Normalidade das Álgebras de Rees de Ideais de Arestas

Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matemática
Curso de Pós-graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Normalidade das Álgebras de Rees de Ideais de
Arestas
Bárbara Costa da Silva
Salvador-Bahia
Março de 2007
Normalidade das Álgebras de Rees de Ideais de
Arestas
Bárbara Costa da Silva
Dissertação sob orientação do Prof.
Dr.
Carlos Eduardo Nogueira Bahiano que será
apresentada ao colegiado do curso de PósGraduação em Matemática da Universidade
Federal da Bahia, como requisito parcial
para obtenção do Tı́tulo de Mestre em
Matemática.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador)
Prof. Dr.Aron Simis
Prof. Dr.José Fernandes Silva Andrade
Resumo
O presente trabalho estuda a normalidade das álgebras de Rees de ideais monomiais
I = (M1 , · · · , Mr ) ⊂ k[x1 , · · · , xn ] gerados por monômios de grau 2 e livres de quadrados.
O texto é dividido em três capı́tulos: preliminares, tópicos em álgebra comutativa e
normalidade. O primeiro capı́tulo tem o objetivo de familiarizar o leitor sobre alguns conceitos
envolvidos na dissertação, tais como grafos e ideais monomiais. Já no capı́tulo seguinte, normalidade de anéis e ideais, álgebra de Rees e graduada associada e potências simbólicas são os
principais tópicos comentados, almejando obter ferramentas para o desenvolvimento e conclusão
dos resultados mais importantes desse trabalho. Finalmente, o capı́tulo sobre normalidade é o
ponto culminante do trabalho, em que são apresentados alguns ideais monomiais cujas algebras
de Rees são normais, assim como, exemplos de um ideal monomial cuja algebra de Rees não é
normal.
SILVA, Bárbara Costa. Normalidade das Álgebras de
Rees de Ideais de Arestas. Salvador-Ba, UFBA, 2007
(Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de pósgraduação em Matemática), 45 páginas.
PALAVRAS-CHAVE: Grafos, Monômios, Gerador
Mı́nimo Essencial, Anéis, Ideal de Arestas, Álgebra de
Rees, Normalidade.
A Deus, a minha mãe, aos
familiares e aos amigos.
O futuro pertence àqueles que acreditam na beleza de seus
sonhos.
(Autor Desconhecido)
vi
Sumário
Resumo
iii
Introdução
1
1 Preliminares
3
1.1
Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Ideais Monomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Decomposição Primária de Ideais Monomiais . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Ideais de Arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Tópicos em Álgebra Comutativa
11
2.1
Ideais Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Álgebra de Rees e Álgebra Graduada Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Potências Simbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3 Normalidade
22
3.1
Normalidade de Grafos Bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2
Outras Álgebras de Rees Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
vii
3.3
Transferência de Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Apêndice
4.1
34
37
Integralidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia
37
40
viii
Introdução
O objetivo deste trabalho é estudar a normalidade das álgebras de Rees associadas
a ideais de arestas de um grafo (não orientado, e desprovido de loops e arestas paralelas),
I = (M1 , · · · , Mr ) ⊂ k[x1 , . . . , xn ], e a sua relação com a normalidade da subalgebra k[F ] =
k[M1 , · · · , Mr ].
Um grafo simples não orientado será identificado com um ideal gerado por um conjunto
de monômios de grau 2 e livres de quadrados, de acordo com a descrição a seguir: se G é
um grafo cujo conjunto de vértices é V = {x1 , · · · , xn }; A(G) seu conjunto de arestas e R
o anel de polinômios sobre um corpo k, cujo número de variáveis independentes é igual a n
(R = k[x1 , · · · , xn ]), então o ideal I de R gerado por monômios de grau 2 e livres de quadrados,
denominado ideal de arestas, é dado por
I = ({xi xj ; (xi , xj ) ∈ A(G)}).
Esta ordem de idéias foi originalmente introduzida por A. Simis, W. Vasconcelos e R.
Villarreal em [4], e este mesmo artigo motivou o presente trabalho.
Dizemos que um grafo G é normal se o seu ideal de arestas é normal, ou seja, se o
fecho inteiro da n-ésima potência de I é igual a I n (I n = I n , ∀n ≥ 1). Os pontos chave
desta dissertação são: caracterizar os grafos normais em termos de sua estrutura; e relacionar
a normalidade da álgebra de Rees com a da k-subálgebra k[F ].
Neste sentido, os principais resultados que iremos demonstrar são:
Teorema 3.9: Sejam G um grafo simples e I(G) o seu ideal de arestas. Então G é
bipartido se, e somente se, I(G) é normalmente livre de torção.
Introdução
2
Teorema 3.16: Sejam G um grafo conexo e I seu ideal de arestas. Então a álgebra de
Rees R(I) é normal se, e somente se, a subálgebra k[G] é normal.
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste Capı́tulo abordaremos, de forma resumida, algumas noções de grafos e ideais de
arestas. O objetivo é deixar o leitor familiarizado com os conceitos utilizados no decorrer do
trabalho.
1.1
Grafos
Nesta seção veremos uma noção da teoria de grafos. A teoria de grafos é um grande
estı́mulo para o estudo de ideais gerados por monômios de grau 2 e livres de quadrados em
um anel de polinômios sobre um corpo k, os chamados ideais de arestas. Isto ocorre porque
existem alguns elementos desta teoria que podem ser associados a elementos da teoria de ideais
monomiais. Por exemplo, a cobertura mı́nima em grafos está associada aos primos mı́nimos
dos ideais de arestas, como veremos no teorema 1.6. Esta relação serve para tornar mais compreensı́vel e fácil algumas demonstrações, além de ser uma alternativa a mais para a obtenção
dos resultados durante o trabalho.
Dado um conjunto V 6= ∅, um grafo de vértices em V e arestas A é um par G = (V, A),
em que A ⊆ V × V.
Os elementos de A são chamados arestas de G. Quando não for claro escreveremos
A(G), em lugar de A, para evidenciar a dependência entre G e A.
3
Preliminares
4
Um grafo G é finito se o conjunto V de seus vértices é finito. Dados vértices v1 , v2 ∈ V,
dizemos que v1 é adjacente a v2 em G, se (v1 , v2 ) ∈ A(G). Um grafo é dito ser completo se
seus vértices são dois a dois adjacentes. Dois vértices v1 , v2 ∈ V, são ditos independentes em G
se, ambos, (v1 , v2 ), (v2 , v1 ) ∈
/ A(G). Dizemos que o grafo G possui loops ou laços em v ∈ V se
(v, v) ∈ A. O grafo é orientado se existe v1 , v2 ∈ V tais que (v1 , v2 ) ∈ A e (v2 , v1 ) ∈
/ A.
Quando um grafo G é não-orientado, desprovido de loops, sem vértices isolados e o
conjunto dos vértices é finito diremos que G é simples. A partir de agora só trabalharemos com
grafos desse tipo.
Sejam G, H grafos. Dizemos que H é subgrafo de G, e escrevemos H ⊆ G, se V (H) ⊆
V (G) e A(H) ⊆ A(G). Além disto, se A(H) = A(G) ∩ (V(H) × V(H)) então H é um subgrafo
induzido de G. Neste caso, denotamos por G v H.
Observe que dado um grafo G = (V, A) e um subconjunto V 0 ⊆ V, existe um único
subgrafo induzido de G cujos vértices são os elementos de V 0 . O subgrafo induzido é denominado
subgrafo gerado por V 0 .
Um caminho de comprimento r é um grafo cujos vértices e arestas são, respectivamente,
a menos de notação,
V = {0, 1, . . . , r} e A = {(0, 1), (1, 2), . . . , (r − 1, r)}.
Dado r ∈ N (r > 2), um ciclo de ordem r, escrito Cr , é um grafo cujos vértices e
arestas são, respectivamente, a menos de notação,
V = {1, . . . , r} e A = {(1, 2), . . . , (r − 1, r), (r, 1)}
Um grafo G é conexo se para todo par de vértices existe um caminho em G ligando-os.
Um grafo é r-conexo (r ∈ N+ ) se para todo subconjunto V 0 ⊂ V (G), de cardinalidade menor
ou igual a r − 1, o subgrafo induzido G(V (G) \ V 0 ) é conexo.
Um grafo G é uma árvore se é conexo e não possui ciclos.
Sejam G um grafo e v ∈ V. O grau de incidência de v em G (escrito dG (v)) é a
cardinalidade do conjunto de vértices que são adjacentes a v. Os vértices de grau de incidência
Preliminares
5
zero são chamados de vértices isolados. Observe que se G é r-conexo, então dG (v) ≥ r para
todo vértice.
Seja G um grafo de vértices V = {v1 , . . . , vn }. Uma cobertura de G é um subconjunto
P ⊂ V tal que para toda aresta (vı , v ) tem-se vı ∈ P ou v ∈ P. Uma cobertura é mı́nima
se nenhum de seus subconjuntos próprios é uma cobertura de G, e será minimal se não existe
cobertura de cardinalidade menor. A cardinalidade de uma cobertura minimal de G, escrita
αo (G), é também designada como o número de cobertura de G, enquanto βo (G) := #V (G) −
αo (G) é dito ser a dimensão de G.
Da definição segue que o complementar de uma cobertura é um conjunto de vértices
independentes em G, e vice-versa. Portanto, o complementar de cobertura mı́nima (resp. minimal) corresponde a um conjunto máximo (resp. maximal) de vértices independentes em G.
A distância d(v1 , v2 ) entre dois vértices v1 e v2 é o mı́nimo do comprimento de todos
os caminhos que une v1 a v2 .
Dizemos que um grafo G é bipartido se admite uma cobertura composta por vértices
independentes.
Se G é bipartido, então G admite uma cobertura minimal composta por vértices independentes. Um ciclo de ordem ı́mpar não é bipartido. De fato, toda cobertura mı́nima de
G contém ao menos uma aresta de G. Segue-se, portanto, que um grafo bipartido não contém
ciclos de ordem ı́mpar. Esta necessidade óbvia também é uma condição suficiente:
1.1 Teorema. Um grafo não trivial G é bipartido se, e somente se, não contém ciclos de
ordem ı́mpar.
