Matemática II

Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
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Teorema de Pitágoras
Tópicos da aula
 Elementos do triângulo retângulo
 Propriedade dos ângulos agudos
 Teorema de Pitágoras
Exercícios de aula
1) Sendo x + 18o e 2x – 42o as medidas, em graus, dos
ângulos agudos de um triângulo retângulo, é certo afirmar
que a medida do maior destes ângulos agudos é igual a
a) 34o.
b) 38o.
c) 56o.
d) 64o.
e) 72o.
Resumo teórico
Elementos do triângulo retângulo:
C
y
a
b
x

B
A
c


Catetos = lados que formam o ângulo reto AC e AB
 
Hipotenusa = lado oposto ao ângulo reto BC

Ângulo reto = B A C


Ângulos agudos = A B C e A C B
Medidas:
 
m AC = b
m AB = c
a = medida da hipotenusa BC  m BC = a
b = medida do cateto AC

c = medida do cateto AB 


2) Um triângulo retângulo possui um de seus catetos de

medida 8cm e hipotenusa 4 13 cm. A razão entre a
medida do maior cateto pela medida do menor cateto é
igual a
a) 0,7.
b) 1,5.
c) 1,8.
d) 2,4.
e) 3,6.

x = medida do ângulo agudo A B C  m  A B C  = x






y = medida do ângulo agudo A C B  m  A C B  = y


Propriedade dos ângulos agudos:
Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são
complementares, ou seja, x + y = 90o.
Teorema de Pitágoras:
“Em todo triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.”
Pitágoras
a2 = b 2 + c 2
570 – 490 a.C.
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3) Sabendo que as medidas dos lados de um triângulo
retângulo são três números inteiros positivos e
consecutivos, obtenha estas três medidas.
5) Sendo p e q números inteiros positivos, verifique
algebricamente que a terna (2.p.q , p2 – q2 , p2 + q2) é uma
terna pitagórica.
Tarefa de casa
1) Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo
retângulo de catetos 25cm e 60cm.
2) Um triângulo retângulo possui hipotenusa de medida
20cm. Sabendo que um de seus catetos mede 12cm,
calcule a medida do outro cateto deste triângulo.
4) Uma Terna Pitagórica de números inteiros é uma
sequência de três números inteiros positivos que
satisfazem o Teorema de Pitágoras. Por exemplo, a terna
(3, 4, 5) onde 3 e 4 são as medidas dos catetos e 5 a
medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é uma
Terna Pitagórica, pois esta sequência satisfaz o Teorema
de Pitágoras, ou seja, 32 + 42 = 52.
Uma maneira de descobrir tais Ternas Pitagóricas é
encontrar dois números inteiros positivos
p e q
diferentes (com p > q), de modo que os catetos tenham as
medidas 2.p.q e p2 – q2 , e que a hipotenusa tenha a
medida de p2 + q2.
Obtenha as quatro Ternas Pitagóricas possíveis de
números inteiro com p = 5 e complete a tabela abaixo.
p
q
cateto
2.p.q
cateto
p2 – q2
hipotenusa
p2 + q2
3) Das ternas apresentadas abaixo a única que não é uma
terna pitagórica é a terna
a) (8, 15, 17).
d) (5, 12, 13).
b) (10, 24, 26). e) (7, 24, 25).
c) (9, 12, 16).
4) Sendo p e q são dois número inteiros positivos e
distintos (com p > q) a terna (2.p.q , p2 – q2 , p2 + q2)
constitui uma terna pitagórica. Obtenha as cinco ternas
pitagóricas possíveis com p = 6.
5) Sabendo que a soma dos quadrados das medidas dos
três lados de um triângulo retângulo é igual a 32, calcule a
medida da hipotenusa.
Terna
Pitagórica
Questão de raciocínio lógico
Você é bom de olho?
Na figura abaixo quantos triângulos você vê?
a) 9 triângulos.
b) 10 triângulos.
c) 12 triângulos.
d) 13 triângulos.
e) 18 triângulos.
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