Apostila de Matemática

OPERADOR DE COMPUTADOR
MATEMÁTICA
CAPITULO 1 - NÚMEROS NATURAIS
Os números 0, 1, 2, 3, 4, 5...; são chamados naturais, e a sequência dos
números naturais é infinita.
Assim como você, todas as pessoas usam números; por exemplo:
● Para indicar quantidade: Esta turma tem 21 alunas, que estão fazendo o curso
profissionalizante para ingressar no mercado de trabalho.
● Para encontrar a página de um livro ou para saber onde colar uma figurinha
num álbum;
● Como códigos: Em placas de automóveis, em números telefônicos ou em
endereços – para enviar uma correspondência, é preciso indicar o nome da rua, o
número da casa e o CEP (código de endereçamento postal). Muitas vezes, os
números expressam o resultado de uma medida; por exemplo, o percurso de
determinada maratona tem 45 quilômetros.
Todo número natural tem um sucessor. Exemplo:
1) O sucessor de
é
2) O sucessor de
.
é
.
De modo geral, o sucessor de um número natural é obtido adicionando uma
unidade a esse número.
Com exceção do zero que é o menor número natural, todo número natural
tem um antecessor. Exemplo:
1) O antecessor de
2) O antecessor de
é
é
.
1.1 ESCRITA E LEITURA DOS NÚMEROS NATURAIS
A leitura e a escrita por extenso de números fica mais fácil se separamos os
algarismos de 3 em 3, da direita para a esquerda. Como mostra o quadro abaixo.
10ª
9ª
8ª
7ª
6ª
5ª
4ª
3ª
2ª
1ª
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Ordem
Unidade
Unidade
Unidade
Unidade
Unidade
Unidade
Unidade
Centenas
Dezenas
de
de
de
de
de
de
de
de
de
Unidades
bilhão
milhão
milhão
milhão
milhar
milhar
milhar
unidades
unidades
simples
simples
simples
Exemplo:
Pelo quadro de ordens que apresentamos, observe como se escreve o número
natural 3246:
U.M.
3
C
2
D
4
U
6
três unidades de milhar mais duas centenas mais quatro dezenas mais
seis unidades, ou:
ou ainda;
Cada grupo de três algarismos constitui uma classe e cada classe tem um
nome, como se pode observar no quadro seguinte:
Classe dos bilhões
Dezenas Unidades
Classe dos milhões
Centenas Dezenas Unidades
Classe dos milhares
Centenas Dezenas
Unidades
de
de
de
de
de
de
de
de
bilhão
bilhão
milhão
milhão
milhão
milhar
milhar
milhar
7
1
0
4
5
0
0
1
0
4
0
6
2
8
2
3
5
Classe das unidades simples
Centenas
Dezenas
Unidades
simples
6
0
6
2
5
2
4
5
4
5
0
4
Considerando os números que estão no quadro:
⏟ ⏟
600 + 50 + 4 (seiscentos e cinquenta e quatro)
40 + 1 (quarenta e um) mil
Onde se lê: quarenta e um mil, seiscentos e cinquenta e quatro.
6 283 104 640
600 + 40 (seiscentos e quarenta)
100 + 4 (cento e quatro) mil
200 + 80 + 3 (duzentos e oitenta e três) milhões
6 (seis) bilhões
Onde se lê: seis bilhões, duzentos e oitenta e três milhões, cento e quatro mil,
seiscentos e quarenta.
EXERCICIO
1) Escreva o número formado por:
a) Nove centenas mais seis dezenas mais oito unidades.
b) Três unidades de milhar mais quatro centenas mais sete dezenas mais três
unidades.
c) Quatro unidades de milhar mais cinco dezenas.
d) Cinco dezenas de milhar mais duas unidades de milhar mais sete centenas
mais três dezenas mais uma unidade.
e) Duas unidades de milhão mais cinco centenas de milhar.
2) Usando os algarismos 5, 2 e 7 sem repeti-los, escreva todos os números
formados por esses três algarismos.
3) Maria ao preencher um cheque no valor de R$ 2 106 565,00 deverá escrever
por extenso. Nessa condição ajude a Maria a escrever por extenso a quantia do
cheque.
4) Escreva por extenso os seguintes números.
a) 318 064
b) 16 205 943
c) 265 144
d) 92 619 213 001
CAPITULO 2 – NÚMEROS INTEIROS
INTRODUÇÃO: Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de
subtração nem sempre é possível.
Exemplos:
a) 5 – 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 – 9 = 0 (possível: 0 é um número natural)
c) 3 – 5 = ? (impossível nos números naturais).
Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números
inteiros relativos, -1, -2, -3,...
lê-se: menos um ou 1 negativo;
lê-se: menos dois ou dois negativo;
lê-se: menos três ou três negativo;
Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o
conjunto dos números inteiros, que será representado por .
= {...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}
Obs.: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +.
Exemplo:
a) +7 = 7
b) +2 = 2
c) +13 = 13
d) +45 = 45
Sendo que o zero não é positivo nem negativo
EXERCICIOS
1) Observe os números e diga:
-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72
a) Quais os números inteiros negativos?
b) Quais são os números inteiros positivos?
2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?
