Física Qûantica da Matéria

Física Quântica da Matéria
Série 3
Aulas 6 e 7 e 8
* 1- Um electrão está confinado pelo potencial de um oscilador linear harmónico V(x)= 1/2k x2
e sujeito a um campo eléctrico E constante, paralelo ao eixo dos xx.
a) determine a variação dos níveis de energia do electrão devida ao campo eléctrico E.
b) verifique que a teoria de perturbações de segunda ordem dá o valor exacto para a mesma
variação.
c) O momento dipolar eléctrico do sistema no estado n é definido como pn= -e <x>n .Quanto
vale o momento dipolar eléctrico para o electrão no potencial de oscilador harmónico, na
ausência e na presença do campo eléctrico E?
2- Para o estado n=2 do átomo de hidrogénio calcule as correcções de primeira ordem na
energia devidas a um campo eléctrico E constante e diga se estas correcções levantam a
degenerescência desse estado.
(não é necessário resolver os integrais radiais)
**3- Uma partícula de spin ½ move-se num potencialesférico de oscilador linear harmónico
.
V(x)= ½ m ω2 r2 sujeita a uma interacção dependente do spin, H'= λ σ r ( λ constante
pequena, σ matrizes de Pauli, r vector de posição).
a) Qual é a degenerescência do estado fundamental sem perturbação?
b) Determine o desvio à energia do estado fundamental do oscilador devido à perturbação e
diga se se levanta a degenerescência com correcções de primeira ordem.
*4- Um electrão a uma distânica x de uma superfície de hélio líquido sente um potencial -k/x
se x>0 , mas para x<0 tem-se V= ꝏ.
a) determine a energia do estado fundamental do electrão.
b) Calcule em primeira ordem de teoria das perturbações o efeito na energia
devido a um campo eléctrico constante aplicado na direcção do eixo dos xx.
*5- Uma molécula diatómica de diâmetro d massa M roda em torno de um eixo perpendicular
ao que une os dois átomos. A ligação entre os átomos é tal que podemos considerar em
cada uma das extremidades do eixo da molécula as cargas +Q e -Q.
a) Diga quais são as funções e valores próprios do Hamiltoneano.
b) Se se aplicar um campo eléctrico E fraco sobre o plano de rotação da molécula, calcule o
novo espectro da molécula em teoria das perturbações de segunda ordem. (mostre
previamente que as correcções de primeira ordem dão zero).
c) Se o campo E for forte mostre que a molécula oscila em torno de uma posição de
equilíbrio e determine energias e funções próprias para o sistema.
*6- Descreva o desvio nas energias de um átomo de hidrogénio, Enl provocadas por um
campo magnético muito forte (momento magnético de um átomo μ=μ0 (gl l+gs s) com gl =-1 e
gs =-2.
**7- Uma partícula de massa m e carga eléctrica Q move-se num potencial de oscilador
harmónico tridimensional V=1/2 k r2.
Se se aplicar um campo magnético constante quais são os níveis de energia?
**8- O mesmo que 7 mas para um campo muito fraco, não se podendo desprezar a
.
interacção spin-órbita V(r)σ l.
=======================================================================
Semanas de 19 a 30 de Abril:
*9- Dois fermiões idênticos de spin ½ encontram-se num potencial isotrópico a 3 dimensões
de oscilador linear harmónico.
a) Qual é a energia do estado fundamental e as dos dois primeiros estados excitados?
b) Quais são as funções próprias correspondentes à energia do primeiro estado excitado?
c) Qual a correcção à energia do estado fundamental devido à interacção entre os dois
fermiões se esta for da forma δ(r1-r2)?
d) Mostre que a degenerescência da energia do primeiro estado excitado é parcialmente
levantada pela interacção entre os dois fermiões da alínea c), separando-se os estados de
spin total diferente.
*10- Um átomo de hidrogénio no estado fundamental está numa zona onde existe um campo
eléctrico E uniforme fraco.
a) Mostre que os elementos de matriz da perturbação só não se anulam para ∆l=+1,-1
b) Mostre que o efeito do campo na energia do átomo é proporcional ao quadrado do valor
do campo E.
