
P X
= xi ) = p (xi ) = pi , i = 1, 2, . . .
ou ainda
X
(
P X
= xi )
X
x1
x2
x3
p1
p2
p3
...
...
é
Para que uma função P (X = xi ) = p (xi ) seja uma distribuição de
probabilide, é necessário que:
1. P (X = xi ) ≥ 0 e P (X = xi ) ≤ 1
P
2.
P (X = xi ) = 1
3. P (X = x ) = p (x )
Exemplo: No lançamento de duas moedas, a variável aleatória X
anota o número de caras obitdas. Os valores de X e a função de
probabilidade associada são:
Ω = (C , C ); (C , K ); (K , C ); (K , K ), onde C é coroa e K cara.
Evento
CC
CK
KC
KK
0
1
1
2
Valores de X
Probabilidade P (X = x )
0
1/4
1
2/4
X
2
1/4
Exercício: No lançamento de dois dados, a variável aleatória S
anota a soma das faces superiores do dado. Determine os valores
de S e a função de probabilidade associada.
Função de Distribuição de Probabilidade
A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de
uma variável aleatória discreta X é denida para qualquer número
real x , pela seguinte expressão:
( ) = P (X = x )
F X
Exemplo: Do exercício anterior, podemos calcular probabilidades do
tipo
(
P X
(
P X
≤ 5) = 1/36 + 12/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36
> 8) = P (X ≥ 9) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36
P
(6 ≤ X ≤) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36
Para calcularmos probabilidades associadas a uma variável aleatória
temos basicamente de saber calcular as probabilidades dos eventos:
(
P X
= x) e
(
P X
≤ x)
Outras probabilidades calculam-se como combinações dessas duas.
Assim, no exemplo acima:
(
P X
P
≥ 9) = 1 − P (X ≤ 8)
(6 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤ 8) − P (X < 6) = P (X ≤ 8) − P (X ≤ 5)
Esperança Matemática ou Valor Esperado de uma Variável
Aleatória
Um valor esperado é simplesmente uma média dos possíveis
resultados pesados de acordo com a sua probabilidade de
ocorrência, isto é:
( ) =
E X
=
(
x1 P X
n
X
i =1
= x1 ) + x2 P (X = x2 ) + . . . + xn P (X = xn )
(
xi P X
= xi )
Exercício: Um comerciante espera vender um automóvel até
sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira é de 50%.
Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira e
na sexta-feira de 5%. Seu lucro é de 3.000 u.m. se vender na
segunda-feira é diminui 40% a cada dia. Calcule o valor esperado
de lucro deste negociante nesta venda.
L
( = l)
P L
3.000
0,50
1.800
0,30
1080
0,10
648
0,05
388,80
0,05
( ) = 3.000 × 0, 50 + 1.800 × 0.30 + 1.080 × 0, 10 + 648 ×
0, 05 + 388, 88 × 0, 05 = 2.199, 84
E L
Propriedades do Valor Esperado
Se a e b são constantes e X uma variável aleatória, então:
1. E (a) = a
2. E (bX ) = bE (X )
3. E (X ± a) = E (X ) ± a
4. E (a ± bX ) = a ± bE (X )
Exemplo: Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias
de certo aparelho. O quadro a seguir da o número xi de aparelhos
vendidos em uma semana e a respectiva probabilidade:
Número xi
Probabilidade
0
0,1
1
0,1
2
0,2
3
0,3
4
0,2
5
0,1
Se é de R$ 20,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro
esperado nas vendas de uma semana?
Variância
A variância da variável aleatória
X
é denida por:
σ 2 = Var (X ) = E [(X − µ)2 ] = E (X 2 ) − µ2
O desvio padrão
√ (σ ) é a raiz quadrada da variância:
σ2.
Dp (X ) = σ =
Propriedades
1.
2.
3.
4.
( )>0
Var X
(
± a) = Var (X )
(
2
b Var (X )
Var X
Var bX
)=
( ± bX ) =
Var a
2
b Var (X )
1.
2.
3.
4.
( )>0
Dp X
(
± a) = Dp (X )
(
) = |b|Dp (X )
Dp X
Dp bX
( ± bX ) = |b|Dp (X )
Dp a
Modelos Teóricos Discretos de Probabilidade
Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas
administrativos, vericamos que muitos problemas apresentam as
mesmas caractéristicas o que nos permite estabelecer um modelo
teórico para determinação da solução de problemas.
