TP501_Prova2_2s12

T501 – Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos Nota:
Prova 2 – 30/11/2012 – 09:00h
Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães
Alunos(as):
___________________________________________________________Matrícula ________________
___________________________________________________________Matrícula ________________

Prova com consulta a apenas duas referências, com solução em dupla ou individual e com
duração de 1h30min em sala, mais 4h para a questão a ser resolvida fora da sala de aula.
1ª questão (30 pontos)
Na figura a seguir está desenhada uma onda binária bipolar correspondente a uma função-amostra x(t) de
um processo aleatório estacionário X(t). Os pulsos de duração T são equiprováveis e o primeiro pulso de
uma função-amostra qualquer se inicia sempre no instante t = 0. Para efeito de caracterização estatística,
as amostras ti e tk tem separação  = tk – ti. O instante de ocorrência da primeira amostra é uniformemente
distribuído em (0, T]. Determine e desenhe a função de autocorrelação do processo X(t). Discorra sobre
como as amostragens nos instantes ti e tk devem ser geradas na prática, tanto no que se refere a esta
questão quanto ao Exemplo 1.8, p. 66 do livro Digital Transmission do Prof. Dayan (Dica: analise a
influência de existir ou não um instante inicial aleatório para cada função-amostra do processo).
Solução
Este problema é equivalente ao enunciado no Exemplo 1.8 do livro Digital Transmission do Prof. Dayan.
Portanto, a solução é similar. Vamos analisar quando | tk – ti |  T. Neste caso X(tk) e X(ti) ocorrerão em
pulsos diferentes e teremos
E[ X (tk ) X (ti )]  E[ X (tk )]E[ X (ti )]  0, | tk  ti |  T .
Para |tk – ti| < T, com ti < tk, as amostras X(tk) e X(ti) irão ocorrer no mesmo intervalo de pulso se |tk – ti| <
T – ti. Neste caso a autocorrelação entre X(tk) e X(ti) estará condicionada ao valor de ti. Então,
 A2 , ti  T  | tk  ti |
E[ X (tk ) X (ti )| ti ]  
c.c.
 0,
Para eliminar o condicionamento, utilizamos a lei da esperança total E[E[X|Y]] = E[X], obtendo
1

E[ X k X i ]  E[ E[ X k X i | ti ]]   E[ X k X i | ti ] f (ti )dti


T  | tk  ti |
0
A2 f (u)du  
T  | tk  ti |
0
A2
 | t t |
du  A2 1  k i  ,
T
T 

onde foi usada a notação simplificada Xk = X(tk) e Xi = X(ti). Como  = tk – ti a função de autocorrelação
do processo X(t) será
 2  | | 
A 1
 , | | T
RX ( )   
T 
0, c.c.