*11- Calcule o efeito na energia do estado fundamental de um oscilador de uma perturbação
proporcional a x3.
*12- Uma partícula livre é descrita por uma onda plana Ф(x)= ikx que satisfaz a condição
Ф(x+a)= -Ф(a) (isto é, anti-periodicidade de período a) .
a) Que valores tem k? Qual é o espectro de energia da partícula de massa m correspondente
a essa onda plana?
b) Escreva a (s) função(ões) própria(s) que correspondem ao estado fundamental da
partícula.
c) Se sobre a partícula actuar um potencial periódico V(x)=V0 cos(2 π x/a),
sendo V0<< h 2/ma2 calcule o seu efeito na energia do estado fundamental. (ajuda: escreva a
matriz 2x2 dos elementos de H=Ho+V entre as funções correspondentes à energia do estado
fundamental e ache os seus valores próprios)
*13- Uma partícula de massa m move-se no potencial V(x)= 1/2k (x 2+y2+z2+λxyz). Sendo λ
uma constante pequena,
a) calcule a energia do estado ligado usando teoria das perturbações de segunda ordem.
b) calcule em teoria das perturbações de primeira ordem as energias dos 3 primeiros estados
excitados.
*14-No modelo da força de Van der Waals entre dois átomos, cada átomo i está ligado a um
núcleo pesado por um potencial Vi( ri)= ½ m w2ri2 , e a interacção entre os electrões é
V12 (x1, x2)= b x1 x2 e2/d3,em que xi é a projecção segundo o eixo dos xx do vector ri. A
distância entre os núcleos, que definem o eixo dos xx, é d.
a) Se b=0, calcule a energia e função de onda do estado ligado do sistema.
b) Calcule a primeira correcção (não nula) à energia do estado fundamental devida a V12.
*15- Relativamente ao problema 15b, escreva a função de onda do estado fundamental,
corrigida nessa ordem.
a) Calcule o valor médio de (x1- x2)2.
b) Sendo d2>> h/mw, estime a distância entre os dois electrões medida sobre o eixo dos xx.
** 16-Uma partícula sem spin, massa m e carga e, está confinada a uma esfera de raio R: a
energia potencial é nula no interior da esfera e infinita no exterior.
a) Qual é a energia do estado fundamental da partícula?
b) Se se aplicar um campo magnético B fraco na direcção do eixo dos zz, qual é o efeito
nessa energia?
c) Se o campo magnético B for forte, calcule uma boa aproximação para a energia do estado
fundamental.
** 17- O tritium 3H (isótopo A=3 do hidrogénio) sofre decaímento beta originando 3He, com a
emissão de um electrão e de um neutrino. Supondo que o electrão do átomo de tritium
estava no estado fundamental, e que permanece associado ao núcleo 3He, formando o ião
3
He+ ,
a) Calcule a probabilidade de o ião de 3He+ estar no estado 1s.
b) Qual é a probabilidade de o ião de 3He+ ficar no estado 2p?
**18- Considere uma partícula de momento magnético =S (S=1/2) na presença de um
campo magnético B0 forte, constante, e aplicado no eixo dos zz, e outro fraco B’, dependente
do tempo e perpendicular ao primeiro, e a rodar com frequência w em torno do eixo dos zz.
(configuração que baseia o método de imagem por Ressonância Magnética)
a) Sem a presença do campo magnético variável, escreva a função de onda do spin da
partícula em função do tempo, se em t=0 essa função corresponder a uma projecção positiva
do spin no eixo dos xx. Com que frequência wo roda o spin ?
b) Determine a probabilidade de transição entre os dois estados possíveis de projecção de
spin segundo zz (conhecida por fórmula de Rabi). Para isso resolva as equações para os
coeficientes ci(t) de probabilidade de transição desprezando os termos que oscilam
rapidamente, e mantendo só os que oscilam pouco junto à ressonância, isto é, os que
envolvem as diferenças w-w0.
c) No resultado obtido em b) considere a aproximação w->wo . Determine nesse limite a taxa
de transições ao longo do tempo.