Demonstração. Para provar a recı́proca do teorema basta provar que cada componente conexa de G é bipartida, portanto podemos supor G conexo. Seja v1 ∈ V e considere
V1 = {v ∈ V ; d(v, v1 ) é ı́mpar} e V2 = V − V1 .
Segue que V1 e V2 não possuem dois vértices adjacentes, pois G não contém ciclos de
ordem ı́mpar. Logo G é bipartido.
¥
Preliminares
6
Exemplo 1.1. Um exemplo simples de grafos bipartidos são as árvores, visto que árvores
não possuem ciclos.
1.2
Ideais Monomiais
Nesta seção estudaremos as caracterı́sticas básicas dos ideais monomiais e sua relação
com os grafos.
1.2 Definição. Um ideal I ⊂ R = k[x1 , · · · , xn ], em que k é um corpo, é dito um ideal
monomial se I é gerado por monômios.
Como o anel de polinômios R é um domı́nio noetheriano, então, se I é um ideal
monomial, existe um conjunto finito de monômios em R que geram I.
1.3 Definição. Dizemos que o monômio f ∈ R é livre de quadrado se
f = xα1 1 · · · xαnn , e αi = 0 ou αi = 1.
1.2.1
Decomposição Primária de Ideais Monomiais
Um resultado clássico na teoria da álgebra comutativa diz que se R é um anel Noethe-
riano e I é um ideal próprio de R, então I possui uma decomposição primária irredundante
[[6],Corolário 1.1.25]. A decomposição primária de ideais descreve muito bem as caracterı́sticas
do ideal. Nesta seção veremos a decomposição primária de ideais monomiais para estudarmos
as caracterı́sticas dos ideais de aresta. As demonstrações dos resultados desta seção ensinam
como fazer a decomposição primária destes ideais.
Para todo f ∈ R podemos escrever f =
P
λı Mı , em que λı ∈ k \ {0} e Mı ∈ R são
monômios. Como o anel de polinômios é uma álgebra graduada, utilizando a ordem lexicográfica
P
reversa, podemos considerar f =
λı Mı , tal que Mı < M , sempre que ı < . Usaremos Lf
para denotar o monômio lı́der de f, enquanto que, para um ideal I ⊂ R, L(I) denotará o ideal
gerado pelos monômios lı́deres dos elementos de I.
1.4 Lema. Sejam R = k[x1 , . . . , xn ] um anel de polinômios e J ⊂ R um ideal monomial.
Preliminares
(a) Se f =
P
7
λı Mı ∈ J, então Lf ∈ J. Consequentemente, Mı ∈ J, sempre que λı 6= 0.
(b)Dados monômios X α , X β ∈ R. Se MDC(X α , X β ) = 1, então:
(X α X β , J) = (X α , J) ∩ (X β , J).
Demonstração. (a) Neste caso, J possui uma base de gröbner {g1 , . . . , gr } ⊂ J, comP
posta por monômios e, portanto, J = L(J) = (Lg1 , . . . , Lgr ). Em particular, se f =
λı Mı ∈ J,
então f 0 = f −Lf ∈ J e portanto Lf 0 ∈ J. Usando recursivamente o argumento obtemos Mı ∈ J,
para todo ı.
(b) Veja que a inclusão (X α X β , J) ⊆ (X α , J) ∩ (X β , J) é trivial. Por outro lado, dado
f ∈ (X α , J) ∩ (X β , J) podemos escrever
f = h 1 X α + u1 = h 2 X β + u2
Se h1 =
P
u1 , u2 ∈ J e h1 , h2 ∈ R.
λi Mı ∈ J, temos f ∈ J ⊂ (X α X β , J). Contudo, se algum termo Mıo de h1 não per-
tence a J, como h1 X α = h2 X β + u2 − u1 ∈ (X β , J), temos, obrigatoriamente, Mıo X α = X θ X β .
Uma vez que, MDC(X α , X β ) = 1, obtemos Mıo ∈ (X β ), e conseqüentemente, se repetirmos o
mesmo argumento com todos os termos de h1 que não estão em J obtemos
h1 X α ∈ (X α X β , J).
¥
1.5 Teorema. Sejam R = k[x1 , . . . , xn ] um anel de polinômios e I ⊂ R um ideal monomial.
Então:
(a) existe uma decomposição primária I = ∩Qλ , em que os Qλ são ideais gerados por potências
de variáveis;
(b) I é primo se, e somente se, é gerado por um subconjunto de {x1 , . . . , xn };
(c) os primos associados de I são gerados por subconjuntos de variáveis;
(d) se I é gerado por monômios e livres de quadrados, então I é radical. Em particular, I não
tem primos imersos.
Preliminares
8
Demonstração.
(a) Sejam I = (X α1 , . . . , X αr ), em que cada X αi é um monômio e
J = (X α2 , . . . , X αr ). Então podemos supor que X α1 = xd11 · · · xdt t t ≤ n.
Usando recursivamente o lema 1.4 temos:
I = (xd11 , J) ∩ · · · ∩ (xdt t , J).
eλ , em que os Qλ são
Pela hipótese de indução J tem uma decomposição primária J = ∩Q
gerados por potências de variáveis, e portanto, para todo  ∈ {1, . . . , t}, temos
eλ ) = ∩(xd , Q
eλ ).
(xd , J) = (xd  , ∩Q

Isto demonstra o item (a).
(b) Seja X α ∈ I o monômio de maior grau, que é um gerador mı́nimo de I e seja xı um
divisor de X α . Temos
Xα
xı
∈
/ I. Como I é primo, então xı ∈ I e, conseqüentemente, X α = xı .
Logo I é gerado por variáveis. A recı́proca é imediata.
(c) De fato, a decomposição primária dada no ı́tem (a) pode ser reduzida por eliminação dos primários que já contém algum outro presente na decomposição, fornecendo assim,
uma decomposição primária irredundante, composta por ideais primários que são gerados por
potências de variáveis. Sabe-se, entretanto, que os primos associados são os radicais dos ideais
primários de uma decomposição irredundante, e é imediato que o radical de um ideal primário,
que tem a forma acima, é gerado por variáveis.
(d) Neste caso, a decomposição dada pelo item (a) é composta por ideais gerado por
um subconjunto do conjunto de variáveis, e portanto, primos. O ideal I é, portanto, intersecção
de ideias primos, logo radical. Em particular, I é a intersecção de seus primos mı́nimos, logo
não tem primos imersos.
¥
Preliminares
1.2.2
9
Ideais de Arestas
Nesta parte do trabalho indicaremos algumas correspondências existentes entre um
grafo G e o ideal monomial gerado por monômios livres de quadrados de grau 2 em um anel
de polinômios sobre um corpo k. Inicialmente, daremos um mecanismo para passarmos de um
grafo para um ideal como descrito acima e, em seguida mostraremos as relações entre eles.
Seja G um grafo cujo conjunto de vértices é V = {x1 , · · · , xn }. Considere R o anel
de polinômios em um corpo k, cujo número de variáveis independentes é igual ao número de
elementos em V , isto é, R = k[x1 , · · · , xn ]. O ideal de arestas de G é o ideal I(G) ⊂ R gerado
pelos monômios xi xj , tais que (xi , xj ) é uma aresta de G. Assim,
I(G) = ({xi xj ; (xi , xj ) ∈ A(G)}).
Exemplo 1.2. Para exemplificar a definição acima, considere o grafo G = (V, A) tal
que V = {x, y, z, w} e A = {(x, y), (x, z), (y, w), (z, w)}. Então o ideal de aresta de G em
k[x, y, z, w] é dado por
I(G) = (xy, xz, yw, zw).
É claro que esta relação é biunı́voca, isto é, para cada grafo dado existe um único ideal
de arestas associado a este grafo e vice-versa.
O anel do grafo, denominado Anel de Petersen, é o anel de classes k[G] :=
R
.
I(G)
O teorema abaixo relaciona os primos mı́nimos do ideal de arestas de um grafo G com
as suas coberturas, e a dimensão de G com a dimensão do anel de Petersen de G.
1.6 Teorema. Dado um grafo simples G, com n vértices, seja I = I(G) ⊂ R seu ideal de
arestas. Os conjuntos de geradores (mı́nimos) dos primos mı́nimos de I(G) correspondem a
coberturas mı́nimas de G. Em particular, ht I(G) = αo (G), e dim k[G] = βo (G) = dim G.
Demonstração.
Uma vez que I é gerado por monômios livres de quadrados, I é
ideal radical, e seus primos mı́nimos são gerados por variáveis.
Dado um primo mı́nimo P = (xı1 , . . . , xıt ) de I, Afirmamos que CP = {xi1 , · · · , xit } é
uma cobertura mı́nima de G.
Preliminares
10
De fato, dada uma aresta (xı , x ), temos xı x ∈ I ⊂ P e, portanto, xı ∈ P ou x ∈ P,
o que implica xı ∈ CP ou x ∈ CP . Segue que CP é uma cobertura de G. Para mostrar que CP
é uma cobertura mı́nima, basta observar que se P 0 ⊂ P é gerado por um subconjunto próprio
de {xı1 , . . . , xıt }, então I 6⊆ P 0 . Como P 0 é primo mı́nimo e P 0 é primo, existe aresta xıo xo ∈ I
tal que xıo , xo ∈
/ P 0 . Logo, xıo , xo ∈
/ CP 0 .
Reciprocamente, dada uma cobertura mı́nima C = {xı1 , . . . , xıt } do grafo G, o primo
P = (xı1 , . . . , xıt ) contém I e nenhum primo P 0 ⊂ P contém I, pois neste caso, P 0 deveria
conter um subconjunto de variáveis propriamente contida em P e portanto pela primeira parte
acima, teriamos uma subcobertura CP 0 ⊂ C e C não seria uma cobertura mı́nima.
Para concluir a demonstração do teorema, observamos que as coberturas minimais
correspondem aos primos minimais e vice-versa, logo ht(I) é igual à cardinalidade da menor
cobertura possı́vel, i.é, ht(I) = αo (G). Em particular,
dim k[G] = n − ht(I) = #V (G) − αo (G) = βo (G) = dim G.
¥
No exemplo 1.2 vemos que os primos mı́nimos de I são (x, z), (y, w) pois os subconjuntos
de V dados por {x, z}, {y, w} são coberturas mı́nimas de G.
