Matemática: Profª Patricia Borges Função Logarítmica: 1. Logaritmo

Matemática: Profª Patricia Borges
Função Logarítmica:
1. Logaritmo:
Quando falamos de Equações e Inequações Exponenciais, é possível lembrar
que eram resolvidos apenas os casos em que era possível reduzir as
potências a uma mesma base.
Imagine que seja preciso resolver a Equação Exponencial 3 x =4 , nessa
situação não é possível reduzir as potências a uma mesma base. Então, como
devemos proceder para resolver a Equação Exponencial?
Para isso, devemos prosseguir com os estudos e conhecer os Logaritmos.
Definição: Imagine dois números positivos e reais a e b, com a ¿ 1 . Define-se
por Logaritmo de b na base a, o expoente c, ou seja:
l o g a b=c ⟺ a c =b
Observe os exemplos resolvidos:
•
l o g 4 64=3 ⟺ 4 3=64
•
l o g 100=2 ⟺ 102=100
Consequências da Definição:
A partir da definição de logaritmo, é possível concluir:
1. “O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero.”
l o g a 1=0
2. “O logaritmo da base em qualquer base é igual a um.”
l o g a a=1
3. “A potência de base a e expoente l o g a b é igual a b.”
a
l ogab
=b
4. “Dois logaritmos em uma mesma base são iguais, se e somente
se, os logaritmandos são iguais.”
l o g a b=l o g a c ⟺ b=c
Exercícios:
1. Calcule, pela definição, cada um dos seguintes logaritmos:
a) l o g 4 16=¿
1
d) l o g 3 9 =¿
b) l o g 27 81=¿
e)
c)
l o g 125 25=¿
l o g1
8=¿
4
1
f) l o g 9 27 =¿
1. De acordo com a definição de logaritmo e suas consequências,
resolva:
a) l o g 21 1=¿
d) 8l o g 19=¿
b) l o g10 000=¿
e) l o g 0,1=¿
8
c) l o g 32 32=¿
1. Calcule a soma S abaixo:
S= l o g 8  2 l o g  2 8− l o g  2  8
1. Propriedades dos Logaritmos:
Existem algumas propriedades operatórias que tornam mais fáceis os
cálculos com Logaritmos, entre elas temos:
1a) Logaritmo do Produto: Sendo dois logaritmos de mesma base, o logaritmo
do produto entre dois números, é igual a soma dos logaritmos de cada um
desses números. Então:
l o g a  b. c  =l o g a bl o g a c
Exemplo: l o g 6  9.7  =l o g 6 9l o g 6 7
2a) Logaritmo do Quociente: Sendo dois logaritmos de mesma base, o
logaritmo do quociente entre dois números, é igual a diferença dos
logaritmos de cada um desses números. Então:
l o ga

b
=l o g a b−l o g a c
c

1
Exemplo: l o g 2 2 =l o g 2 1−l o g 2 2= 0−1=−1
3a) Logaritmo da Potência: Num logaritmo de uma potência de expoente real
e base real e positiva, o logaritmo é igual ao expoente da potência
multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. Então:
l o g a b c=c . l o g a b
5
Exemplo: l o g 3 2 =5 .l o g 3 2
Existe ainda outra ferramenta que pode ser utilizada para facilitar os
cálculos com Logaritmos. Em alguns casos, é preciso modificar a base de um
logaritmo para realizar cálculos, ou seja, para modificarmos a base do
logaritmo l o g a b , para base c, utilizamos:
l o g a b=
l o gcb
l o gc a
Exemplo: Mudando para 3 a base de l o g 7 25 , temos: l o g 7 25=
l o g 3 25
l o g37
Exercícios:
1. Escreva na forma de um único logaritmo:
a) l o g 4 5l o g 4 9=¿
b) 3 .l o g 8 4l o g 8 16=¿
1. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b, e c
são reais positivos):
 
