Matemática-Gênesis Soares

Matemática
Matemática
Gênesis
Soares
Gênesis
Soares
Jaboatão, ___ de ______________ de 2014.
Estudante:_________________________________________________
Aluno(a): __________________________________________________________________
Circunferência:
Equação reduzida da circunferência:
Circunferência:
Consideremos uma circunferência de centro
C (a, b) e raio r.
A circunferência é o conjunto de todos
os pontos de plano equidistantes de outro
ponto C do mesmo plano chamado centro da
circunferência. A distância do ponto C à
qualquer
ponto
da
circunferência
é
denominado raio.
Y
P
yC
C
r ²  x²  y ²
xC
X
r ²  ( x  xc)²  ( y  yc)²
Logo:
C: centro da circunferência
r: raio da circunferência
Círculo é o lugar geométrico dos pontos
do plano cuja distância a um ponto fixo (C) é
menor ou igual a uma constante positiva r.
r ²  ( x  a)²  ( y  b)²
A equação acima destacada é a equação
reduzida da circunferência.
 Observações:
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Equação normal da circunferência:
Seja a circunferência de centro C (a ; b) e
raio r, r > 0, e, portanto, de equação reduzida
(x – a)² + (y – b)² = r² . Desenvolvendo a
equação reduzida obtemos:
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Posições relativas:
 Entre ponto e circunferência:
Consideremos uma circunferência de centro
C(a, b) e raio r. A equação desta
circunferência é:
x² – 2ax + a² + y² –2by + b² = r² , e
ordenando, convenientemente, temos:
x²+ y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
esta equação é dita equação normal da
circunferência de centro C(a ; b) e raio r.
Sendo P(x0, y0) um ponto do plano
cartesiano, a distância de P ao centro C da
circunferência é:
Consequências:
 Se uma circunferência é dada pela sua
equação normal, pode-se determinar seu
centro e raio por comparação.
 Se uma circunferência é dada por sua
equação normal, pode-se obter a equação
reduzida completando-se a soma dos
quadrados, característica da forma
reduzida.
Observação:
Toda circunferência cuja equação é do tipo
x2 + y2 = r2 tem centro na origem do sistema
de coordenadas.
Y
-r
O
-r
r
r
X
x 2  y2  r 2
Chamamos de potência de P em relação à
circunferência o número d² – r², que é
positivo, negativo ou nulo, conforme P seja
externo,
interno
ou
pertencente
à
circunferência.
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Assim, concluímos que:
Consequências:
 Entre reta e circunferência:
Considerem uma circunferência (λ) de centro
C e raio r e uma reta s do plano α.
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 Posições
relativas
circunferências:
entre
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duas
Exercícios:
1.º) Dada a circunferência de equação x² + y²
– 2x – 4y – 3 = 0, determine a posição de
cada um dos pontos abaixo em relação a ela:
a) A (3, 4)
b) B (2, 6)
c) D (0, 3)
2.º) (Unesp) Seja S = {(x, y) ∈ R2 : x² + y² =
16 e x² + (y – 1)² ≥ 9} uma região do plano. A
área de S é:
a) 5
b) 7
c) 5x
d) 7x
e) 7x²
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3.º) (UFG-GO) Dadas as circunferências de
equações x2 + y2 - 4y = 0 e x2 + y2 - 4x - 2y +
4 = 0 em um sistema de coordenadas
cartesianas:
a) esboce os seus gráficos;
b) determine as coordenadas do ponto de
intersecção das retas tangentes comuns às
circunferências.
4.º) (Fuvest-SP) No plano cartesiano Oxy, a
circunferência C é tangente ao eixo Ox no
ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1; 2).
Nessas condições, o raio de C vale:
a)
b)
c)
d)
e)
5
2 5
5
3 5
10
5.º) (Fuvest-SP) A circunferência dada pela
equação x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente
aos eixos coordenados x e y nos pontos A e
B, conforme a figura. O segmento MN é
paralelo ao segmento AB e contém o centro
C da circunferência.
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a)
b)
c)
d)
e)