Esta função está plotada na figura a seguir.
Comparando os processos de amostragem referentes a este problema e ao Exemplo 1.8 do livro Digital
Transmission do Prof. Dayan, observa-se que neste problema, além de variar o espaçamento entre as
amostras deve-se garantir aleatoriedade no instante da primeira amostra, com distribuição uniforme em
(0, T]. Já no caso do Exemplo supracitado, já sendo aleatórios (uniformemente distribuídos) os instantes
iniciais das funções-amostra, basta escolher um instante qualquer para a primeira amostragem (em ti) e
definir tk em função do espaçamento  desejado. Percebe-se que esta última análise é mais simples de
implementar caso se esteja estimando a função de autocorrelação computationalmente.
2ª questão (30 pontos)
Considere o sistema linear cuja resposta em frequência é dada por
ìï sign( f ) f 2 exp(- j16 f ), | f |£ 20
H ( f ) = ïí
ïïî 0, | f |> 20,
onde sign( f ) = 1, f  0 e sign( f ) = –1, f < 0. Um processo aleatório estacionário é aplicado à estrada
desse sistema e tem função de autocorrelação
RX ( t ) =
5
d(t ) + 2,
2
onde () é a função delta de Dirac. Pede-se:
a) Determine a potência total do processo de saída do sistema linear.
b) Determine a potência mensurável fisicamente desse mesmo sinal, entre 0 e 1 Hz.
c) Que tipo de processo aleatório poderia ser representado pela função de autocorrelação acima? Dê
detalhes suficientes para caracterizá-lo.
2
Solução a)
5
+ 2d( f ).
2
ìï 4 é5
ù
ïï f ê + 2d( f ) ú, | f |£ 20
2
SY ( f ) = H ( f ) S X ( f ) = í
ë2
û
ïï
ïî 0, | f |> 20.
S X ( f ) = Á {RX ( t ) }=
PT =
¥
ò- ¥
SY ( f )df =
20
ò- 20
5 5
é5
ù
f 4 ê + 2d( f ) údf = f
2 5
ë2
û
20
= 3, 2 ´ 106 watts.
- 20
Solução b)
5
+ 2d( f ).
2
ìï 4 é5
ù
ïï f ê + 2d( f ) ú, | f |£ 20
2
SY ( f ) = H ( f ) S X ( f ) = í
ë2
û
ïï
ïî 0, | f |> 20.
S X ( f ) = Á {RX ( t ) }=
P0,1 =
5 f5
2 5
1
= 1 watt.
- 1
Solução c)
Um ruído Gaussiano branco de média nula e densidade espectral 5/2 W/Hz somado a um sinal DC de
amplitude sqrt(2).
3ª questão (40 pontos) – entregar até as 17h de hoje
Sabemos que duas maneiras de se estimar a função de autocorrelação de um processo aleatório X(t) a
partir de n amostras tomadas de uma única função-amostra são:
n
RX ( t ) =
1
x j x( j + t ) mod n
nå
j= 1
RX ( t ) =
1
n- t
n- t
å
x j x j+ t
j= 1
Nessas expressões, xj = x(tj) é a j-ésima amostra da função-amostra x(t). Sabe-se que se o processo for
cicloestacionário, a primeira forma de estimação é a indicada, pois produz resultados exatos. No entanto,
a outra estimativa é mais indicada nos demais casos por ter implementação mais fácil, por produzir
resultados não polarizados e por produzir boas estimativas justamente onde normalmente estamos
interessados: na região em que a função vai de seu valor máximo até próximo de zero.
Uma forma alternativa de estimação da função de autocorrelação pode ser implementada da seguinte
maneira: uma longa função-amostra do processo X(t) é coletada e amostrada. O total de amostras é
dividido em N partes iguais com n amostras, como se cada parte passasse ser vista como uma subfunçãoamostra. As amostras de cada subfunção-amostra são então indexadas de 0 a n – 1 e as subfunçõesamostra são indexadas, por exemplo, de 1 a N. A função de autocorrelação estimada seria
N
1
RX ( k ) =
x j , u j x j , mod(u j + k , n ) , k = 0,1,..., n - 1,
Nå
j= 1
onde xj,k é a k-esima amostra da j-ésima subfunção-amostra e uj é o j-ésimo valor de uma variável
aleatória U uniformemente distribuída entre 0 e o número de pontos por pulso. A operação de módulo tem
3
por objetivo evitar erro no cálculo quando uj+k exceder n. Obs: a aleatorização pode ser como para este
processo específico (ao longo do intervalo de pulso) ou ao longo de toda a subfunção-amostra.
Pede-se:
a) Usando o MATLAB ou o MATHCAD, implemente a estimação acima para uma sequência
aleatória como aquela considerada na primeira questão. Para gerar a sequência, implemente um
método de geração de números aleatórios que julgar pertinente. Para analisar a precisão na
estimação, analise a influência do número de pontos por pulso, do número total de pulsos da
função amostra e do número de subfunções-amostra. Plote o resultado e comente sobre ele em
termos de sua proximidade com a função de autocorrelação exata.
b) Encontre no livro Digital Transmission do Prof. Dayan uma expressão que mostre a estimativa da
função de autocorrelação de maneira até certo ponto similar àquela analisada nesta questão.
Compare as expressões e comente.
Solução a)
Segue rotina em Mathcad. O parâmetro de tem maior influência na precisão da estimativa é o número de
subfunções-amostra, seguido pelo número pulsos por subfunção-amostra e do número de pontos por pulso
(este último influencia a resolução temporal da função de autocorrelação). Nota-se que há uma repetição
do pico da função de autocorrelação, o que ocorre por causa da operação de módulo da sua estimativa:
quando uj+k excede n, a segunda amostra volta a ocorrer no primeiro pulso, o que leva a uma nova
elevação da correlação.
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Solução b)
Trata-se da expressão (1.70). As funções-amostra lá indexadas se assemelham às subfunções-amostra
desta questão. Lá não há necessidade de nenhuma aleatorização ou operação de módulo, pois
implicitamente admite-se que as funções-amostra são de fato oriundas do processo sob análise, exibindo,
portanto, todas as características estatísticas que devem exibir. Por exemplo, se o processo aleatório é
definido de forma que não haja atraso nos instantes iniciais dos pulsos, as funções-amostras já exibirão
esta característica. Se o processo aleatório é definido de forma que haja atraso nos instantes iniciais dos
pulsos, as funções-amostras também já exibirão esta característica. Diferentes definições do processo
aleatório podem, portanto, levar a diferentes funções de correlação.
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