Dado um monômio X α = xα1 1 . . . xαnn ∈ k[x1 , · · · xn ], o seu suporte é o conjunto
suppX α = {xı ; xı divide X α }.
Capı́tulo 2
Tópicos em Álgebra Comutativa
Neste capı́tulo abordaremos alguns tópicos em álgebra comutativa tais como ideais
normais, potências simbólicas, álgebra de Rees e álgebra graduada associada, com o intuito de
fornecer ferrramentas para o próximo Capı́tulo.
2.1
Ideais Normais
Veremos a definição de normalidade de ideais e, em paralelo, estaremos provando alguns
resultados referentes a este assunto. Um resultado muito importante e utilizado bastante no
decorrer do trabalho (que demonstraremos nesta seção), descreve como obter o fecho inteiro de
um ideal monomial I a partir do mesmo [Proposição 2.2]. Como o foco da nossa atenção são os
ideais de arestas, a caracterização do fecho inteiro de ideais monomiais será um grande passo
na busca da normalidade de tais ideais.
2.1 Definição. Sejam R um anel e I um ideal de R. Um elemento z ∈ R é inteiro sobre I se
z satisfaz a seguinte equação:
z n + a1 z n−1 + · · · + an = 0; sendo ai ∈ I i .
O conjunto de todos os elementos z ∈ R inteiro sobre I, denotado por I, é chamado fecho
inteiro de I. Quando I = I dizemos que I é integralmente fechado ou completo. Caso I n seja
completo para todo n ∈ N então o ideal I é dito normal.
11
Tópicos em Álgebra Comutativa
12
Diremos que um grafo G é normal se seu ideal de arestas for normal.
Existe uma questão natural que surge neste ponto: será que o fecho inteiro de um
ideal monomial é ainda um ideal monomial? Em [6] podemos comprovar que a resposta desta
questão é afirmativa. Mais ainda, se I ⊂ k[x1 , · · · , xn ] é um ideal monomial, em que k é um
corpo, então I é gerado pelo conjunto
{X α ; (X α )m ∈ I m para algum m ≥ 1},
α
α
em que X α = xi1i1 . . . xirir são monômios em k[x1 , · · · , xr ] tais que αi1 + · · · + αir = α, como será
provado na proposição seguinte. Como estaremos interessados em encontrar grafos normais,
saber como se comporta o fecho inteiro de um ideal monomial é de grande importância para o
desenvolvimento do trabalho.
2.2 Proposição. Sejam R = k[x1 , · · · , xn ] um anel de polinômios sobre um corpo k e I ⊂ R
um ideal monomial. Então o fecho inteiro de I é dado por:
I = ({X α ; (X α )m ∈ I m para algum m ≥ 1}),
α
α
em que X α = xi1i1 . . . xirir são monômios tais que αi1 + · · · + αir = α.
Demonstração. Sejam J = {X α ; (X α )m ∈ I m para algum m ≥ 1} e X α ∈ J. Então
existe m ≥ 1 tal que (X α )m ∈ I m . Note que X α é raiz do polinômio f (z) = z m − (X α )m e
portanto X α ∈ I.
Reciprocamente, se z = X α ∈ I então
z r + a1 z r−1 + · · · + ar−1 z 1 + ar = 0 , ai ∈ I i .
Como I é ideal monomial então z m ∈ I m para algum m ≥ 1.
¥
Sejam R = k[x1 , ..xn ] o anel de polinômios sobre um corpo k e P ⊂ R um ideal
monomial primo. Iremos utilizar a proposição acima para mostrar que P é normal. Embora
esse resultado seja simples, este será apresentado para indicar a importância da caracterização
Tópicos em Álgebra Comutativa
13
do fecho inteiro de um ideal I dado acima. Além disso, esse resultado será usado em outras
demonstrações.
Vamos mostrar que P é normal por indução em n. Observe que P n ⊂ P n para todo
n, logo basta mostrar que P n ⊂ P n . Para n = 1 seja y ∈ P . Então existe j ∈ N tal que
y j ∈ P j ⊂ P . Como P é primo então y ∈ P . Portanto P = P .
Suponha que para i < n tenhamos P i = P i e seja y ∈ P n . Então existe j ∈ N tal que
y j ∈ P nj . Como y ∈ P n ⊂ P n−1 = P n−1 então y tem grau pelo menos n − 1, isto é,
y = xαi11 . . . xαirr u,
em que |α| = n − 1 e u é um monômio de grau maior que 0 ou u é uma constante. Mas, se u
for uma constante y j = xαi11 j . . . xαirr j uj terá o grau menor que jn, absurdo. Logo y ∈ P n .
Vamos agora estabelecer uma relação entre normalidade de um domı́nio [ver Apêndice]
e ideais completos.
2.3 Lema. Seja R um domı́nio e x ∈ R − {0} tal que o anel de frações Rx = { xan , a ∈ R}
seja normal. Então, R é normal se, e somente se, (x) é completo.
Demonstração.
Suponha que R seja normal e seja z ∈ (x). Logo, z satisfaz a
equação abaixo:
z n + (a1 x)z n−1 + · · · + (an xn ) = 0, com ai ∈ R.
Dividindo a equação por xn teremos
z
z
( )n + a1 ( )n−1 + · · · + an = 0.
x
x
Daı́,
z
x
∈ R = R e, portanto, z ∈ (x).
Reciprocamente, suponha (x) completo e seja z ∈ R. Como o corpo de frações de R é
igual ao de Rx e R ⊂ Rx então R ⊂ Rx = Rx . Logo, podemos escrever z =
mostrar que z ∈ R basta mostrar que a ∈ (x).
Como z ∈ R temos que z satisfaz a equação que segue:
z n + b1 z n−1 + · · · + bn = 0, com bi ∈ R.
a
,
xr
a ∈ R. Para
Tópicos em Álgebra Comutativa
14
Multiplicando a equação por xrn teremos:
an + (b1 xr )an−1 + · · · + bn xrn = 0.
Logo a ∈ (x) = (x).
¥
2.4 Proposição. Se I é um ideal de um anel R e S é um sistema multiplicativo fechado tal
que S ∩ I = ∅ então
S −1 (I) = S −1 (I).
2.5 Corolário. Seja R um domı́nio e x ∈ R − {0}. Então, R é normal se, e somente se, Rx
R
e Rp são normais para todo P ∈ Ass (x)
.
Demonstração. Sejam x ∈ R − {0} e B =
R é um domı́nio então
R = Rx
\
T
)
P ∈Ass( R
x
RP . Podemos observar que se
B.
Portanto, R é um domı́nio normal se, e somente se, Rx e RP são domı́nios normais para algum
x ∈ R − {0} e para todo P ∈ Ass Rx .
¥
Dada A ⊂ B uma extensão de anéis, uma questão que surge é: se B é um anel normal
então A também é normal? Em geral, a normalidade de B não é herdada por A. Nos resultados
abaixo daremos as condições necessárias para que o anel A seja normal.
2.6 Lema. Seja A ⊂ B uma extensão de anéis. Se B = A ⊕ C, como A-módulos, então
IB ∩ A = I para todo ideal I de A.
Pq
em que bi ∈ B e fi ∈ I.
P
Por hipótese, bi = ai + ci , com ai ∈ A e ci ∈ C. Como z ∈ A segue que z = qi=1 ai fi ∈ I. Isso
Demonstração.
Seja z ∈ IB ∩ A e escreva z =
i=1 bi fi ,
prova o lema pois I ⊂ IB ∩ A é claro.
¥
Tópicos em Álgebra Comutativa
15
2.7 Proposição. Sejam A e B domı́nios de integridade com A ⊂ B e kA e kB seus respectivos
corpo de frações. Se B = A ⊕ C, como A-módulos, então kA ∩ B ⊂ A.
Em particular, se B é normal, então A é normal.
Demonstração.
Se b =
a
c
∈ B com a, c ∈ A, então a ∈ (c)B ∩ A = (c) [Lema 2.6],
portanto a = λc = bc, com λ ∈ A. Logo, b = λ ∈ A
¥
2.2
Álgebra de Rees e Álgebra Graduada Associada
Sejam R um anel e F = {In ; n ≥ 0} uma famı́lia de ideais em R. Dizemos que F é
uma filtração se F é tal que
Ii+1 ⊂ Ii , I0 = R e Ii Ij ⊂ Ii+j , ∀i, j ∈ N.
As potências ordinárias de um ideal I ⊂ R é um exemplo de uma filtração.
Dada uma filtração F = {Ii ; n ∈ N} de um anel R podemos definir um anel Ngraduado associado a F dado por:
R(F) = R ⊕ It ⊕ · · · ⊕ In tn ⊕ · · · ⊂ R[t].
Chamamos o anel R(F) de álgebra de Rees da filtração F. Quando nos referirmos à álgebra de
Rees de I estaremos considerando a filtração F = {I n , n ∈ N} e usaremos a notação R(I).
Se I é um ideal de um anel R gerado por f1 , · · · , fr , então a álgebra de Rees de I é
dada por:
R(I) ≈ R[f1 t, · · · , fr t] ⊂ R[t],
em que t é transcendente sobre R. De fato, basta observar que
α
α
I n = ({fi1i1 . . . fir ir ; αi1 + · · · + αir = n}).
Daı́, se f ∈ I n tn então
α
α
α
α
f = afi1i1 . . . fir ir tn = a(fi1i1 tαi1 ) . . . (fir ir tαir ),
ou seja, f ∈ R[f1 t, · · · , fn t].
Tópicos em Álgebra Comutativa
16
2.8 Definição. Seja I um ideal de um anel R. Definimos a Álgebra de Rees extendida de I
por A = R[It, t−1 ].
2.9 Proposição. Sejam I um ideal de um anel R e A a álgebra de Rees extendida de I. Se R é
um domı́nio normal, então A é normal se, e somente se, AP é normal para todo P ∈ Ass t−1 A.
Demonstração.
Basta observar que Au = R[t, u], em que u = t−1 e Au = { uan ; a ∈
A}. Logo Au é um domı́nio normal. Daı́, a proposição segue por 4.3.
