Gabarito # Lista 4

Análise Matemática I - EPGE/FGV
Professor: Alexandre Madureira
Monitor: Raphael Galvão
Gabarito - Lista 4
Exercício 1
A resolução será dividida em 3 casos:
(i) x1 = 0 ) xn = 0 8n 2 N:
p
1 ; logo a
(ii) x1
1 ) Se para n 2 N xn
1 ) xn+1 = xn
p
p p
sequência é limitada inferiormente. Ainda, x2 = x1
x1 : x1 = x1 e se
p
para n 2 N xn 1 ) xn+1 = xn xn e a sequência é monótona decrescente.
Por ser limitada inferiormente, p
a sequência converge
) x = limn!1 xn =
p
p
limn!1 xn+1 = limn!1 xn = limn!1 xn = x ) x = 0 ou x = 1: Como
xn 1 8n 2 N ) x = 1:
p
(iii) x1 2 (0; 1) ) x2 = x1 2 [x1 ; 1] . Supondo para n 2 N que xn 2
p
[x1 ; 1] ) xn+1 = xn 2 [x1 ; 1] e, por indução, xn 2 [x1 ; 1] 8n 2 N. Como
p
xn 2 [x1 ; 1] 8n 2 N; xn+1 = xn
xn , segue que a sequência é monótana
crescente e limitada, logo converge. Então, se x p
é limite dessa sequência, usando
argumento análogo ao do caso anterior, x = x ) x = 0 ou x = 1: Como
xn x1 8n 2 N ) x x1 > 0 ) x = 1:
Em resumo, xn ! 1; se x1 2 (0; +1) e xn ! 0; se x1 = 0:
Exercício 2
(1) ) (2) K é compacto) K é limitado, logo toda sequência em K possui
subsequência convergente, e K é fechado, então toda sequência convergente em
K tem limite contido em K.
(2) ) (1) Toda sequência convergente em K tem subsequência convergente
com limite em K. Como o limite da subsequência convergente é o mesmo da
sequência original, então toda sequência convergente em K tem limite em K,
logo o conjunto é fechado. Agora, resta provar que se toda sequência em K
possui subsequência convergente, então K é limitado.
Dem: S.p.c. que K não seja limitado, logo 8M 2 R 9x 2 K tal que kxk > M:
Então, pode-se construir uma sequência em K que não possui subsequência
convergente. De…nindo x1 2 K ) tome x2 2 K, t.q. kx2 k kx1 k + 1: Supondo
de…nido xn , t.q. kxn k kxn 1 k+1
kx1 k+1; podemos tomar xn+1 2 K;
com kxn+1 k kxn k+1: Desta forma, …ca de…nida uma sequência (xn )n2N em K
que não possui subsequência convergente, pois kxn+1 k kxn+1 xn k+kxn k )
kxn+1 xn k kxn+1 k kxn k 1; 8n 2 N. Contradição.
Exercício 3
f (x) > 0 ) f (x) = " > 0. Como f é contínua, 9 > 0; tal que 8y 2 Rm ;
se kx yk < ) jf (x) f (y)j < "=2 ) f (y) > f (x) "=2 = "=2 > 0: Logo,
8y 2 B (x); f (y) > 0.
1
Exercício 4
Seja f : A ! Rn : Se f é contração, então 9 2 [0; 1), tal que kf (x) f (y)k
kx yk ; 8x; y 2 A: Dado " > 0; tome x 2 A ) 8y 2 A tal que kx yk <
"= ) kf (x) f (y)k
kx yk < :("= ) = " ) f é contínua em x e, como
x é arbitrário, temos o resultado.
Exercício 5
Seja A = fx 2 [0; 1] : f (x) < 0g : Temos que A é não-vazio (0 2 A) e, da
continuidade de f , 9c 2 (0; 1); tal que f (c) = 0. Do Exercício 3, se f (x) > 0
(< 0); existe vizinhança aberta de x na qual f é estritamente positiva (negativa).
Então, se f (x) < 0, 9 > 0; t.q. f (x + =2) < 0; logo x não é cota superior
de A e f (s)
0. S.p.c. que f (s) > 0 ) 8" > 0; 9x"
s "; t.q. f (x" ) <
0. Contradição com o fato de que existe vizinhança aberta de x na qual f é
estritamente positiva. Portanto, f (s) = 0
Exercício 6
Como [a; b] é compacto, segue que f é uniformemente contínua. Logo, dado
" > 0, 9 > 0 tal que 8x; y 2 [a; b] ; se jx yj <
) jf (x) f (y)j < ": Seja
n 2 N, tal que (b a)=n < : De…na ai = a + i(b a)=n; i = 0; 1; :::; n; i.e.,
(ai ai 1 ) = (b a)=n; 8i 2 f1; :::; ng : Então; se x; y 2 [ai 1 ; ai ] ; jx yj
(b a)=n < ) jf (x) f (y)j < "; 8i 2 f1; :::; ng
2