3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:
a) -8
b) +6
c) -10
d) 12
e) +75
f) -100
4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?
a) ( ) +4 = 4
b) ( ) -6 = 6
c) ( ) -8 = 8
d) ( ) 54 = +54
e) ( ) 93 = -93
5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números
positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a
seguinte situação com números inteiros relativos:
a) 5° acima de zero
b) 3° abaixo de zero
c) 9°C abaixo de zero
d) 15° acima de zero
2.1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
Vamos traçar uma reta e marcar o ponto zero. À direta do ponto zero, com
uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos
números positivos e à esquerda de zero, com a mesma unidade, assinalaremos
os pontos que correspondem aos números negativos.
...
-4
-3
-2 -1
0
1
2
EXERCÍCIOS
1) Escreva os números inteiros:
a) compreendidos entre 1 e 7
3
4
5
4
...
b) compreendidos entre -3 e 3
c) compreendidos entre -4 e 2
d) compreendidos entre -2 e 4
e) compreendidos entre -5 e -1
f) compreendidos entre -6 e 0
2) Qual é o número maior ?
a) +1 ou -10 (R:+1)
b) +30 ou 0 (R: +30)
c) -20 ou 0 ( R: 0)
d) +10 ou -10 (R: +10)
e) -20 ou -10 (R: -10)
f) +20 ou -30 (R: +20)
g) -50 ou +50 (R:+50)
h) -30 ou -15 (R:-15)
3) compare os seguintes pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor
ou igual.
a) +2 e + 3
b) 0 e -5
c) -2 e 0
d) -2 e -4
e) -4 e -3
f) 5 e -5
g) 40 e +40
h) -30 e -10
i) 100 e -200
j) -450 e 300
l) -500 e 400
3) coloque os números em ordem crescente.
a) -9,-3,-7,+1,0 (R: -9,-7,-3,0,1)
b) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
c) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
d) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
e) +60,-21,-34,-105,-90 ( R: -105,-90,-34,-21, +60)
f) -400,+620,-840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)
2.2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
2.2.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS
2.2.2 ADIÇÃO

Adição de números positivos
A soma de dois números positivos é um número positivo.
EXEMPLO:
a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9
Simplificando a maneira de escrever
a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9

Adição de números negativos.
A soma de dois números negativos é um número negativo
Exemplo:
a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9
Simplificando a maneira de escrever.
a) -2 – 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 – 2 = -9
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) +5 + 3
b) +1 + 4
c) -4 – 2
d) -3 – 1
e) +6 + 9
f) +10 + 7
g) -8 -12
h) -4 -15
i) -10 – 15
j) +5 +18
l) -31 – 18
m) +20 +40
n) -60 – 30
o) +75 +15
p) -50 -50
2) Responda:
a) Qual é o sucessor de +8?
b) Qual é o sucessor de -6?
c) Qual é o sucessor de 0?
d) Qual é o antecessor de +8?
e) Qual é o antecessor de -6?
f) Qual é o antecessor de 0?

Adição de números com sinais diferentes
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os
valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.
Exemplos:
a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7
Simplificando a maneira de escrever
a) +6 – 1 = +5
b) +2 – 5 = -3
c) -10 + 3 = -7
Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor
absoluto.
Observação:
Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.
Exemplo:
a) (+3) + (-3) = 0
b) (-8) + (+8) = 0
Simplificando a maneira de escrever
a) +3 – 3 = 0
b) -8 + 8 = 0
c) +1 – 1 = 0

Um dos números dados é zero.
Quando um dos números é zero, a soma é igual ao outro número.
Exemplo:
a) (+5) +0 = +5
b) 0 + (-3) = -3
c) (-7) + 0 = -7
Simplificando a maneira de escrever
a) +5 + 0 = +5
b) 0 – 3 = -3
c) -7 + 0 = -7
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) 1 – 6
b) -9 + 4
c) -9 + 11 = +2
d) 15 – 6 = +9
e) -2 + 14 = +12
f) +13 -1 = +12
g) +23 -17 = +6
h) -14 + 21 = +7
i) (+5) + (-9) = -4
j) (-6) + (+2) = -4
l) (+9) + (-1) = +8
m) (-7) + (+15) = +8
2.2.3 PROPRIEDADE DA ADIÇÃO
1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro
exemplo (-4) + (+7) =( +3)
2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.
exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)
3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.
exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8
4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois
primeiros ou os dois
últimos, sem que isso altere o resultado.
exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]
5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto.
exemplo: (+7) + (-7) = 0
2.2.4 ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS
Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros
e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante.
Exemplos:
1) -12 + 8 – 9 + 2 – 6 =
= -4 – 9 + 2 – 6 =
= -13 + 2 – 6 =
= -11 – 6 =
= -17
2) +15 -5 -3 +1 – 2 =
= +10 -3 + 1 – 2 =
= +7 +1 -2 =
= +8 -2 =
= +6
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) 4 + 10 + 8
b) -15 + 8 – 7
c) 24 + 6 – 12
d) -14 – 3 – 6 – 1
e) -4 + 5 + 6 + 3 – 9
f) -1 + 2 – 4 – 6 – 3 – 8
g) 6 – 8 – 3 – 7 – 5 – 1 + 0 – 2
h) 2 – 10 – 6 + 14 – 1 + 20
2) Efetue, cancelando os números opostos:
a) 6 + 4 – 6 + 9 – 9
b) -7 + 5 – 8 + 7 – 5
c) -3 + 5 + 3 – 2 + 2 + 1
d) -6 + 10 + 1 – 4 + 6
e) 15 – 8 + 4 – 4 + 8 – 15
6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule
a) x + y = (R: +11)
b) y + z = (R: -1)
c) x + z = (R: o)
2.2 SUBTRAÇÃO
A operação de subtração é uma operação inversa à da adição.