Os componentes principais de um modelo estatístico teórico:
1.
2.
3.
4.
Os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir;
A função de probabilidade associada à variável aleatória X ;
O valor esperado da variável aleatória X ;
A variância e o desvio-padrão da variável aleatória X .
Distribuição (ou modelo) de Bernoulli
Característica do modelo
Se uma variável aleatória X só pode assumir os valores 0 e 1 com
( = 0) = q e P (X = 1) = p com p + q = 1, então diremos que
a variável aleatória X admite distribuição de Bernoulli.
P X
Discrição do modelo
1.
2.
3.
4.
= {0 , 1 }
P (X = 0) = q e P (X = 1) = p ;
E (X ) = p ;
√
Var (X ) = p × q e Dp (X ) =
p × q
X
Podemos escrever o modelo do seguinte modo:
(
P X
onde
q
= 1 − p.
= x ) = p x × q 1−x
Exemplo: No lançamento de uma moeda, a variável aleatória
anota o número de caras obtidas.
1.
2.
3.
4.
X
Y
= {0, 1};
(
P X
= 0) = 1/2 e
(
P X
= 1) = 1/2;
( ) = 0 × 1/2 + 1 × 1/2 = 1/2;
E X
( ) = 1/2 × 1/2 = 1/4 e
Var X
( )=
Dp X
1/4 = 1/2.
p
Exercício: Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas.
Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória B anota o número
de bolas brancas obtidas. Calcule a média e o desvio-padrão de B.
Ditribuição Binomial
Característica do modelo
Esta distribuição de probabilidade é utilizada na descrição de
situações, nas quais tem-se n repetições independentes, sendo que
em cada repetição apresenta apenas dois resultados possíveis, que
podem ser denotados como "sucesso"ou "fracaso". Além disso,
assume-se que a probabilidade de "sucesso"a cada nova repetição
do experimento é constante e igual a p e que deseja-se contar
quantos "sucessos"teve-se em n tentativas.
Discrição do modelo
1.
2.
3.
4.
= {0, 1, 2, · · · , n};
n k n−k
P (X = k ) =
, k = 0, 1, 2 · · · , n e
k p q
X
( ) = n × p;
Var (X ) = n × p × q e
E X
( )=
Dp X
√
n
×p×q
n
k
=
n!
k !(n−k )!
Exemplo: Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As
peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a
probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:
a) nenhuma peça defeituosa;
b) uma peça defeituosa.
Temos
1. X - número de peças defeituosas na caixa.
X = {0, 1, 2, · · · , 12};
2. P (defeituosa) = 0, 10 = p , P (não defeituosa) = 0, 90 = q ;
k
12−k .
3. P (X = k ) = 12
k 0, 10 0, 90
Resposta a):
(
P X
= 0) =
12
12!
0, 9012 = 0, 282
0, 100 0, 9012−0 =
0!(12 − 0)!
0
Resposta b)
(
P X
= 1) =
12
12!
0, 101 0, 9012−1 =
0, 10×0, 9012 = 0, 377
1
1!(12 − 1)!
Distribuição de Poisson
É uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a
ocorrência de eventos ao longo de intervalos especicados. A
variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo.
Os intervalos pode ser de tempo, distância, área, volume ou alguma
unidade similar.
Uma variável aleatória
1.
2.
3.
4.
X
X
admite distribuição de Poisson se:
= {0, 1, 2, · · · };
(
P X
= k) =
( ) = λ;
E X
( ) = λ.
Var X
e −λ λk
k! , k
= 0, 1, 2 · · · ;
Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial
nestes aspectos fundamentais:
1. A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n
e pela probabilidade p , enquanto que a distribuição de Poisson
é afetada apenas pela média λ;
2. Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável
aleatória X são 0, 1, 2, · · · , n, mas a distribuição de Poisson
tem os valores de X de 0, 1, 2, · · · , sem qualquer limite
superior.
Obs: O parâmetro
λ
é usualmente referido como taxa de
ocorrência.
Exemplo: Suponha que o número de carros que chegam a uma la
do guichê de um pedágio tem distribuição de Poisson a uma taxa
de três carros por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem
cinco carros em um minuto.