números primos - Estuda Que Passa

Matemática
Números Primos e Primos Entre Si
Professor Dudan
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Matemática
NÚMEROS PRIMOS
Por definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números naturais
não nulos, que possuem exatamente apenas dois divisores naturais distintos, o número 1 e o
próprio número.
Segundo esta definição o número 1 não é um número primo, pois o mesmo não apresenta dois
divisores distintos. Seu único divisor é o próprio 1.
O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares possuem ao
menos 3 divisores, dentre eles a unidade, o próprio número e o número 2.
Números naturais não nulos que possuem mais de dois divisores são chamados de números
compostos.
Exemplos:
a) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
b) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
c) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
•• 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
•• 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo:
15 tem mais de dois divisores → 15 é um número composto.
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Como identificar se um número é primo?
Iremos testar a divisibilidade do número por cada um dos números primos, iniciando em 2, até
que a divisão tenha resto zero ou que o quociente seja menor ou igual ao número primo que se
está testando como divisor.
Vamos testar se o número 17 é primo ou não:
17 ÷ 2 = 8, resta 1;
17 ÷ 3 = 5, restam 2;
17 ÷ 5 = 3, restam 2.
Neste ponto já podemos ter a certeza de que o número 17 é primo, pois nenhum dos divisores
primos testados produziu resto 0 e o quociente da divisão pelo número primo 5 é igual a 3 que
é menor que o divisor 5.
Vejamos agora se o número 29 é primo ou não:
29 ÷ 2 = 14, resta 1;
29 ÷ 3 = 9, restam 2;
29 ÷ 5 = 5, restam 4.
Como neste ponto quociente da divisão de 29 pelo número primo 5 é igual ao próprio divisor
5, podemos então afirmar com certeza que o número 29 é primo, pois nenhum dos divisores
primos testados resultou em uma divisão exata.
E o número 161?
Ele não é par, portanto não é divisível por 2;
1 + 6 + 1 = 8, portanto não é divisível por 3;
Ele não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
Quando dividido por 7 ÷ 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não
é um número primo.
E o número 113:
Ele não é par, portanto não é divisível por 2;
1 + 1 + 3 = 5, portanto não é divisível por 3;
Ele não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
Se dividido por 7 ÷ 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
Agora dividido por 11 ÷ 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11),
e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
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Matemática – Números Primos e Primos Entre Si – Prof. Dudan
O que são números primos entre si?
Um resultado na teoria de números é que todo número natural, maior que 1, pode ser escrito
como um produto, em que os fatores são todos números primos.
Por exemplo, (2.2.5) é a decomposição do número 20 em fatores primos, isto é, 20 = 2.2.5
Deve-se observar que, se o número em questão for um número primo, então a decomposição
será o próprio número.
Por exemplo, 7 será a decomposição em fatores primos do número 7.
Assim, se após a decomposição de dois números naturais a e b (maiores que 1), em fatores
primos, não houver fatores comuns; então a e b serão denominados números primos entre si.
Observe que 20 e 21 são números primos entre si, pois 20 = 2.2.5 e 21 = 3.7;
Já os números 15 e 21 não são primos entre si, pois 15 = 3.5 e 21 = 3.7
Resumindo: Um conjunto de números inteiros é chamado de mutuamente primo se não existir
um inteiro maior do que 1 que divida todos os elementos.
Assim chamamos de números primos entre si um conjunto de dois ou mais números naturais
cujo único divisor comum a todos eles seja o número 1.
Exemplo:
Os divisores do número 10 são: 1, 2, 5 e 10.
Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Os divisores de 21 são: 1, 3, 7 e 21.
Podemos então afirmar que juntos, os números 10, 20 e 21 são primos entre si, ou mutuamente
primos, já que o único divisor comum a todos eles continua sendo o número 1.
Observe, no entanto que os números 10 e 20 não são números primos, pois os números 1, 2, 5
e 10 são divisores comuns aos dois.
Em síntese para sabermos se um conjunto de números são primos entre si, ou mutuamente
primos, basta calcularmos o seu máximo divisor comum (MDC). Se for 1, todos números do
conjuntos serão primos entre si.
Regra prática para descobrir se dois números naturais são primos entre si:
Seriam os números 49 e 6 primos entre si?
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Se colocarmos 49 e 6 na forma de fração
, não dá para simplificar por nenhum número,
6
logo temos uma fração IRREDUTÍVEL.
Assim dizemos que 49 e 6 são PRIMOS ENTRE SI.
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