¥
Sejam R um anel e I um ideal de R. Podemos definir outro anel graduado por
grI (R) =
R
I
In
⊕ 2 ⊕ · · · ⊕ n+1 ⊕ · · · ,
I
I
I
em que a operação de multiplicação definida em grI (R) é dada por:
(a + I i )(b + I j ) = ab + I i+j−1 ,
em que a ∈ I i−1 e b ∈ I j−1 . É fácil provar que grI (R) com a operação de multiplicação definida
acima e a operaração usual de soma é de fato um anel. O anel grI (R) é chamado álgebra
graduada associada a I. Veja que se I = (f1 , · · · , fr ) então grI (R) '
R
[f 1 , · · ·
I
, f n ], em que
f i = fi + I 2 .
Existe uma ligação entre a álgebra de Rees de um ideal I de R e a álgebra graduada
associada de I como será mostrado no lema abaixo.
2.10 Lema. Se I é um ideal de um anel R então,
A
t−1 A
' grI (R),
em que A = R[It, t−1 ] é a álgebra de Rees extendida de I.
O próximo teorema mostra algumas equivalências sobre normalidade. Entre elas existe
uma que associa a normalidade de um ideal de arestas e a normalidade da álgebra de Rees deste
ideal, um resultado especial, pois permite que trabalhemos tanto com o ideal de arestas de um
grafo quanto com a álgebra de Rees deste ideal quando formos provar a normalidade do grafo.
Tópicos em Álgebra Comutativa
17
2.11 Teorema. Seja I um ideal de um domı́nio normal R. Então as seguintes afirmações são
equivalentes:
(a) I é um ideal normal de R;
(b) a álgebra de Rees de I é normal;
(c) o ideal IR(I) ⊂ R(I) é completo;
(d) o ideal (t−1 ) ⊂ R[It, t−1 ] é completo;
(e) a álgebra de Rees extendida de I é normal.
Demonstração.
(a) ⇒ (b) Sejam A = R(I) e z ∈ A. Note que como R é um
domı́nio normal então R[t] também é normal. Além disso o corpo de frações de A e de R[t] é o
mesmo. Logo, A ⊂ R[t] implica A ⊂ R[t] = R[t]. Portanto, podemos escrever
z=
s
X
bi ti .
i=0
É suficiente provar que bs ts ∈ A. Primeiro provaremos que bs ts ∈ A. Como z é quase inteiro
sobre A existe f ∈ A, com f 6= 0 tal que f z n ∈ A para todo n > 0. Portanto existe fm ∈ I m ,
com fm 6= 0 tal que (fm tm )(bs ts )n ∈ A para todo n > 0, ou seja, bs ts é quase inteiro sobre A.
Logo, pela proposição 4.5, bs ts é inteiro sobre A. Portanto bs ts satisfaz a equação abaixo:
(bs ts )m + a1 (bs ts )m−1 + · · · + am−1 (bs ts ) + am = 0,
em que ai =
Pri
j=0
aij tj e aij ∈ I j . Agrupando todos os termos em t de grau sm temos a
equação
bm
s
+
m
X
ai,si bm−i
= 0.
s
i=1
s
Portanto bs é inteiro sobre I e, conseqüentemente, bs ∈ I s .
(b) ⇒ (c) Seja z = b0 + b1 t + · · · + bs ts um elemento de R(I) que é inteiro sobre IR(I)
(A justificativa para escrevermos z desta forma é a mesma dada em (a) ⇒ (b)). Então z satisfaz
uma equação da forma
z m + a1 z m−1 + · · · + am−1 z + am = 0, com ai ∈ I i R(I),
Tópicos em Álgebra Comutativa
18
multiplicando por tm , obtemos que tz é inteiro sobre R(I). Portanto, tz ∈ R(I), o que prova
que z ∈ IR(I).
(c) ⇒ (d) Sejam B = R[It, t−1 ] e z ∈ B inteiro sobre t−1 B. Como a parte negativa da
expansão de Laurent de z já está em t−1 B podemos escrever
z=
s
X
bi ti ,
i=0
sendo s ≥ 0 e bi ∈ I i para todo i ≥ 0. Por indução descendente em s é suficiente provar que
bs ∈ I s+1 . Existe uma equação
z m + a1 z m−1 + · · · + am−1 z + am = 0,em que ai ∈ (t−1 )i B.
Multiplicando a equação por tm , obtemos que zt é quase inteiro sobre B. Usando o mesmo
argumento de a) ⇒ b) concluı́mos que bs ts+1 é quase inteiro sobre B e, portanto, bs ts+1 é inteiro
sobre B. Por um cálculo simples podemos provar que bs ts+1 é inteiro sobre IR(I), que prova
que bs ∈ I s+1 .
(d) ⇒ (e) Seja u = t−1 . Como R[It, u]u = R[t, u] é um domı́nio normal, então pelo
lema 4.3 temos que R[It, u] é normal.
(e) ⇒ (a) Se z ∈ I r , então z satisfaz a equação
z m + a1 z m−1 + · · · + am−1 z + am = 0, com ai ∈ I ri ,
multiplicando por trm , encontramos que ztr é inteiro sobre R[It, t−1 ]. Portanto, z ∈ I r .
¥
Exemplo 2.1. Sejam R = Q[x, y] e I = (x2 , y 2 ). Observe que I = (x2 , y 2 , xy), portanto
R(I) não é normal.
2.3
Potências Simbólicas
Sejam I um ideal de um anel R e P1 , · · · , Pr os primos mı́nimos de I. Dado n ≥ 1 a
n-ésima potência simbolica de I é definida como o ideal
I (n) = Q1 ∩ · · · ∩ Qr ,
Tópicos em Álgebra Comutativa
19
em que Qi é a componente primária de I n correspondendo a Pi .
Podemos definir potência simbólica de um ideal I de um anel R por
I (n) = S −1 I n ∩ R , ∀n ≥ 1,
em que S = R \ ∪Pi e Pi são os primos mı́nimos de I. Esta definição e a outra apresentada no
inı́cio desta secão são equivalentes, como será demonstrado na proposição abaixo.
2.12 Proposição. Sejam I um ideal de um anel R e S = R \ ∪Pi , em que Pi0 s são os primos
mı́nimos de I para todo i. Então
I (n) = S −1 I n ∩ R , ∀n ≥ 1.
Demonstração. Seja I n = Q1 ∩ · · · ∩ Qr ∩ Qr+1 ∩ · · · ∩ Qs a decomposição primária
de I n , em que Q0i s são Pi -primários para todo i ≤ r e os Q0i s são componentes primárias imersas
para todo i > r. Como Pi ∩ S = ∅ para i > r, então S −1 Qi = S −1 R [7]. Portanto,
S
−1 n
I =S
−1
(
s
\
i=1
Qi ) =
r
\
S −1 Qi .
i=1
Note que S −1 Qi ∩ R = Qi e, portanto, interceptando a igualdade acima com R, a proposição
segue.
¥
O caso de nosso interesse é os ideais de arestas e, para este caso, ainda existe uma
outra maneira de encontrar a potência simbólica, como mostra a proposição abaixo.
2.13 Proposição. Sejam I um ideal radical de um anel R e P1 , · · · , Pr os primos mı́nimos
de I. Então
(n)
I (n) = P1
∩ · · · ∩ Pr(n) .
Demonstração. Seja I n = Q1 ∩ · · · ∩ Qr ∩ Qr+1 ∩ · · · ∩ Qs a decomposição primária
de I n , em que Q0i s são Pi -primários ∀i ≤ r e os Q0i s são componentes primárias imersas para
i > r. Localizando em Pi obtemos I n RPi = Qi RPi e, como I = P1 ∩ · · · ∩ Pr , teremos:
I n RPi = (IRPi )n = (Pi RPi )n = Pin RPi .
Tópicos em Álgebra Comutativa
20
Portanto, Pin RPi = Qi RPi para i ≤ r e, fazendo a contração destes ideais, obteremos o resultado
(n)
proposto, pois Pi
= Qi , ∀i ≤ r.
¥
Observe que, se R = k[x1 , · · · , xn ] é um anel de polinômios sobre um corpo k e I um
ideal monomial então seus ideais primos são da forma P = (xi1 , · · · , xir ) com 1 ≤ i1 < · · · < ir .
Assim,
P n = ({xαi11 . . . xαirr ; |α| = |(α1 , · · · , αr )| = n})
e, portanto, P n =
T
(xαi11 , · · · , xαirr ) com |(α1 , · · · , αr )| = n + r − 1. Desta forma, P n possui um
único primo associado que é o próprio P e, conseqüentemente, P (n) = P n . Assim, se I é um
ideal monomial radical então
I (n) =
\
Pin ,
em que Pi são os primos mı́nimos de I.
2.14 Definição. Seja I um ideal de um anel R. Dizemos que I é normalmente livre de torção
se Ass( IRi ) está contido em Ass( RI ) para todo i ≥ 1 e I 6= R.
Observe que caso I seja um ideal radical então Ass( RI ) ⊂ Ass( IRi ) , ∀i ∈ N. Como o
nosso interesse está focado nos ideais de arestas e estes são ideais radicais, então I é normalmente
livre de torção se Ass( RI ) = Ass( IRi ) , ∀i ∈ N.
2.15 Proposição. Seja I um ideal radical de um anel R. Então I é normalmente livre de
torção se, e somente se, I n = I (n) , para todo n ≥ 1.
Demonstração.
⇒) Como I é um ideal radical então I é normalmente livre de
torção se
R
R
Ass( ) = Ass( i ), para todo i ∈ N,
I
I
ou seja, I n não tem primos imersos. Portanto I n = I (n) , para todo n ≥ 1.
⇐) Veja que I n = I (n) , para todo n ≥ 1 implica em
Ass(
R
R
) = Ass( i ), para todo i ∈ N.
(i)
I
I
Tópicos em Álgebra Comutativa
21
(n)
Como I é ideal radical então pela proposição 2.13 temos I (n) = P1
(n)
∩ · · · ∩ Pr , ou seja,
Ass( IR(i) ) = {P1 , · · · , Pr }. Logo
R
R
Ass( ) = Ass( i ) , ∀i ∈ N.
I
I
Portanto, I é normalmente livre de torção.
¥
2.16 Corolário. Seja R um anel de polinômios sobre um corpo k. Se I é um ideal de R
gerado por monômios livres de quadrados então I (n) é integralmente fechado, para todo n ≥ 1.
Demonstração.