Exemplos:
a) (+8) – (+4) = (+8) + (-4) = +4
b) (-6) – (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) – (-2) = ( +5) + (+2) = +7
Conclusão: Para subtraímos dois números, basta que adicionemos ao primeiro o
oposto do segundo.
2.2.1 ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO
Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o significado do oposto.
a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 )
b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3)
Analogicamente:
a) -(+8) – (-3) = -8 +3 = -5
b) -(+2) – (+4) = -2 – 4 = -6
c) (+10) – (-3) – +3) = 10 + 3 – 3 = 10
Conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocandose o sinal do número que está dentro dos parênteses.
EXERCÍCIOS
1) Elimine os parênteses.
a) -(+5)
b) -(-2)
c) -(-15)
d) -(-42)
e) -(+56)
2) Calcule:
a) (+7) – (+3)
b) (+5) – (-2)
c) (-3) – ( +8)
d) (-1) -(-4)
e) (+3) – (+8)
f) (+9) – (+9)
g) (-8) – ( +5)
h) (+5) – (-6)
i) (-2) – (-4)
j) (-7) – (-8)
l) (+4) -(+4)
m) (-3) – ( +2)
n) -7 + 6
o) -8 -7
4) Calcule:
a) (-4) -(-2)+(-6)
b) (-7)-(-5)+(-8)
c) (+7)-(-6)-(-8)
d) (-8) + (-6) -(+3)
e) (-4) + (-3) – (+6)
f) 20 – (-6) – (-8)
g) 5 – 6 – (+7) + 1
h) -10 – (-3) – (-4)
i) (+5) + (-8)
j) (-2) – (-3)
l) (-3) -(-9)
m) (-7) – (-8)
n) (-8) + (-6) – (-7)
2.2.3 PARÊNTESES PRECEDIDOS PELO SINAL NEGATIVO.
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal negativo que os precede, devemos trocar
os sinais dos números contidos nesses parênteses.
Exemplo:
a) -(4 – 5 + 3) = -4 + 5 -3
b) -(-6 + 8 – 1) = +6 -8 +1
EXERCICIOS
1) Elimine os parênteses.
a) +(-3 +8)
b) -(-3 +8)
c) +(5 – 6)
d) -(-3-1)
2) Elimine os parênteses e calcule:
a) + 5 + (7 – 3)
b) 8 – (-2-1)
c) -6 – (-3 +2)
d) 18 – ( -5 -2 -3 )
e) 30 – (6 – 1 +7)
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4)
g) 4 + (3 – 5) + ( -2 -6)
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10)
i) 20 – (-6 +8) – (-1 + 3)
j) 35 -(4-1) – (-2 + 7)
2.3 EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte
ordem:
1°) PARÊNTESES ( ) ;
2°) COLCHETES [ ] ;
3°) CHAVES { } .
Exemplos:
1°) exemplo
8 + ( +7 -1 ) – ( -3 + 1 – 5 ) =
8+7–1+3–1+5=
23 – 2 = 21
2°) exemplo
10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 – 3 + 1 + 2 – 6 =
13 – 9 =
=4
3°) exemplo
-17 + { +5 – [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =
-17 + { +5 – [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 – 2 – 6 + 9 } =
-17 +5 – 2 – 6 + 9 =
-25 + 14 =
= – 11
EXERCICIOS
1) Calcule o valor das seguintes expressões :
a) 15 -(3-2) + ( 7 -4)
b) 25 – ( 8 – 5 + 3) – ( 12 – 5 -8)
c) ( 10 -2 ) – 3 + ( 8 + 7 – 5)
d) ( 9 – 4 + 2 ) – 1 + ( 9 + 5 – 3)
e) 18 – [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ]
f) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )]
g) -6 – [10 + (-8 -3 ) -1]
h ) -8 – [ -2 - (-12) + 3 ]
i) 25 – { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]}
j) 17 – { 5 – 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] }
l) 3 – { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] }
m) -10 – { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] }
n) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] }
o) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12}
2.4 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
2.4.1 MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE SINAIS IGUAIS.
EXEMPLO:
a) (+5) . (+2) = +10
b) (-3) . (-7) = +21
Conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo
2.4.1.2 MULTIPLICAÇÃO DE DOIS PRODUTOS DE SINAIS DIFERENTES
Observe os exemplos.
a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
Conclusão: Se dois produtos tiverem sinais diferentes o produto é negativo.
2.4.1.3 REGRA PRATICA DOS SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO
SINAIS IGUAIS: O resultado é positivo +
a) (+) . (+) = (+)
b) (-) . (-) = (+)
SINAIS DIFERENTES: O resultado é negativo -
a) (+) . (-) = (-)
b) (-) . (+) = (-)
EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações.
a) (+8) . (+5)
b) (-8) . ( -5)
c) (+8) .(-5)
d) (-8) . (+5)
e) (-3) . (+9)
f) (+3) . (-9)
g) (-3) . (-9)
h) (+3) . (+9)
i) (+7) . (-10)
j) (+7) . (+10)
l) (-7) . (+10)
m) (-7) . (-10)
n) (+4) . (+3)
o) (-5) . (+7)
p) (+9) . (-2)
q) (-16) . 0
2.4.1.4 MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS
Multiplicamos o primeiro número pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e
assim sucessivamente, até o ultimo fator.
