CONJUNTOS NUMÉRICOS CONTEÚDOS • Número naturais

CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONTEÚDOS

Número naturais

Números inteiros

Números racionais

Números irracionais

Números reais
AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS
Os números estão presentes nas mais diversas situações do nosso cotidiano. Ao realizar
as compras no supermercado, por exemplo, o envolvimento dos números está desde o
número da vaga, no estacionamento, até você finalizar a compra e realizar o pagamento,
seja este em cartão de crédito, débito ou dinheiro em espécie. É possível dizer que, para
ir ao supermercado, você já começa a envolver os números quando pensa na lista de
compras, afinal nela indicamos o que desejamos comprar e em qual quantidade.
Figura 1 – Compras do supermercado
Fonte: Microsoft Office
1 unidade de um alimento, 1 quilograma de outro, meio quilograma de outro, e assim
vamos acrescentado os itens que serão comprados e suas respectivas quantidades. Os
registros numéricos observados em uma lista como essa, envolvemos diversos conjuntos
numéricos.
Para indicar que será feita a compra de óleo, veja que foi utilizado o número 1, esse é
identificado como número natural. Para indicar a quantidade de café que será comprada,
foi utilizado a fração 1/4, essa escrita permiti entender que não será comprado um
quilograma inteiro, e sim parte dele, esse número é identificado como número racional.
Além dos números naturais e racionais, uma visita ao supermercado também nos coloca
em contato com os números inteiros negativos. Quando visitamos o setor de carnes,
congelados e frios, é comum sentirmos que o ambiente está um pouco mais frio que os
demais ambientes do estabelecimento, isso porque os produtos que ficam acondicionados
nesses locais precisam de uma temperatura mais baixa.
Para manter o resfriamento de algumas
espécies
de
peixes,
por
exemplo,
recomenda-se que ele seja devidamente
acondicionado
em
gelo
e
que
a
temperatura fique entre – 0,5 °C e – 2 °C.
A conservação inadequada pode interferir
na qualidade do peixe.
Figura 2 – Peixes
Fonte: Microsoft Office
Veja que um simples ato de ir ao supermercado apresenta diversas situações que nos
permite discutir a Matemática. No contexto aqui utilizado, nos atentamos em relacionar os
números envolvidos com seus respectivos conjuntos numéricos. E tantos outros
conteúdos poderiam ser discutidos, como unidades de medidas, por exemplo. Vamos
agora estudar algumas características dos conjuntos numéricos.
Características dos conjuntos numéricos
Naturais
Representado pelo símbolo IΝ . O conjunto é formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
IΝ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}
Este conjunto pode ainda ser representado em uma reta numérica, acompanhe:
0
1
2
3
4
5
Inteiros
Representado pelo símbolo  . O conjunto é formado pelos inteiros negativos, pelos
inteiros positivos e pelo zero.
 = {..., - 4, -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Representando-o em uma reta numérica, tem-se:
-2
-1
0
2
1
3
No conjunto dos números inteiros, realiza-se a comparação entre dois números
inteiros negativos ao observar qual é a distância de cada um deles em relação à
origem.
Por exemplo:
Entre os números – 3 e – 2, o maior deles é o – 2.
Assim, entre dois negativos, será maior aquele que apresentar a menor distância
em relação ao zero.
-3
-2
1
0
-1
2
Racionais
O conjunto dos números racionais é identificado como:
a
b


Q =  tal que , a  Z , b  Ζ e b  0
a Z
lê- se: a pertence ao conjunto
dos números inteiros.
Na lista de compras, o número que representa a quantidade de café que será comprada é
uma fração, essa fração é um dos elementos do conjunto dos números racionais.Veja que
a definição dos racionais permite concluir que qualquer número que possa ser
representado como uma fração, pertence a esse conjunto, portanto, os números inteiros
são elementos do conjunto dos racionais.
Veja outros exemplos de números que pertencem ao conjunto dos racionais:
0,5
- 1,25
3,14141414...