Sejam J = I (n) e P1 , · · · , Ps os primos associados de I. Se f ∈ J
então existe m ∈ N tal que f m ∈ J m , ou seja, f m ∈ Pimn , para todo i. Como Pin é completo,
f ∈ pni para todo i e, portanto, f ∈ J.
¥
Capı́tulo 3
Normalidade
Sejam k um corpo e R o anel de polinômios k[x1 , · · · , xn ]. Considere álgebras definidas
por um conjunto finito G = {M1 , · · · , Mq } de monômios de R. Seja k[G] = k[M1 , · · · , Mq ] a
k-subálgebra de R gerada pelos Mi . Estamos interessados em estudar a álgebra de Rees de um
ideal I(G), no que diz respeito à normalidade, e a relação existente entre a álgebra de Rees e a
subálgebra k[G].
O foco da nossa atenção é os ideais gerados por monômios de grau 2 e livres de quadrados que podem ser definidas por grafos, como vimos no Capı́tulo 1, e o problema está em
detectar a normalidade na álgebra de Rees destes ideais e em k[G], em que G é o conjunto de
monômios geradores do ideal citado.
3.1
Normalidade de Grafos Bipartidos
O objetivo desta seção é mostrar que a álgebra de Rees do ideal de arestas de um grafo
bipartido é normal [Corolário 3.10]. Este resultado segue imediatamente como um corolário do
teorema 3.9. Por esta razão, estaremos nesta seção com nossa atenção voltada para demonstrar
esse teorema. Existem algumas demonstrações deste teorema, uma delas aparece em [4] e usa
A
a álgebra de Rees extendida A de um anel R, o isomorfismo entre uA
e grI (R) e a igualdade
T
A = Au ∩ ( AP ), em que P ∈ Ass(uA) vistas no Capı́tulo 2. Apresentaremos neste trabalho
uma outra demonstração (que pode ser encontrada em [5]) e envolve mais os conceitos de
22
Normalidade
23
combinatória.
Sejam R o anel de polinômios sobre um corpo k e I um ideal de R. Definimos como o
módulo simbólico essencial de I o R-módulo
F (I) =
M I (n)
P ,
n≥2
em que
P
n
=
P
n
I (i) I (n−i) .
Chamaremos de gerador essencial (resp. gerador mı́nimo essencial) de ordem n de F (I)
P
P
todo elemento, não nulo, f ∈ I (n) \ n (resp. f ∈ I (n) \((X)I (n) + n ) e de submódulo trivial
P
de I (n) o módulo n . Os geradores mı́nimos essenciais são os geradores não triviais de I (n) .
Seja R o anel de polinômios sobre um corpo k. Temos que, se I é um ideal de R gerado
por monômios livres de quadrados e normalmente livre de torção, isto é, I (n) = I n , então F (I)
não possui gerador mı́nimo essencial de nenhuma ordem.
A famı́lia de ideais F = {I (r) , ∀r ∈ N} é uma filtração, chamada filtração da potência
simbólica, pois
I (r+1) ⊂ I (r) e I (r) I (s) ⊂ I (r+s) .
3.1 Definição. Seja I um ideal de um anel k[x1 , · · · , xn ], em que k é um corpo. Definimos a
função ordem associada à filtração da potência simbólica de I como
VI (f ) = max{r; f ∈ I (r) }.
Assim, se f é um gerador mı́nimo essencial então f ∈
/ (x1 , · · · , xn )I (VI (f )) +
P
VI (f ) .
Podemos observar que se I ⊂ k[x1 , · · · , xn ], com k corpo, é um ideal gerado por
monômios de grau 2 e livres de quadrados e X α ∈ k[x1 , · · · , xn ] é um monômio livre de quadrados, então VI (X α ) = ht(Iα ), em que Iα = I ∩ supp(X α ) [5]. Desta forma, para provar que X α
é um gerador mı́nimo essencial de F (I), em que X α é um monômio livre de quadrados, basta
P
observar que X α ∈
/ (x1 , · · · , xn )I (ht(Iα )) + htα .
3.2 Proposição. Sejam k um corpo e I ⊂ k[x1 , · · · , xn ] o ideal de arestas de um grafo simples
G. Então, X = x1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial de F (I) se, e somente se, para qualquer
partição disjunta {x1 , · · · , xn } = M ∪ N , temos,
dim
K[N ]
k[M ]
+ dim
≥ dimk[G] + 1,
IN
IM
Normalidade
24
em que IN = I ∩ k[N ] e IM = I ∩ k[M ].
Demonstração. Considerando M ∪ N uma partição disjunta de {x1 , · · · , xn } é fácil
ver que IM e IN são, respectivamente, os ideais de aresta dos subgrafos induzidos por M e N .
Denotaremos por X M e X N o produto dos elementos de M e N , respectivamente.
Temos que ht(I) = VI (X), ht(IM ) = VI (X M ), ht(IN ) = VI (X N ) e naturalmente
VI (X) ≥ VI (X M ) + VI (X N ).
Suponha que
dim
K[N ]
k[M ]
+ dim
≤ dimk[G] + 1.
IN
IM
A desigualdade acima equivale a VI (X) − 1 < VI (X M ) + VI (X N ). Como VI (X) ≥ VI (X M ) +
VI (X N )
VI (X) = VI (X M ) + VI (X N ).
Caso VI (X M ) > 0 e VI (X N ) > 0, então, pela igualdade acima, isto equivale a X ∈
P
VI (X) .
Se VI (X M ) = 0, então M é um conjunto de vértices não adjacentes e isto é equivalente a
X ∈ (supp(X M ))I (VI (X)) . Portanto,
dim
X
K[N ]
k[M ]
.
+ dim
≤ dimk[G] + 1 ⇔ X ∈ (x1 , · · · , xn )I (VI (X)) +
IN
IM
VI (X)
Logo, pela definição, temos:
dim
K[N ]
k[M ]
+ dim
≤ dimk[G] + 1 ⇔ X não é um gerador mı́nimo essencial.
IN
IM
¥
Se G é um grafo bipartido, então pela definição, existe uma partição disjunta do conjunto de vértices de G, digamos V1 e V2 , tal que toda aresta de G une V1 a V2 , ou seja, V1 e V2
é uma cobertura de G. Veja que ou #V1 ≤
n
2
ou #V2 ≤ n2 , em que n é o número de vértices de
G. Desta forma, a altura de um primo mı́nimo do ideal de arestas I de G, que corresponde ao
número de elementos de uma cobertura mı́nima de G, é menor ou igual a n2 , isto é,
ht I ≤
n
.
2
Mais ainda, se n for um número par então ht I ≤ n2 , porém se n for um número ı́mpar então
ht I ≤
n−1
.
2
Normalidade
25
3.3 Corolário. Seja o grafo G um ciclo ı́mpar com vértices em V = {x1 , · · · , x2r−1 }, r ≥ 2
que não tem subciclos próprios. Então, x1 . . . x2r−1 é um gerador mı́nimo essencial.
Demonstração. Seja I o ideal de arestas de G. Então, htI = r, e dim(k[G]) = r − 1.
Considere M e N uma partição disjunta não trivial de V com o número de elementos de M
ı́mpar. Como G é um ciclo de ordem ı́mpar sem subciclos próprios, qualquer subgrafo de G é
uma árvore ou uma floresta e, portanto, os subgrafos de G induzidos por M e N , e denotados
por GM e GN , são bipartidos. Logo, 2dim(k[GM ]) ≥ #M + 1 e 2dim(k[GN ]) ≥ #N . Daı́,
2(dim(k[GM ]) + dim(k[GN ])) ≥ #M + #N + 1 = 2r − 1 + 1 = 2r = 2(dim(k[G]) + 1).
Logo, pela proposição acima x1 . . . x2r−1 é um gerador mı́nimo essencial.
¥
Este corolário nos permite observar que, se G é um ciclo de ordem ı́mpar, então G
possui um gerador mı́nimo essencial, isto é, o ideal de arestas de G não é normalmente livre de
torção. Esta observação mostra que estamos no caminho certo para demonstrar que o ideal de
arestas de um grafo G é normalmente livre de torção se, e somente se, G é um grafo bipartido,
pois um ciclo de ordem ı́mpar não é um grafo bipartido.
3.4 Definição. Seja x um vértice do grafo G. A vizinhança de x, denotado por Γ(x), é o
subconjunto de vértices de G que são adjacentes a x.
Algebricamente, a vizinhança é equivalente ao conjunto
Γ(x) = {xi ; xi ∈ Annk[G] (x)}.
3.5 Proposição. Sejam G um grafo simples com vértices V = {y, x1 , · · · xn }, G0 = G − y
o subgrafo induzido por {x1 , · · · , xn } e I, J seus respectivos ideais de arestas. Se nenhuma
cobertura mı́nima de G contém Γ(y) então:
1. ht(I) = ht(J) + 1
2. Se x1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial de F(J) então yx1 . . . xn é um gerador mı́nimo
essencial de F(I).
Normalidade
Demonstração.
26
(1) Note que I = (J, yxi1 , · · · , yxir ), em que Γ(y) = {xi1 , · · · , xir }
e, portanto, htI ≤ htJ + 1. Por outro lado, seja P um primo mı́nimo de I tal que htI = htP .
Então, P contém um primo mı́nimo Q ⊂ k[x1 , · · · , xn ] de J. Como o conjunto de cobertura
mı́nima de G0 não contém Γ(y), algum xij j 6= 1 não pertence a P e, portanto, y ∈ P . Assim,
(Q, y) ⊂ P , ou seja, htP ≥ htQ + 1 ≥ htJ + 1. Logo, htI = htJ + 1.
(2) Note que J (r) ⊂ I (r) , para todo r ≥ 0. Mais ainda, I (r) ∩ k[x1 , · · · , xn ] = J (r) .