Exemplos:
a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30
b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360
EXERCÍCIOS
1) Determine o produto:
a) (-2) . (+3) . ( +4)
b) (+5) . (-1) . (+2)
c) (-6) . (+5) .(-2)
d) (+8) . (-2) .(-3)
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)
d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)
e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6)
f) 5 . (-3) . (-4)
g) 1 . (-7) . 2
h) 8 . ( -2) . 2
i) (-2) . (-4) .5
j) -18 + (-6) . (+7)
l) 15 + (-7) . (-4)
m) (+3) . (-5) + 35
2.4.1.5 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Exemplo: (+2) . (-5) = (-10)
2) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.
Exemplo: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)
3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.
Exemplos: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6
4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os
dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.
Exemplo: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)
5) Distributiva
Exemplo: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)
2.4.2 DIVISÃO
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação, observe:
a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12
c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12
d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12
2.4.3 REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO
As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:
SINAIS IGUAIS: o resultado é +
(+) : (+) = (+)
(-) : (-) = (-)
SINAIS DIFERENTES : o resultado é (+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
EXERCÍCIOS
1) Calcule o quocientes:
a) (+15) : (+3)
b) (+15) : (-3)
c) (-15) : (-3)
d) (-5) : (+1)
e) (0) : (+5)
f) 49 : (-7)
g) 48 : (-6)
h) (+265) : (-5)
i) (+824) : (+4)
j) (-180) : (-12)
3) Calcule o valor das expressões.
a) 20 : 2 -7
b) -8 + 12 : 3
c) 6 : (-2) +1
d) 8 : (-4) – (-7)
e) (-15) : (-3) + 7
f) 40 – (-25) : (-5)
g) (-16) : (+4) + 12
h) 18 : 6 + (-28) : (-4)
i) -14 + 42 : 3
j) 40 : (-2) + 9
l) (-12) 3 + 6
m) (-54) : (-9) + 2
CAPITULO 3 - NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
3.1 NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS:
Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o
homem utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando
situações mais difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras
próximas ao rio Nilo eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários
que mediam e demarcavam os terrenos. Eles usavam cordas com nós separados
sempre pela mesma distância. Em muitos casos, principalmente para efetuar
medições, precisou criar outros números que não fossem apenas os números
naturais. Surgiram assim, os números fracionários ou racionais. Para representar
os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b
números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou,
ainda a/b. Chamamos o símbolo a/b de fração. Assim, a fração 10/2 é igual a 10 :
2. Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador Efetuando, por exemplo, a
divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5. Assim, 10/2 é um número natural,
pois 10 é múltiplo de 2. Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um
número natural. Logo 3/4 não é um número natural. A fração envolve a idéia de
alguma coisa que foi dividida em partes iguais, por exemplo:
Agenor comeu 3/4 de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate
Agenor comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou?
Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos;
Agenor comeu 3/4, portanto sobrou 3/4.
3.1.1 LEITURA DE UMA FRAÇÃO
Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores
2,3,4,5,6,7,8,9.
1/2 um meio
1/4 um quarto
1/6 um sexto
1/8 um oitavo
2/5 dois quintos
As que têm denominadores 10, 100, 1000, etc.…
1/10 um décimo
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo
As decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos:
1/11 um onze avos
7/120 sete cento e vinte avos
4/13 quatro treze avos
1/300 um trezentos avos
6/220 seis duzentos e vinte avos
EXERCICIO
3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6
a) Em quantas partes o todo foi dividido?
b) Quantas partes do todo foram consideradas?
4) Escreva como se lê as seguintes frações:
a) 5/8
b) 9/10
c) 4/200
d) 7/1000
3.1.2 TIPOS DE FRAÇÕES
a) Fração própria: é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.
Exemplos: 2/3, 4/7, 1/8
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador
Exemplo: 3/2, 5/5
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do
denominador
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7
3.2.3 SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da
pizza ele comeu?
Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer
que Cláudio comeu 2/4 da pizza. A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os
termos da fração 4/8 por 2 veja:
4/8 : 2/2 = 2/4
Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração
equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter 1/2
3.2.4 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL
Procedimentos:
1) O numerador é um número decimal sem a virgula
2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os
algarismos do número decimal depois da vírgula.
Exemplos:
a) 0,7 = 7/10
b) 8,34 / 834 /100
0,005 = 5/ 1000
EXERCÍCIOS
1) Transforme os números decimais em frações
a) 0,4
b) 7,3
c) 4,29
d) 0,674
e) 8,436
f) 69,37
3.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem
números naturais.
E
Exemplo:
1) Efetuar 2,64 + 5,19
2) Efetuar 8,42 – 5,61
2,64
8,42
5,19 +
5,61 +
---—-7,83
------2,81
Se o número de casas depois da vírgula for diferente, igualamos com zeros
à direita.
4) efetuar 4,2 – 2,53
3) Efetuar 2,7 + 5 + 0,42
2,70
4,20
5,00 +
2,53 +
------1,67
---—-6,12
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) 1 + 0,75
b) 0,8 + 0,5
c) 0,5 + 0,5
d) 2,5 + 0,5 + 0,7
h) 5,3 + 8,2 + 0,048
3) Efetue as subtrações
c) 4,92 – 0,48
d) 12,3 – 1,74
e) 3 – 0,889
f) 4,329 – 2
g) 15,8 – 9,81
5) Calcule o valor das expressões
a) (1 + 0,4) – 0,6
b) 0,75 + ( 0,5 – 0,2 )
c) ( 5 – 3,5 ) – 0,42
d) 45 – ( 14,2 – 8,3 )
e) 12 + ( 15 – 10,456)
f) 1,503 – ( 2,35 – 2,04)
3.4 MULTIPLICAÇÃOS DE NÚMEROS DECIMAIS
Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. O
números de casas decimais do produto é igual a soma do número de casas
decimais dos fatores.