6
18
-3
2
1
2
Números racionais e a reta numérica
-4
-3
-2
-1
0
1
4
1
2
3
4
Observe, na reta, que entre os números 0 e 1 estão representados os números
1 1
, e
4 2
3
, mas esses não são os únicos valores entre esses dois inteiros. Somente entre 0 e a
4
fração
1
1 1
, têm-se racionais como
,
e muitos outros que representam números
4
8 16
maiores que zero e menores que 0,25.
1
4
1
16
Números irracionais
1
8
Observe o número 3,14141414...
Ele é racional e possui um número infinito de casas decimais que se repetem. Quando há
repetição periódica como a apresentada, seja ela de um dígito ou de uma sequência de
dígitos, identifica-se o número como uma dízima periódica. Portanto, 3,14141414... é
uma dízima periódica.
Toda dízima periódica pode ser representada na forma
a
, sendo a e b elementos do
b
conjunto dos números inteiros com b ≠ 0. Ou seja, as dízimas periódicas são números
racionais.
Observe, agora, um outro número decimal 1,7320508075688772935274463415...
Se continuarmos o preenchimento das casas decimais desse número, a sequência
formada apresentará uma infinidade de números que não se repetem. Neste caso, não
podemos escrever esse número na forma
a
, sendo a e b elementos do conjunto dos
b
inteiros com b ≠ 0. E, portanto, esse número não pode ser classificado como um número
racional. Ele é identificado como um dos elementos do conjunto dos números
irracionais.
Veja outros exemplos de números que pertencem ao conjunto dos irracionais

5
7
2
A união do conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais forma um novo
conjunto chamado de reais.
Números reais na reta numérica
Em relação ao conjunto dos números reais, observe que:

O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números reais.

O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números reais.

O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais.

O conjunto dos números irracionais está contido no conjunto dos números reais.
ATIVIDADES
1. Dentre os números apresentados no quadro, identifique apenas aqueles que fazem
parte do conjunto dos números naturais.
0
- 35
25
0,35
25
100
10
100
- 0,25
1.325
2. Construa uma reta numérica e represente os seguintes números:
-5
-2
2,5
1
7
1
5
- 1,75
4 ,3
3. Quais são os elementos do conjunto dos números racionais que podem ser
classificados como números naturais?
4. É possível identificar todos os números inteiros que há entre os números -1 e 2 ?
5. É possível identificar todos os números racionais que há entre 0 e 1?
6. Usando a calculadora, determine a raiz de 15 . No visor, apareceu um número racional
ou irracional?
INDICAÇÃO
Para estudar um pouco mais os conjuntos numéricos, consulte o link a seguir.
Conjuntos numéricos
Disponível em:
http://www.fundacoes.org.br/khanportugues/matematica/aritmetica_e_pre_algebra/fracoes
/conjuntos_numericos_1
REFERÊNCIAS
MICROSOFT Office for Windows 2009. Version 7. [S.l.]: Microsoft Corporation, 2009. 1
CD-ROM.
SÃO PAULO (Estado). Secretária da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos:
Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante.
Disponível em:
<http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/ConteudoCEEJA.aspx?MateriaID=78&tipo=Alu
no>. Acesso em: 18 jan. 2015. 10h.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 1: livro do
professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 10-21.
GABARITO
1. Os elementos que pertencem ao conjunto dos números naturais são todos os números
inteiros positivos e o zero. Dentre os valores apresentados, possuem essas
características os números 0, 25, 100, 1.325 e 25 .
Ao extrair a raiz de 25, obtém-se o número 5, este é um número inteiro positivo e,
portanto, pertencente ao conjunto dos números naturais. Assim
25 é um número
natural.
2. Para identificar a localização de números decimais como – 1,75, tenha como referência
os números inteiros que estão próximos ao valor. A localização do número irracional
7,
pode ser feita ao extrair essa raiz com o auxílio de uma calculadora e verificar que ele se
aproxima do número 2,65. Para representar essa raiz na reta numérica, também é
necessário considerar os valores aproximados, pois este é um número que apresenta
infinitas casas decimais.
3. Além do zero, todos os números inteiros e positivos são identificados como número
natural. Desta forma, todos os números inteiros e positivos do conjunto dos racionais,
também são números naturais. O zero também é um número racional e natural.
4.Sim, entre os números inteiros - 1 e 2 há os inteiros 0 e 1.
5.Não, entre dois números racionais há infinitos outros racionais.
6. Ao extrair a raiz de 15, observa-se, no visor da calculadora, uma sequência de dígitos
que não se repete, portanto, essa raiz é identificada como um número irracional.