Suponha que x1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial de F(J). Então, necessariamente, x1 . . . xn
é essencial no grau simbólico h = htJ de J. Desta forma, se yx1 . . . xn é um gerador mı́nimo
essencial de F(I), então ele é essencial no grau simbólico h + 1 de I. Portanto, se yx1 . . . xn
não é um gerador mı́nimo essencial de F(I), então depois de uma rearrumação das variáveis,
se necessário, podemos assumir que yx1 . . . xn = x1 . . . xt yxt+1 . . . xn , em que x1 . . . xt y ∈ I (s) , e
xt+1 . . . xn ∈ I (h+1−s) , s ≤ h. Assim, se s = 1, então xt+1 . . . xn ∈ I (h) e portanto, x1 . . . xn ∈
(x1 , · · · , xt )J (h) , contradizendo o fato que x1 . . . xn é mı́nimo. Se s > 1, então x1 . . . xt y/y ∈
I (s−1) e portanto x1 . . . xn ∈ I (s−1) I (h−s+1) contradizendo a hipótese de x1 . . . xn ser essencial.
¥
Todos os resultados vistos até aqui que tratam sobre geradores mı́nimos essenciais
estão relacionados com monômios livres de quadrados. A proposição a seguir, permite reduzir
a verificação de que monômio é, ou não, um gerador mı́nimo essencial através da verificação
para um monômio livre de quadrados. De fato, isso é possı́vel de ser feito aplicando, sucessivas
vezes, a seguinte estratégia: seja I = I(G) ⊂ k[x1 , · · · , xn ] o ideal de arestas de um grafo com
n vértices. Dado o monômio x21 x2 · · · xn , considere o grafo G0 obtido de G acrescentando-se
um novo vértice y com vizinhança igual a de x1 . Com esta construção, o monômio yx1 . . . xn
é essencial (com respeito a G’) se, e somente se, x21 · · · xn é essencial. Mais a frente estaremos
fazendo este mesmo processo de forma mais geral, isto é, para um monômio xα qualquer. Este
procedimento será chamado método de polarização.
3.6 Proposição. Seja G um grafo simples com vértices V = {y, x1 , · · · , xn } tal que Γ(y) =
Normalidade
27
Γ(x1 ). Se yx1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial então x1 . . . xn é um gerador mı́nimo
essencial.
Demonstração.
Sejam I ⊂ k[y, x1 , · · · , xn ] o ideal de arestas de G, h = htI =
VI (y, x1 . . . xn ) e s = dim k[y,x1I,··· ,xn ] . Como yx1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial
ht(I ∩ k[x1 , · · · , xn ]) = VI (x1 . . . xn ) = h − 1 e dim
k[x1 , · · · , xn ]
= s.
I ∩ k[x1 , · · · , xn ]
Suponha que x1 . . . xn não é um gerador mı́nimo essencial e seja M ∪ N = {x1 , · · · , xn } uma
partição não trivial de V , com x1 ∈ N e o grau de X N o maior possı́vel, em que X N é o
produto de todos os elementos de N . Então, x1 . . . xn = X N X M , com VI (X N ) + VI (X M ) =
k[M ]
k[N ]
h − 1, ou ainda, dim I∩k[M
+ dim I∩k[N
= s. Mas, yx1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial e,
]
]
pela proposição 3.2,
dim
k[y, N ]
k[M ]
+ dim
≥ s + 1,
I ∩ k[M ]
I ∩ k[y, N ]
ou seja,
dim
k[y, N ]
k[N ]
= dim
+ 1.
I ∩ k[y, N ]
I ∩ k[N ]
Portanto, Γ(y) ∩ k[N ] = Γ(x1 ) ∩ k[N ] é um subconjunto dos geradores de todos os primos
mı́nimos de I ∩ k[N ] de altura mı́nima.
Suponha que xi ∈ Γ(y) ∩ k[M ] para algum i ∈ {1, · · · , n}, então ou VI (
ou VI (
XM
)
xi
XM
)
xi
= VI (X M )
= VI (X M ) − 1. O primeiro caso implica que VI (X M xi ) = VI (X M ) + 1 e, portanto,
X
yx1 . . . xn ∈ II (h−1) , que é um absurdo. Caso VI ( xMi ) = VI (X M ) − 1, teremos VI (xi X N ) =
P
VI (X N ) + 1 e (xi X N )X M ∈ h−1 , portanto supp(xi X N ) ∪ M = {x1 , · · · , xn } é uma partição
não trivial com o grau de xi X N maior que o grau de X N , contradizendo a escolha de N .
Conseqüentemente, Γ(y) ∩ k[M ] = ∅, isto é, Γ(y) = Γ(x1 ) ⊆ N .
Como yx1 . . . xn é um gerador mı́nimo essencial, existe um primo mı́nimo P de I de
altura mı́nima tal que y , x1 ∈ P e ht(P ∩ k[x1 , · · · , xn ]) = h − 1, portanto P ∩ k[N ] é um primo
mı́nimo de I ∩ k[N ] de altura mı́nima. Assim, {y, x1 } ∪ Γ(x1 ) ⊆ P , contradizendo o fato que
primos mı́nimos de altura mı́nima corresponde a cobertura mı́nima do conjunto de vértices.
¥
Normalidade
28
A proposição abaixo é uma importante ferramenta na prova do teorema 3.9 pois prova
que se dim k[G] ≥ n2 , caso que ocorre nos grafos bipartidos, então x1 . . . xn não é um gerador
mı́nimo essencial.
3.7 Proposição. Sejam G um grafo conexo e simples com vértices V = {x1 , · · · , xn } e I(G)
P
seu ideal de arestas. Se dimK[G] ≥ n2 então x1 . . . xn ∈ h +(X)I (n) , em que h = ht(I).
Demonstração.
Podemos supor sem perda de generalidade que G é conexo. Seja
s = dimk[G] = n − h. Para cada conjunto maximal S 0 de vértices não adjacentes, seja q(S 0 ) a
cardinalidade dos subconjuntos de arestas não adjacentes MS 0 ⊆ A(G) tal que
(xi , xj ) ∈ MS 0 ⇒ xi ∈ S 0 ou xj ∈ S 0 .
Sejam q = max{q(S 0 )} e S o conjunto de vértices não adjacentes tal que q = q(S). Usaremos
as seguintes notações:
1. S = {y1 , · · · , ys } e V (G) − S = {x1 , · · · , xh }
2. MS = {(x1 , y1 ), · · · , (xq , yq )}.
Observe que como S é um conjunto máximo de vértices independentes, então V (G) \ S
P
é uma cobertura mı́nima de G. Se q = h, então x1 . . . xn ∈ I h ⊆ h +(X)I (h) . Suponha que
q < h ≤ s. Usando o fato que G é conexo podemos supor, sem perda de generalidade, que
S
x1 ∈ Γ(yq+1 , · · · , ys ) = q+1≤i≤s Γ(yi ), digamos que x1 ∈ Γ(yq+1 ).
Considere a seguinte cadeia de subconjuntos de A(G) definida recursivamente
N1 = {(x1 , y1 )} , N2 = N1 ∪ {(xi , yi ); (xi , yi ) ∈ MS e xi ∈ Γ(y1 )},
Nr = Nr−1 ∪ {(xi , yi ); (xi , yi ) ∈ MS e xi ∈ Γ(yb ) para algum yb tal que (xb , yb ) ∈ Nr−1 }.
A seqüência Ni ⊆ Nj estabiliza, fornecendo um subconjunto N ⊂ MS tal que (xi , yi ) ∈
/
N ⇒ xi ∈
/ Γ(yb ), para todo (xb , yb ) ∈ N . Seja t = #N . Reenumerando os vértices que
aparecem como aresta que estão em MS , obtemos as seguintes caracterı́sticas de N :
a. Se (xi , yi ) ∈ N , então existe um caminho x1 , y1 , xi1 , yi1 , · · · , xia , yia , xi , yi inteiramente
contido no subgrafo induzido pelos vértices de N .
Normalidade
29
b. {y1 , · · · , yt } ∩ Γ(xt+1 , · · · , xh ) = ∅.
O item a segue imediatamente da definição de N . Para provar o item b assuma que
xi ∈ Γ(yj ) para algum i ≥ t + 1 com (xj , yj ) ∈ N. Veja que, por definição de N , temos que
i > q e por a temos que yq+1 , x1 , y1 , xi1 , yi1 , · · · , xia , yia , xj é um caminho. Se
Q = {(x1 , y1 ), (xi1 , yi1 ), · · · , (xi , yi )} ⊆ N ⊂ MS ,
então o seguinte conjunto {(x1 , yq+1 ), (xi1 , y1 ), · · · , (xj , yia ), (xi , yj )}∪MS −Q é um subconjunto
de arestas não adjacentes tal que xi xj ∈ MS 0 ⇒ xi ∈ S 0 ou xj ∈ S 0 com cardinalidade q + 1, o
que contradiz a maximalidade de q. Logo b é verdade.
Considere os subgrafos G1 e G2 induzidos, respectivamente, por N e por V (G)−V (G1 ).
Como S − {y1 , · · · , yt } ⊂ V (G2 ) temos que dim(k[G2 ]) ≥ s − t. Mas, como Γ(V (G2 )) ∩
{y1 , · · · , yt } = ∅, se dim(k[G2 ]) > s − t, então existiria um subconjunto de V (G) com s + 1
vértices não adjacentes, o que contradiz o fato que dim(k[G]) = s. Portanto, dim(k[G2 ]) = s−t
e, conseqüentemente,
ht(I(G2 )) = n − 2t − (s − t) = n − s − t = h − t.
Como I(G1 ) tem um produto de t arestas, ht(I(G1 )) ≥ t, mas
ht(I(G1 )) + ht(I(G2 )) ≤ h
e, portanto, ht(I(G1 )) = t. Assim, x1 . . . xn ∈ I (t) I (h−t) .
¥
Seja I = I(G) o ideal de arestas de um grafo simples G cujo conjunto de vértices é
{x1 , · · · , xn }. Dado um monômio X α = xα1 1 . . . xαnn ∈ I, considere o anel de polinômios com
|α| = α1 + · · · + αn variáveis k[Y ] = k[y 1 , · · · , y n ], em que y i = yi1 , · · · , yiαi é uma lista de αi
variáveis. Defina o ideal J ⊂ k[Y ] gerado por monômios livres de quadrados por:
J = {yit yjs ; xi xj ∈ I}.
Claramente, J é o ideal de arestas do grafo G∗α obtido de G adicionando, para cada vértice xi ,
αi − 1 novos vértices com a mesma vizinhança de xi . Este pocesso é chamado de método de
polarização de G.