Exemplo:
1) efetuar 2,45 x 3,2
2) efetuar 0,27 x 0,003
2,46
0,27
x 3,2
x 0,003
---—--
------1,67
7,872
EXERCÍCIOS
2) Efetue as multiplicações
a) 5,7 x 1,4
b) 0,42 x 0,3
c) 7,04 x 5
d) 21,8 x 0,32
e) 3 x 1,5 x 0,12
f) 5 x 0,24 x 0,1
4) calcule o valor das expressões
a) 3 x 2,5 – 1,5
b) 2 x 1,5 + 6
c) 3,5 x 4 – 0,8
3.4.1 MULTIPLICAÇÃO POR POTENCIA DE 10
Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc., basta deslocar a vírgula para a
direita, uma, duas, três, casas decimais.
Exemplos.
a) 3,785 x 10 = 37,85
b) 3,785 x 100 = 378,5
c) 3,785 x 1000 = 3785
d) 0,0928 x 100 = 9,28
EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações:
a) 4,723 x 10 = (R: 47,23)
b) 8,296 x 100 = (R: 829,6)
c) 73,435 x 1000 = ( R: 73435)
d) 6,49 x 1000 = (R: 6490)
e) 0,478 x 100 = (R: 478)
f) 0,5 x 10 = (R: 5)
3.5 DIVISÃO
Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como
se fossem números naturais.
Exemplos:
1) Efetuar 17,568 : 7,32
Igualando as casas decimais fica: 17568 : 7320 = 2,4
2) Efetuar 12,27 : 3
Igualando as casas decimais fica: 1227 : 300 = 4,09
EXERCÍCIO
1) Efetuar as divisões:
a) 38,6 : 2
b) 7,6 : 1,9
c) 3,5 : 0,7
3.6 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
3.6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1°) Adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de
fração de denominadores iguais, somamos os numeradores e conservamos o
denominador comum.
Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
Exercícios
1) Efetue as operações:
a) 5/6 + 1/6
b) 8/6 + 6/6
c) 5/5 – 2/5
d) 5/7 – 2/7
e) 7/3 – 2/3 + 1/3
f) 7/5 + 2/5 – 1/5
g) 5/7 – 2/7 – 1/7
2°) Adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de
fração de denominadores diferentes, tiramos o m.m.c. dos denominadores .
Exemplo:
a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I 2 . 3 = 6
b) 2/3 – 1/4 = 8/12 – 3/12 = 5/12
3, 4 I 2
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I 2 . 2. 3 = 12
Exercícios
1) Efetue
a) 1/3 + 1/5
b) 2/4 + 2/3
c) 2/5 + 3/10
d) 5/6 – 2/3
e) 13/4 – 5/6
f) 7/8 – 1/6
g) 4/5 – 1/3
h) 3/5 + 4
i) 8 + 7/9
j) 2/3 + 5/6 – ¼
l) 4/5 – ½ + ¾
m) 5/7 – 1/3 + ½
n) 1/3 + ½ – ¼
3.6.2 MULTIPLICAÇÃO
Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
Exemplo:
a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando
EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações.
a) 4/7 x 2/5
b) 5/3 x 2/7
c) 3/7 x 1/5
e) 5/4 x 1/3 x 4/7
d) 6/7 x 3
e) 2 x 2/3 x 1/7
f) 2/5 x 3 x 4/8
3.6.3 DIVISÃO
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa
da segunda.
Exemplos:
a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9
Exercícios
1) Efetue as divisões.
a) 5/7 : 2/3
b) 4/5 : 3/7
c) 2/7 : 5/3
d) 3/7 : 2
e) 3/2 : 5/7
f) 3/8 : 4/7
2) Determine 2/3 de R$ 1200,00
3) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons.
4) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa
peça?
5) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros
percorreu?
6) Um livro tem 240 páginas., Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginas você
estudou?
7) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do
campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato?
8) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto
é a capacidade desse reservatório?
9) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa
estrada?
10) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas
gostam de futebol?
11) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões
ele acertou?
12) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa
classe?
18) Um brinquedo custou R$ 152,10, Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto
estou devendo?
CAPITULO 4 – RAZÃO
Trata-se de um conceito antigo e essencial para o conhecimento
matemático que, a princípio, é usado para comparar duas quantidades ou duas
medidas. Na sociedade moderna, o conceito de razão surge nos jornais e nas
revistas para comunicar a concentração de pessoas em uma determinada cidade
ou o fluxo de carros em um pedágio. Aparecem também nas mais variadas áreas
do conhecimento, sempre para melhorar a comparação de vários dados de um
problema. A palavra razão, vem do latim ratio, e significa “divisão”, isto é, razão é
o quociente entre dois números. Assim, razão de um número a para um número,
sendo b, diferente de zero, é o quociente de a / b. O número a é chamado
antecedente e o número b é chamado consequente. Podemos ler a razão como: a
razão de a está para b, ou a está para b, ou a para b.