2
2
4
6
8
6.º) (Fuvest-SP) A circunferência x² + y² = 4 é
simétrica à circunferência x² + y² – 12x – 8y +
48 = 0 em relação a uma reta r. Uma
equação dessa reta é:
a) 3x – 2y = 13
b) 3x – 2y = 5
c) 2x – 3y = 0
d) 3x + 2y = 13
e) 3x + 2y = 5
7.º) (UGF-RJ) Qual deve ser o valor de k de
modo que o ponto P(1, 0) pertença ao interior
da circunferência cuja equação é x² + y² – 2x
– 2y – k = 0?
a)
b)
c)
d)
e)
k=-2
k>-1
k<1
k>3
k=5
8.º) (COVEST) Dada a equação de uma
circunferência x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0,
podemos afirmar que seu raio é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
É correto afirmar que a área da região
hachurada vale:
9.º) (COVEST) Uma circunferência de raio 10
é tangente ao eixo das abscissas e à reta
com equação y = x. Se a circunferência tem
centro no ponto (a, b), situado no primeiro
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quadrante, assinale o inteiro mais próximo de
a.
10.º) (COVEST) Em um sistema de
coordenadas ortogonais xoy, um triângulo
tem vértices nos pontos de interseção das
retas com equações y = x, y = - x + 12 e y =
x/5 (ilustradas a seguir). Se a equação da
circunferência circunscrita ao triângulo é x² +
y² + ax + by + c = 0, indique o valor de (a - b
+ c)².
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a) 73
b) 76
c) 85
d) 89
e) 92
13.º) (ESPM-SP) Na figura abaixo, tem-se
representada, em um sistema de eixo
cartesianos, a circunferência λ, de centro C.
a equação de λ é:
11.º) (Fuvest-SP) A reta y = mx (m > 0) é
tangente à circunferência (x – 4)² + y² = 4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma
com o eixo x:
a)
b)
c)
d)
e)
5
2 5
5
3 5
10
12.º) (FGV-SP) Dada a equação x² + y² = 14
x + 6 y + 6, se p é o maior valor possível de x,
e q é o maior valor possível de y, então 3p +
4q é igual a:
a) x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0
b) x² + y² + 4x + 2y − 4 = 0
c) x² + y² − 2x + 4y + 2 = 0
d) x² + y² − 4x − 2y − 4 = 0
e) x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0
14.º) (PUC-SP) Seja x² + y² + 4x = 0 a
equação da circunferência de centro Q
representada no plano cartesiano abaixo.
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
2 3 4
=
b) x² +  y 
3  3

2

2 3 4
 =
c) x² +  y 
 3
3


2

3
 = 3
d) x² +  y 
4  16

2

3 1
 =
e) x² +  y 
3  3

Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M
sobre o eixo das abscissas e o vértice N
pertence à circunferência, o ponto N é dado
por:
a)
b)
c)
d)
e)
 2  2; 2 
 2  2; 2 
 2  2;2
 2  2;2  2 
 2 ;2  2 
16.º) (UFPB) Na figura, a circunferência de
equação x² + y² − 10x − 4y + 13 = 0 tem
centro no ponto C. Se o ponto A tem as
coordenadas (9; 6) e a reta t é tangente à
circunferência no ponto T, então a área
assinalada é igual a:
15.º) (UFRGS-RS) Considere a circunferência
inscrita no triângulo equilátero, conforme
mostra a figura a seguir.
a) 16  2
b) 8  2
c) 8  

d)
8
e) 4  
A equação da circunferência é:
a) x²+(y-1)² =1
17.º) (Ufop-MG) Num sistema cartesiano de
coordenadas, a equação x² − 2x + y² + 4y = 4
descreve uma circunferência de centro C e
raio r. A equação da reta que passa pelo
ponto C e tem coeficiente angular igual a r é:
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a) y = 3x − 5
b) y = 2x − 4
c) y = 3x + 5
d) y = 2x + 4
18.º) (UFRJ modificado) Os pontos (–6, 2),
(3, –1) e (–5, –5) pertencem a uma
circunferência. Obtenha uma equação dessa
circunferência.
19.º) (Fuvest-SP) No plano cartesiano 0xy, a
reta de equação x + y = 2 é tangente à
circunferência C no ponto (0, 2). Além disso,
o ponto (1, 0) pertence a C. Então, o raio de
C é igual a:
a)
3 2
2
b)
5 2
2
c)
7 2
2
d)
9 2
2
e)
11 2
2
20.º) (Unifei-MG) Os afixos dos números
complexos z1 = − 3 − 4i, z2 = 3 − 4i e z3 = −3
+ 4i são pontos pertencentes a uma
circunferência. Obter a equação dessa
circunferência.
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