Normalidade
30
O gerador mı́nimo essencial é invariante pelo método de polarização, isto é, X α é
Q
um gerador mı́nimo essencial de F(I) se, e somente se, Y ∗ =
yiti com i ∈ {1, · · · , n} e
ti ∈ {1, · · · , αi } é um gerador mı́nimo essencial de F(J) [5].
3.8 Proposição. Seja G um grafo simples com ideal de arestas I. Se um monômio X α é
um gerador mı́nimo essencial de F (I) então X β é um gerador mı́nimo essencial para todo X β
tal que X β |X α e supp(X α ) = supp(X β ). Em particular, o produto de todos os elementos de
supp(X α ) também é um gerador mı́nimo essencial.
Demonstração. Basta usar a proposição 3.6 sucesivamente em G∗α .
¥
3.9 Teorema. Sejam G um grafo simples e I(G) o seu ideal de arestas. Então, G é bipartido
se, e somente se, I(G) é normalmente livre de torção.
Demonstração. Suponha que o grafo G é bipartido e I(G) não é normalmente livre
de torção, isto é, existe um monômio X α tal que X α é um gerador mı́nimo essencial. Pela
proposição 3.8, o produto de todos os elementos de supp(X α ) também é um gerador mı́nimo
essencial. Seja G0 o subgrafo induzido pelos elementos do supp(X α ). Observe que G0 também
é bipartido e o produto de seus elementos também é um gerador mı́nimo essencial. Podemos,
então, assumir que o produto de todos os vértices de G é um gerador mı́nimo essencial. Como
G é bipartido, então dim(k[G]) ≥
n
2
e, pela proposição 3.7, o produto de todos os vértices de
G não é um gerador mı́nimo essencial, absurdo. Portanto, I é normalmente livre de torção.
Suponha agora que I é normalmente livre de torção. Então, G não possui elemento
essencial de nenhuma ordem. Suponha que G não é bipartido, ou seja, G possui cliclos de
ordem ı́mpar e, então, existe um ciclo que não tem subciclos próprios. Pelo corolário 3.3, G
possui um gerador mı́nimo essencial de alguma ordem, absurdo. Logo G é bipartido.
¥
Normalidade
31
3.10 Corolário. Se G é um grafo bipartido, então G é normal.
Demonstração.
Como G é um grafo bipartido, o seu ideal de arestas I é normal-
mente livre de torção pelo teorema 3.9, ou seja, I n = I (n) para todo n ∈ N. Pelo corolário 2.16,
temos que I (n) é integralmente fechado. Logo, I n = I n para todo n ≥ 1. Portanto, G é normal.
¥
3.2
Outras Álgebras de Rees Normais
Nesta seção, estaremos interessados em encontrar alguns grafos cuja álgebra de Rees
do seus ideais de arestas são normais. Devido à proposição 2.11 para provar que a álgebra de
Rees do ideal de arestas I é normal, provaremos que I é normal. Portanto pelo último corolário
da seção anterior temos que a álgebra de Rees de ideais de arestas de grafos bipartidos são
normais. Vejamos agora outros grafos.
3.11 Lema. Sejam G um ciclo de ordem ı́mpar e I(G) o seu ideal de arestas. Se x1 e xl são
vértices de G, então x1 xl I s ∩ (I s+1 : x1 ) ⊂ I s+1 .
Demonstração. Faremos indução em s. Para s = 0 a verificação é simples. Suponha
que a afirmação seja válida para inteiros menores que s e tome y 6= 0 um monômio tal que
y∈
x1 xl I s ∩ (I s+1 : x1 )
.
I s+1
Existem monômios livres de quadrados de grau 2,
y1 , · · · , ys e f1 , · · · , fs+1
em I tais que y = y1 . . . ys x1 xl y e x1 y = f1 . . . fs+1 h para algum monômio h e y. Por hipótese
de indução, podemos assumir que {y1 , · · · , ys } ∩ {f1 , · · · , fs+1 } = ∅.
Vamos mostrar, por indução, que dado 1 ≤ k ≤ s + 1 existem vértices diferentes
x1 , · · · , x2k de G tal que yi = x2i x2i+1 para i ≤ k − 1, fi = x2i−1 x2i para i ≤ k, e
yk . . . ys x1 xl y = x2k fk+1 . . . fs+1 h.
Normalidade
32
Se k = 1, temos a equação x1 y = f1 . . . fs+1 h e usando y ∈
/ I s+1 , obtemos fi = x1 x2
para algum i. Reordenando os fi0 s, teremos f1 = x1 x2 e, conseqüentemente,
y = x2 f2 . . . fs+1 h.
Assuma que a afirmação é verdadeira para k e considere a igualdade
yk . . . ys x1 xl y = x2k fk+1 . . . fs+1 h.
Observe que, se x2k = xl , então y1 . . . yk−1 x1 xl ∈ I k e, portanto, y ∈ I s+1 . Podemos assumir
que x1 6= x2k . Se x2k divide y, então a igualdade
y1 . . . yk−1 x1 x2k = f1 . . . fk
implica que y ∈ I s+1 . Portanto, x2k divide yi para algum k ≤ i ≤ s e, reordenando os yi0 s,
temos yk = x2k z para algum vértice z. Note que z 6= x1 , pois G é um ciclo ı́mpar. Portanto,
z = x2k+1 satisfaz z ∈
/ {x1 , · · · , x2k } e
x2k+1 yk+1 . . . ys x1 xl y = fk+1 . . . fs+1 h.
Como y ∈
/ I s+1 a última equação prova que x2k+1 divide fi para algum i, digamos fk+1 = x2k+1 w
para algum vértice w. Note que w ∈
/ {x1 , · · · , x2k+1 } e a indução em k está completa. Para
k = s + 1, a equação yk . . . ys x1 xl y = x2k fk+1 . . . fs+1 h se reduz a y = x2s+2 h.
Para completar a indução em s note que se k = s + 1 então y1 . . . yk−1 x1 x2k = f1 . . . fk
junto com o argumento visto acima resulta em y ∈ I s+1 , que contradiz a escolha inicial de y.
¥
3.12 Teorema. Se o grafo G é um ciclo ı́mpar então G é normal.
Demonstração.
Sejam V = {x1 , · · · , xn } os vértices de G, R = k[x1 , · · · , xn ] um
anel de polinômios sobre um corpo k e m = (x1 , · · · , xn ) o ideal irrelevante de R. Vamos provar
por indução em n que o ideal I n é integralmente fechado. Para k = 0, temos que R = I 0 é um
domı́nio normal. Suponha que para r < n tenhamos I r = I r . Como estamos trabalhando com
ideais monomiais, temos que
I n = ({z ∈ R ; z k ∈ I kn para algum k }).
Normalidade
33
In
In
diferente de zero. Note que a localização de I n em qualquer primo associado de
Considere
In
In
diferente de m é uma floresta. Portanto, usando que a álgebra de Rees de uma árvore é
normal, obtemos que m é um primo associado de
In
.
In
Seja y ∈
In
In
um monômio que é conduzido
por m a I n . Por hipóteses de indução, temos
y ∈ I n ⊂ I n−1 = I n−1 .
Por fim, observamos que y tem grau pelo menos 2n e, portanto, y ∈ x1 xi I n−1 ∩ (I n : x1 ), que é
impossı́vel pelo lema 3.11.
¥
3.13 Proposição. Se G é um grafo completo com n vértices, então G é normal.
Demonstração.
Sejam V = {x1 , · · · , xn } os vértices de G, R = k[x1 , · · · , xn ] um
anel de polinômios sobre um corpo k e m = (x1 , · · · , xn ) o ideal irrelevante de R. Vamos provar
por indução em n que o ideal I n é integralmente fechado. Suponha que para r < n tenhamos
I r = I r . Seja y ∈
In
In
um monômio que é conduzido por m a I n .
Note que R(I) ⊂ R(m2 ) e, como R(m2 ) é integralmente fechado, todo monômio em
I n tem grau pelo menos 2n. Por hipótese de indução, temos
y ∈ I n ⊂ I n−1 = I n−1 ,
portanto podemos escrever
y = y1 . . . yn−1 u,
em que u é um monômio de grau pelo menos 2 e yi ∈ I. Se u não é potência de variáveis, então
u ∈ I e, conseqüentemente, y ∈ I n . Suponha que u = xr1 , r ≥ 2. Caso x1 não ocorra em
algum dos monômios yi , digamos yl , então yl x21 ∈ I 2 , portanto a proposição segue novamente.
Suponha, então, que x1 ocorre em cada yi , ou seja,
y = z1 . . . zn−1 x1r+n−1 ,
com zi ∈ {x1 , · · · , xn }. Logo x1 y ∈
/ I n e isto contradiz a escolha de y.
¥
Normalidade
34
Neste ponto, surge uma questão: será que existe um grafo cuja álgebra de Rees de seu
ideal de Arestas não é norma? Esta questão poderá ser respondida na próxima seção.
3.3
Transferência de Normalidade
Nesta seção estudaremos, por fim, a normalidade da subálgebra k[G] = k[f1 , · · · , fd ],
em que k é um corpo, G é um grafo e f1 , · · · , fd são os monômios associados às arestas do grafo
G. No artigo [4], em que estamos baseando esta dissertação, está provado o seguinte teorema:
Teorema [7.1]: Seja G um grafo. Se a álgebra de Rees R(I(G)) é normal, então K[G] também
é normal.
Porém, apresentaremos uma versão mais geral do teorema descrito acima. Mais precisamente, provaremos no teorema 3.16 que se G é um grafo conexo, então a álgebra de Rees
R(I) é normal se, e somente se, R[G] é normal. Esse teorema é demasiadamente importante
pois através dele poderemos obter grafos cuja álgebra de Rees de seus ideais de arestas não são
normal.
Como na secão anterior já estudamos algumas álgebras de Rees normais, podemos,
imediatamente, obter algumas subálgebras k[G] normais. Como de costume, veremos algumas
ferramentas que nos auxiliarão na prova do teorema central.
Seja G = (V (G), A(G)) um grafo, em que V (G) = {x1 , · · · , xn } um grafo. Definimos
o cone de G por C(G) = (V, A), em que V = V (G) ∪ {t} com t um novo vértice e A =
A(G) ∪ {(x1 , t), · · · , (xn , t)}.