4.1 Razões Especiais
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano,
entre as quais, velocidade, escala e densidade demográfica.
4.1.2 Velocidade Média
Denomina-se velocidade média de algum corpo a razão entre a distância
total percorrida pelo veículo e o tempo por ele gasto para percorrê-la, em outras
palavras a "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre
uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por
ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
Exemplo 1: Suponhamos que um carro de Fórmula 1 percorreu 328Km em 2h.
Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
Isso significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164
Km/h, ou seja, para cada hora percorrida, o carro se deslocou 164 Km.
4.1.3 Escala
Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala
de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala.
Chamamos escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no
desenho e o correspondente ao comprimento real, medidos com a mesma
unidade.
Escala
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos
como móveis, planta de uma casa ou de uma cidade, fachada de prédios, mapas,
maquetes, entre outros.
Exemplo: Em um mapa, a distância entre Caruaru - Santa Cruz do Capibaribe é
de 5,6 cm e, sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 56 km, qual a
escala utilizada no mapa?
=
=
A escala de 1:1000000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 1000000
cm no real, ou seja, a 10 km no real.
4.1 4 Densidade Demográfica
Atribui-se densidade demográfica de uma região como a razão entre o
número de seus habitantes e a área ocupada pela região. Ela expressa o número
de habitantes por quilômetro quadrado da mesma.
Exemplo 1: Santa Cruz do Capibaribe ocupa uma área aproximada de 335,526
km². De acordo com o censo realizado pelo IBGE em 2011, a cidade tinha uma
população aproximada de 89 772 habitantes. Qual era, então, a densidade
demográfica de Santa Cruz do Capibaribe?
Portanto, a densidade demográfica da cidade de Santa Cruz do Capibaribe era de
267,56 hab/km², aproximadamente.
Exemplo 2: O Brasil ocupa uma área aproximada de 8 514 876,599 km². De
acordo com o censo realizado pelo IBGE em 2011, o país tinha uma população
aproximada de 192 376 496
habitantes. Qual era, então, a densidade
demográfica do Brasil?
Portanto,
a
densidade
demográfica
do
Brasil
era
de
22,59
hab/km²,
aproximadamente.
Exercício
1) Em um mapa geográfico, a distância entre Santa Cruz do Capibaribe e Recife é
de 19,4 cm. Sabemos que a distância entre as cidades é de 194 Km. Qual a
escala utilizada no mapa?
2) Em uma planta estrutural de uma escola, o comprimento frontal do terreno é
representado por 50 cm. Sabemos que essa medida, na realidade, é 50 m. Qual a
escala utilizada nessa planta?
3) Um aluno vai à escola de bicicleta. A distância de sua casa até a escola é 3000
m, e ele gasta 10 minutos para chegar. Qual a velocidade média nesse trecho?
4) Em um carro, o aluno gasta apenas 3 min. para ir à escola, que fica a uma
distância de 3000 m. Qual a velocidade média nesse trecho?
5) Em uma cidade de área 10000 km², há uma população de 150000 habitantes.
Qual a densidade demográfica dessa cidade?
6) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população
estimada de Manaus, em 2009, era de 1.738.641 habitantes para uma área de
11.401 quilômetros quadrados. Qual a densidade demográfica de Manaus?
CAPITULO 5 – PROPORÇÃO
A igualdade entre razões denomina-se proporção. Os números a, b, c e d, todos
diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a
razão a : b for igual à razão c : d.
Indicamos esta proporção por:
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de
meios
Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).
A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).
Podemos então afirmar que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo
representa uma proporção:
Lê-se a proporção acima da seguinte forma: "10 está para 5, assim como 14 está
para 7".
5.1 Propriedades
1ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º ) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º ).
Demonstração:
Exemplo:
Determine x e y na proporção
, sabendo que x + y = 84.
x + y = 84 => x = 84 - y =>
x = 84 - 48 => x = 36.
Logo, x = 36 e y = 48.
2ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para
o 2º (ou 1º ) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou
3º).
Demonstração:
Sabendo-se que x – y = 18, determine x e y na proporção.
Solução:
x - y = 18 => x = 18 + y => x = 18+12
=> x = 30.
Logo, x = 30 e y = 12.
3ª propriedade: Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração:
4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a
diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu
consequente.
Demonstração:
Exemplo:
Sabendo que a - b = -24, determine a e b na proporção;
Solução:
5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto
dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para
quadrado do seu consequente.
Demonstração:
CAPITULO 6 - REGRA DE TRÊS
6.1 Regra de Três Simples e Composta
Grandezas
É tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade,
comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. Assim, a altura de uma
árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre
outros, são grandezas.
Proporcionalidade entre Grandezas
As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente
proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais
O aumento de uma implica no aumento da outra.
A redução de uma implica na redução da outra.
Exemplo 1:
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00.
Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos
cadernos. Confira pela tabela:
Grandezas inversamente proporcionais
O aumento de uma implica na redução da outra.
A redução de uma implica no aumento da outra
Exemplo 2:
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores
alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se
ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos,
cada um deles receberá 4 livros. Se o número de aluno dobra, a quantidade de
livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai
para a terça parte.