5. a
a) l o g 5 b . c =¿
b) l o g 3
 
a.b ²
=¿
c
1. Se l o g 2=a e l o g 3=b , coloque em função de a e b os
seguintes logaritmos decimais:
a) l o g 6=¿
b) l o g 4=¿
1. Determine o valor de cada expressão, considerando l o g 2=0,3 ,
l o g 5=0,7 e l o g 7=0,8
a) l o g 2 35=¿
b) l o g 5 28=¿
c) l o g 7 14=¿
1. Função Logarítmica:
Dada a função f : R⟶ R , definida por f  x  =l o g a x , onde a0 e a≠1 é
chamada de Função Logarítmica. A função logarítmica é a inversa da função
exponencial.
Exemplo: f  x  =l o g 3 x
Gráfico de uma Função Logarítmica:
Para construir o gráfico de uma Função Logarítmica, precisamos a princípio,
montar uma tabela, onde serão atribuídos possíveis valores para x. Depois
disso, deverão ser calculados os valores para y, encontrando os pares
ordenados (x, y). Por fim serão marcados os pontos no plano cartesiano.
Observe o exemplo a seguir:
•
f  x  =l o g 2 x
X
y=l o g 2 x
1
4
1
y=l o g 2 =−2
4
1
2
1
y=l o g 2 =−1
2
1
y=l o g 2 1=0
2
y=l o g 2 2=1
4
y=l o g 2 4=2
Depois de montado o gráfico, é possível perceber que a função é crescente,
pois, quando aumentamos os valores de x, os valores de y aumentam
também. A partir disso, é possível dizer que sempre que a base do logaritmo
da função for um número maior que 1, a função logarítmica será Crescente.
Além disso, sempre que a base do logaritmo da função for um número entre
0 e 1, a função logarítmica será Decrescente.
Exercícios:
1. Esboce o gráfico de cada função:
a)
f  x  =l o g 3 x
b)
f  x = l o g 1
x
3
1. Equações Logarítmicas:
Uma Equação Logarítmica é aquela que possui uma incógnita no
logaritmando ou na base do logaritmo.
Exemplos: l o g 3  x− 4  =27
l o g x 3  x2  =15
l o g x2 x=l o g 5 21
Antes de iniciar a resolução das Equações Logarítmicas, é preciso primeiro
verificar se ela está dentro das Condições de Existência de um Logaritmo,
que são:
•
A base do Logaritmo deve ser positiva e diferente de 1;
•
O Logaritmando deverá ser positivo.
Assim, só devemos considerar os valores que estiverem dentro dessas
condições de existências como solução de uma Equação Logarítmica.
Observe agora a resolução dos exemplos a seguir:
•
l o g 2  x− 3 =1
Condição de Existência: x−30 ⟹ x3
1
Resolvendo a equação: l o g 2  x− 3 =1 ⟹ x− 3=2 ⟹ x=3 2 ⟹ x=5
Como x=5 , satisfaz a condição de existência do logaritmo x3 , então a
solução da equação é: S={5}
•
l o g x−2  2 x−4  =2
Condição de Existência:
2 x− 40 ⟹ 2 x 4 ⟹ x
4
⟹ x 2 2
x−20 ⟹ x2 e x−2≠1⟹ x ≠3 Logo, as condições de existência são: x2 e x≠3
Resolvendo a equação:
l o g
x −2
Como
 2 x − 4  =2 ⟹  x −2 2 =2 x − 4 ⟹ x ² −4 x 4 =2 x − 4 ⟹ x ² −6 x 8= 0

x 1 =2
x 2 =4
x 1=2 e x 2=4 , somente satisfaz as condições de existência do
logaritmo, x2 e x≠3 , x 2=4 . Então, a solução da equação é: S={4 }
Exercícios:
1. Resolva as equações logarítmicas:
a)
l o g 4  x5 = 2
d)
l o g 3  5 x−6  =l o g 3  3 x−5 
b) l o g 5  4 x−3 =1
c)
l o g 4  3 x2  =l o g 4  2 x5 
e) l o g− x−3  2 x−6  =7
f) l o g x  4−3 x  =2
Bibliografia:
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da
Matemática Elementar, 2: Logaritmos. 9 ed. São Paulo: Atual, 2004.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática, 1. 1 ed. São Paulo:
FTD, 2010.
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