A proposição que segue será usada na demonstração do teorema 3.16. A prova desse
resultado não será apresentada neste trabalho e poderá ser encontrada em [VER REFERENCIA].
3.14 Proposição. Sejam G um grafo e C(G) o cone de G. Então, existe um isomorfismo
R(I(G)) ' k[C(G)].
3.15 Definição. Um bow tie de um grafo G é um subgrafo induzido w de G que consiste de
dois ciclos de ordem ı́mpar que não possui arestas em comum, Z1 = {z0 , z1 , · · · , zr = z0 } e Z2 =
Normalidade
35
{zs , zs+1 , · · · , zt = zs }, e um caminho ligando-os, P = {zr , · · · , zs }. Neste caso, denotaremos
Mw = z1 . . . zr zs+1 . . . zt .
Observe que se w é um bow tie de um grafo G, então Mw é inteiro em k[G]. De fato,
Mw é raiz do polinômio f (x) = x2 − Mw2 . (Veja que Mw2 ∈ k[G], pois tem grau par e é produto
de arestas por um elelmento de k.) Mais ainda, em [6] é provado que o fecho inteiro k[G] de
k[G] é uma k-subálgebra monomial gerada pelo conjunto
B = {f1 , · · · fq } ∪ {Mw ; w é um bow tie },
em que f1 , · · · , fq são os monômios definidos pelas arestas de G. Assim, para verificar que k[G]
é um domı́nio normal, basta observar se Mw ∈ k[G] para todo w bow tie, o que torna simples
verificar a normalidade de k[G].
3.16 Teorema. Sejam G um grafo conexo simples e I seu ideal de arestas. Então a álgebra
de Rees R(I) é normal se, e somente se, a subálgebra k[G] é normal.
Demonstração.
⇒) Suponha que R(I(G)) é um domı́nio normal. Denote por m
o ideal maximal irrelevante de k[x1 , · · · , xn ] e por A o anel k[tf1 , · · · , tfq ], em que I(G) =
(f1 , · · · , fq ). Observe que existe a decomposição de A-módulos
R(I(G)) = k[x1 , · · · , xn , tf1 , · · · , tfq ] = k[tf1 , · · · , tfq ] ⊕ mR(I(G)).
Como A ' k[G] e R(I(G)) é normal, k[G] é normal.
⇐) Seja C(G) o cone do grafo G. Pela proposição 3.14, existe um isomorfismo
R(I(G)) ' k[C(G)].
Assim, basta mostrar que a álgebra k[C(G)] é normal, isto é, que para todo w bow tie de
C(G) o elemento Mw ∈ k[C(G)]. Seja w um bow tie de C(G). Para concluir a demonstração
separaremos em alguns casos.
1. Se t ∈
/ Z1 ∪ Z2 ∪ P , então w é um bow tie de G e, portanto, Mw ∈ k[G] = k[G] ⊂ k[C(G)].
2. Suponha que t ∈ Z1 ∪ Z2 , digamos t ∈ Z1 . Se Z1 ∩ Z2 6= ∅, então Mw ∈ k[C(G)]. Caso
Z1 ∩ Z2 = ∅ então Z1 e Z2 é unido pela aresta (t, z), em que z é um vértice de Z2 e,
portanto, Mw ∈ k[C(G)].
Normalidade
36
3. Se t ∈
/ Z1 ∪ Z2 e t ∈ P , como G é conexo, existe um caminho em G que une Z1 a Z2 .
Portanto, Mw = Mw1 para algum bow tie w1 de G e Mw ∈ k[G] = k[G] ⊂ k[C(G)].
¥
Vejamos agora um exemplo de um grafo cuja álgebra de Rees de seu ideal de arestas
não é um domı́nio normal.
Exemplo 3.1. Considere G um grafo cujos vértices é o conjunto V = {a, b, c, x, y, z, t}
e as arestas é o conjunto A = {(x, y), (y, z), (z, x), (x, t), (t, a), (a, b), (b, c), (c, a)}. Denote por
R = k[a, b, c, x, y, z, t] o anel de polinômios em um corpo k, I o ideal de aresta do grafo G e
M = abcxyz. Observe que M ∈
/ k[G], pois todo elemento em k[G] é produto de arestas de G
por um elemento em k, o que não ocorre com M . Portanto, k[G] não é um domı́nio normal,
ou seja, a álgebra de Rees de I não é normal.
Através deste exemplo obtemos uma classe de grafos cujas álgebras de Rees de seus
ideais de arestas não são normais. Outros artigos sobres normalidade das álgebras de Rees de
ideais de arestas foram escritos, e em um destes foi obtido uma condição necessária e suficiente
para que um grafo conexo possua a álgebra de Rees de seu ideal de arestas normal. Daremos
esta condição como estimulo para futuros estudos, antes vejamos uma definição.
3.17 Definição. Seja G um grafo. Uma Configuração de Hochster de ordem t (ou Hconfiguração) em G consiste de dois ciclos ı́mpares C2r+1 e C2s+1 tais que C2r+1 ∩ C2s+1 = ∅ e
t = r + s + 1.
Então a condição necessária e suficiente para que a álgebra de Rees de um ideal de
arestas de um grafo conexo seja normal é que este grafo não possua H-configuração.
Capı́tulo 4
Apêndice
4.1
Integralidade
4.1 Definição. Sejam A um domı́nio normal e k o seu corpo de frações. O fecho inteiro de
A é o conjunto de todos os elementos f 0 s ∈ k que satisfazem a equação abaixo:
f n + a1 f n−1 + · · · + an = 0, com ai ∈ A e n ≥ 1.
Caso, A = A dizemos que A é integralmente fechado ou normal.
Se A não é um domı́nio, dizemos que A é normal se AP é normal, para todo P ∈ specA.
Veja que, se R é um domı́nio e x um elemento transcendente sobre R, então R é normal
se, e somente se, R[x] é normal. Isso nos permite concluir que, se R é um anel de polinômios
sobre um corpo k, então R é um domı́nio normal. Outro fato interessante sobre a normalidade
é que ela é invariante por um sistema multiplicativo fechado como mostraremos nos resultados
abaixo.
4.2 Proposição. Se R é um domı́nio de integridade e S é um sistema multiplicativo fechado
de R, então
S −1 (R) = S −1 (R).
Demonstração.
Provaremos primeiro que S −1 (R) ⊂ S −1 (R). Seja z ∈ S −1 (R).
37
Apêndice
38
Existe s ∈ S tal que s.z é inteiro sobre R. Portanto, existem a1 , · · · , an ∈ R tais que
(sz)n + a1 (sz)n−1 + · · · + an = 0.
Dividindo a equação por sn temos:
zn +
a1 n−1
an
z
+ · · · + n = 0,
s
s
sendo ai ∈ R para todo i ∈ {1, · · · , n}. Como
ai
si
∈ S −1 (R), z ∈ S −1 (R).
Reciprocamente, seja z ∈ S −1 (R), em que z =
p
q
com p ∈ R0 , em que R0 é o corpo de
frações de R. Logo, z satisfaz a equação
z n + a1 z n−1 + · · · + an = 0,
com ai ∈ S −1 (R), para todo i = 1, · · · , n. Desta forma, podemos escrever a equação acima
como:
pm b1 pm−1
bm
+
+ ··· +
= 0,
m
m−1
q
c1 q
cm
de modo que bi ∈ R , ci ∈ S e i ∈ {1, · · · , n}. Tome s = c1 . . . cm .q m . Multiplicando a equação
por s obteremos:
d1 .pm + b1 .d2 .pm−1 + · · · + bm .dm+1 = 0 com bi ∈ R e di ∈ S.
Ainda multiplicando a equação por dm−1
teremos
1
(d1 .p)m + b1 .d2 .(d1 .p)m−1 + · · · + bm .dm−1 .dm−1
= 0.
1
Logo d1 .p ∈ R e, portanto,
d1 .p
d1 .q
∈ S −1 (R).
¥
4.3 Corolário. Se R é um domı́nio normal e S é um sistema multiplicativo fechado, então
S −1 (R) é um domı́nio normal.
A demonstração segue diretamente da proposição anterior.
4.4 Definição. Sejam R um domı́nio de integridade e k o seu corpo de frações. Um elemento
x ∈ k é quase inteiro sobre R se existe a ∈ R, com a 6= 0, tal que axn ∈ R para todo n ≥ 0.
Apêndice
39
Obviamente se x é inteiro sobre R então x é quase inteiro sobre R. Basta tomar a = dn ,
em que x = dc . A recı́proca também é verdadeira, como indica a proposição seguinte.
4.5 Proposição. Sejam R um domı́nio de integridade e k o seu corpo de frações. Um elemento
x ∈ k é inteiro sobre R se, e somente se, x é quase inteiro sobre R.
Observe que mostrar que um elemento x, pertencente ao corpo de frações de um
domı́nio R, é quase-inteiro sobre R é uma tarefa mais fácil que mostrar que x é inteiro sobre R. A proposição demonstrada acima nos dá a condição para que possamos utilizar desta
facilidade para concluir que o elemento x é inteiro sobre R.
Demonstração.
A condição necessária já foi indicada acima. Para mostrar a
condição suficiente assuma a ∈ R com a 6= 0 tal que axn ∈ R para todo n ≥ 0. Como a−1 R é
um R-módulo noetheriano e R[x] ⊂ a−1 R, temos que R[x] é um R-módulo finitamente gerado.
Afirmação: R[x] é inteiro sobre R.
De fato, seja f ∈ R[x]. Existem α1 , · · · , αn ∈ R[x] tal que R[x] = Rα1 + · · · + Rαn . Podemos
escrever
f αi =
n
X
mij αj ,
j=1
em que mij ∈ R. Sejam M = (mij ), N = M − f I e α = (α1 , · · · , αn ), em que I é a matriz
identidade. Como N αt = 0 podemos usar a fórmula N adj (N ) = det (N )I para concluir que
αi det (N ) ∈ Ann(R[x]) para todo i.
Como R[x] é um domı́nio de integridade, então det (N ) = 0. Finalmente note que
g(y) = (−1)n det (M − yI)
é um polinômio mônico em R[y], em que y é transcendente sobre R, e g(f ) = 0.
Como R é um subanel de R[x], x é inteiro sobre R.
¥
Referências Bibliográficas
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