Exercício 1:
1) Classifique as relações em diretamente proporcionais e inversamente
proporcionais:
a) Velocidade de uma impressora e páginas impressas por minuto.
b) Velocidade de uma impressora e tempo necessário para imprimir 100 páginas.
c) Quantidade de Kw/h (Quilowatt-hora) consumidos e conta de energia.
d) Desconto promocional e valor pago por um produto.
e) Comprimento de uma peça de tecido e seu preço.
f) Quantidade de cimento e área da obra.
g) Quantidade de animais e água ingerida.
h) Plantação de milho e espigas de milho.
i) Máquinas trabalhando e dias gastos para asfaltar.
2) Escreva 3 exemplos de grandezas diretamente proporcionais e 3 exemplos de
grandezas inversamente proporcionais.
6.1. Regra de Três
Consta na história da matemática que os gregos e os romanos
conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplicá-las na resolução de
problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos
século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu
livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. Regra de
Três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que
envolvam duas ou mais grandezas. As grandezas podem ser diretas ou
grandezas inversamente proporcionais.
A Regra de Três pode ser simples ou composta:
Simples: envolve somente duas grandezas. Composta: envolve mais de duas
grandezas.
6.1.1 Regra de três simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas
diretamente proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais
X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de
forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X
Y
W
=K e
Logo
X
Y
=
Z
=K
W
Z
Exemplo:
Se 3 garrafinhas de água mineral custa R$ 4,50. Quanto custa 7 garrafinhas?
Resolução:
Garrafa
3
7
Valor

4,50
X

As grandezas são diretamente proporcionais, aumentando a quantidade de
garrafas aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.
Assim, 7 garrafas de água custam R$ 10,50.
6.1.1.2 Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas
inversamente proporcionais para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente
proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais
C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
A
C
Exemplo
=
D
B
1) Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a
velocidade do carro fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo
percurso?
Resolução:
Velocidade
60
80
Tempo

4
X
As grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo
diminui na razão inversa.
O tempo a ser gasto é de 3 horas.
Exercícios de regra de três simples:
1) Com 10 kg de soja pode fabricar 7 kg de farelo de soja. Quantos quilogramas
de soja são necessários para fabricar 28 kg de farelo?
2) Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade
média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria
para percorrer o circuito à velocidade média de 140 km/h?
3) Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de quirela. Quantas sacas de 60 kg de
quirela podemos obter com 1200 kg de milho?
4) Sete litros de leite dão 1,5 kg de manteiga. Quantos litros de leite serão
necessários para se obterem 9 kg de manteiga?
5) Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de
páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página?
6) Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de um queijo. Quanto pagaria por 750 g desse
mesmo queijo?
7) Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas
serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio?
8) Para construir a cobertura de um barracão, 25 operários levaram 48 dias. Se
fosse construída uma cobertura idêntica em outra
fazenda e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os
primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta?
9) Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em
uma hora e meia?
6.1.2 Regra de Três composta
Ao lado da coluna que contém a incógnita (x), colocamos uma seta para baixo
(por convenção). Esta coluna serve de referência. Verifica-se para cada uma das
demais grandezas, se elas são direta ou inversamente proporcionais à grandeza
de referência.
Exemplos:
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2 420 kg de
ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilogramas de ração serão
necessários para alimentá-los durante 12 dias?
Resolução:
Ração
2420
x
dias

8
12
bois
2
4
Assim, serão necessários 7 260 kg de ração.
2) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160
de milho. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125
?
Resolução:
Hora
caminhões
8 
5
20
x
milho
160
125
Diminuindo o número de horas de trabalho, temos que aumentar o número de
caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional. Diminuindo o volume
de milho, devemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o
produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Será preciso 20 caminhões.
Exercícios de regra de três composta:
1) Um caminhão percorre 1 116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia.
Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia?
2) Certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12 000 pregos durante 6
dias. Quantas horas por dia essa máquina deveria funcionar para fabricar 20 000
pregos em 20 dias?
3) Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos
dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
4) Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de tecido de 80 cm de largura.
Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de tecido com 1,2 m de
largura?
5) Em 30 dias, uma frota de 25 taxis consome 100 000 litros de combustível. Em
quantos dias uma frota de 36 taxis consumiria 240 000 de combustível?
6) Um folheto enviado pela Saneago informa que uma torneira, pingando 20 gotas
por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa
de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias.
Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
7) Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas
de serviço diário, 240 pares de bota. Quantos operários são necessários para
produzir 600 pares de bota por dia, com 10 horas de trabalho diário?
8) Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias
8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas?
9) Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo
número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de
operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento?
10) Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6
dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se
rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
11) O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de
14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas
lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
12) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12
dias?
13) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em
quantos minutos?
14) Com 16 máquinas de costura confeccionaram 720 uniformes em 6 dias de
trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2 160
uniformes em 24 dias?
CAPITULO 7 - UNIDADES DE MEDIDAS
Nas situações do dia a dia é comum ver números relacionados à medidas:
Quanto eu peso?
Quanto tempo gasto no banho?
Qual minha altura?
7.1 Comprimento
O sistema métrico é uma escala decimal de grandezas, ou seja.
Milímetro
(mm).........0,001 m
Centímetro
(cm)............0,01 m
Decímetro
(dm).............0,1 m
Metro
( m )...............1 m
Decâmetro
(dam).............10 m
Hectômetro
( hm )...........100 m
Quilômetro
( km )........1000 m
Exemplo:
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar 2,5 por 10
duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois
níveis. Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros
para centímetros:
7.2 Massa
Para construção de padrão representativo da unidade ter-se-ia adotado por
convenção a massa de 1000 g; o quilograma. Estabeleceram também que os
submúltiplos deste padrão de massa deveria obedecer a uma escala decimal,
assim:
grama (g)
decagrama (dag)
hectograma (hg)
quilograma
(kg)
0,001 kg
0,01 kg
0,1 kg
1 kg
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir 5.200 por 10
três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis
à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama
para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma: Isto equivale a
passar a vírgula três casas para a esquerda.
7.3 TEMPO
7.3.1 Tabela para Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo
Exemplos:
1) Converta 25 minutos em segundos
A unidade de tempo minuto é maior que a unidade segundo, já que 1 minuto
contém 60 segundos, portanto, de acordo com o explicado acima, devemos
realizar uma multiplicação, mas devemos multiplicar por quanto?
Ora, devemos multiplicar por 60, pois cada minuto equivale a 60 segundos:
Visto que:
1 min = 60 s
Então: 25.60 = 1500
Logo 25 min é igual a 1500 s
2) 10080 minutos são quantos dias?
Semelhante ao exemplo anterior, só que neste caso precisamos converter de uma
unidade menor para uma unidade maior. Como as unidades não são vizinhas,
vamos então precisar de uma série de divisões.
De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que
dividir por 24. O cálculo será então:
10080 / 60 / 24 = 7
10080 minutos são 7 dias
7.3.2 Semana, Quinzena, Mês, Ano, Década, Século e Milênio
Além das unidades estudas acima, podemos também relacionar algumas outras:
Unidade
Equivale a
Semana
7 dias
Quinzena
15 dias
Mês
30 dias *
Bimestre
2 meses
Trimestre
3 meses
Quadrimestre
4 meses
Semestre
6 meses
Ano
12 meses
Década
10 anos
Século
100 anos
Milênio
1000 anos
7.4 Área
Medidas de Área
Transformando
1m²
(metro
quadrado)
em
cm²
(centímetro
quadrado)
1º
passo:
transformar
m²
em
dm²
2º
passo:
transformar
dm²
em
cm²
Pelo processo prático podemos multiplicar o m² por 100x100 (10000)
1
x
100
x
100
=
10
000
→
Exemplo
1m²
=
10000cm²
1
Um muro com as seguintes medidas: 20m de comprimento e 2m de altura foi
construído com tijolos de dimensões 20cm de comprimento e 20cm de altura.
Quantos tijolos foram gastos na construção desse muro, descartando a hipótese
de
desperdício?
Área do
muro
20m x
2m
Área do
tijolo
20cm
20cm =
x
=
40m²
400cm²
A área do muro e a do tijolo estão em unidades diferentes, para isso devemos
utilizar a tabela de conversões no intuito de igualar as medidas. Podemos
escolher
entre as
seguintes
transformações:
m² em cm² ou cm² em m²
Vamos transformar m²
em
40 x 100
400000cm²
x100 =
cm²:
Para descobrir quantos tijolos foram gastos, basta dividirmos a área do muro em
cm²
pela
400000
área de
um
tijolo:
cm²
400
cm²
/
=
1000
Foram gastos 1000 tijolos na construção do muro.
7.5 Volume
Observe o quadro das unidades de volume:
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
Pode-se afirmar que:
Da esquerda para a direita, cada unidade contém 1000 vezes a unidade seguinte.
Da direita para a esquerda cada unidade representa 1/1000 da unidade anterior.
Exemplos:
1) Transformar
8,2
(
8,2
)
2) Transformar 50 000
50 000
Obs: Um
em
.
.
em
= (50 000 / 1 000)
.
= 50
é equivalente a um litro.
.
CAPITULO 8 - ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
8.1 Quadrado
O quadrado é a figura geométrica onde todos os seus lados e ângulos internos
tem as mesmas medidas. Cada ângulo do quadrado é reto, e a área da região
quadrada é dada por:
a
a
8.2 Retângulo
O quadrado é uma caso particular do retângulo, pois o retângulo é a figura
geométrica cuja seus lados opostos são paralelos, e cada um de seus ângulos
internos é reto. E a área da região retangular é dada por:
h
8.3 Triangulo
O triangulo é uma figura geométrica convexa formada por três lados. Pode-se
observa que de um retângulo pode-se obter dois triângulos como mostra a figura
abaixo; logo a área da região triangular é:
h
b
8.4 Circulo
A área da região circular é o produto de seu semiperímetro pelo raio, ou seja:
ou
r
( )
d
Onde o número irracional
Exercícios
1) Qual é a área da região retangular cujas medidas são 24m por 12,5m?
2) Um terreno retangular tem 8,4m por 15m e esta sendo gramado. Sabendo que
um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3
de terreno, quantos
quilos de semente de grama são necessários para gramar o terreno todo?
3) Um lajota retangular tem 30cm por 20cm. Qual é a área da lajota? Quantas
lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96m de área?
4) Quantos
de azulejo são necessários para revestir até uma parede
retangular de 4m por 2,75m?
6) Qual é a área de um quadrado que tem 26 cm de diagonal?
7) Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno.
8) Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de lado. Qual é a área desse
ladrilho?
9) A área de um triângulo equilátero (três lados iguais) é de
√
. Nessas
condições, Quanto vale a soma dos lados desse triangulo?
10) Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13cm e um dos
catetos mede 5cm?
21) O piso (ou fundo) de uma piscina circular tem 10m de diâmetro
(internamente). Calcule a área do piso desta piscina.
22) Num campo de futebol, o grande círculo tem 10m de raio. Qual é a área do
grande círculo?