Inequação do 1º Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Inequação do Primeiro
Grau
Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção
Definição
Equação x Inequação
•
Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso
usa-se o sinal de igual (=) entre eles.
• Uma inequação é uma desigualdade, então, em vez de um sinal
de igual, usa-se sinais de:
Inequação
Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações:
membro, termo, incógnita e solução.
Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se:
Incógnita
X
1º membro
X+2
2º membro
4
Numa inequação temos muitas soluções:
5 é solução de 5 + 2 > 4
3 é solução de 3 + 2 > 4
OBS.: Uma inequação está resolvida quando se determina o
conjunto solução da mesma.
Inequação
Toda sentença matemática que contém um ou mais
elementos desconhecidos e que representa uma
desigualdade é denominada inequação.
Não são inequações:
 5² + 5 > 3² - 2. Embora seja desigualdade, não
possui elemento desconhecido.
 3x + 1 = 45 - 4x. É uma equação.
Princípios Das Desigualdades
Princípio Aditivo
Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg
no outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um
dos pratos, a situação não se altera.
Matematicamente
5>3
5+2>3+2
ou
5–2>3-2
Princípio Multiplicativo
Multiplicação por um número positivo:
Observando que 2 é menor
matematicamente escrevemos: 2 < 3
que
3
Podemos multiplicar ambos os membros por
qualquer número positivo, que a desigualdade
não se alterará:
2x6<3x6
2 x 0,01 < 3 x 0,01
Princípio Multiplicativo
Podemos
multiplicar
ambos os membros de
uma inequação por um
n.º positivo, mantendo o
sinal da desigualdade,
que
obtemos
uma
inequação equivalente à
primeira.
Princípio Multiplicativo
Multiplicação por um número negativo:
Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os
lados por -1 verifica-se que:
(-1) x 2 = -2
e
(-1) x 3 = -3
Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao
multiplicarmos uma inequação por um número
negativo, deve-se inverter o sinal da
desigualdade.
2 x (-1) < 3 x (-1)
-2 < -3
Princípio Multiplicativo
Podemos
multiplicar
ambos os membros de
uma inequação por um
n.º negativo,
INVERTENDO o sinal
da desigualdade, que
obtemos
uma
inequação equivalente
à primeira.
Inequações
Consideremos a seguinte situação:
Um retângulo tem y metros de comprimento e x
metros de largura, enquanto um triângulo
equilátero tem 3 m de lado. Qual a sentença
matemática que podemos escrever para
expressar o fato de o perímetro do retângulo ser
maior que o perímetro do triângulo equilátero?
Inequações
Resolução:
Sendo p1 o perímetro do retângulo e p2 o
perímetro do triângulo, temos:
p1 = 2x + 2y e p2 = 9
Como, de acordo com a situação, devemos ter
p1 > p2, a sentença matemática pedida é:
2x + 2y > 9
Inequações do Primeiro Grau
Exemplos:
Vamos resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7,
sendo U =
Resolução:
7x - 4x > 7 - 6;
3x > 1 .: x > 1/3
Podemos dizer que todos os números racionais
maiores que 1/3 formam o conjunto solução da
inequação dada, que representamos por:
Inequações Do Primeiro Grau
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau
por meio do estudo do sinal de uma função do
1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos.
Inequações Do Primeiro Grau
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
2x - 7 < 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x=3
x
(-1)
Inequações Do Primeiro Grau
Exemplo 3: Resolver a inequação (x+3) > (-x-1).
(x+3) > (-x-1) ⇔ x+3 > -x-1 ⇔
1 > 0 ⇔ 2x + 4 > 0
x+x+3+
Seja y = 2x + 4
2x + 4 = 0 x = -2
Estudando os sinais da função:
Sistemas de Inequações do 1º Grau
Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução
satisfaz a todas, simultaneamente.
Para resolver um sistema de inequações procedemos da
seguinte maneira:
• Resolvemos individualmente cada inequação;
• O conjunto solução do sistema é o conjunto resultado da
intersecção das inequações resolvidas individualmente.
Sistemas de Inequações Do 1º Grau
Inequações Simultâneas
 Sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade.
Veja o exemplo: -3 < x < 4
Nessa inequação, os valores de x variam de –3 até 4.
O processo de resolução das inequações simultâneas é
semelhante ao do sistema de inequações.
1.
Separamos a inequação em duas desigualdades;
2.
Achamos as soluções individuais;
3.
A solução procurada é determinada pela intersecção das
respostas individuais.
Inequações Simultâneas
Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação
simultânea
-x + 3 < x+ 1 < 2x
Resolução
Separando as desigualdades, temos:
-x + 3 < x + 1
inequação 1
x+1 < 2x
inequação 2
Inequação Simultâneas
Resolução (continuação)
Encontrando o conjunto solução de cada
inequação, individualmente, temos:
Inequação Simultâneas
Resolução (continuação)
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das
soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2:
1 ∩ 2 = {x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x > 1}= {x∈ IR | x > 1}
Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais.
Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >1} = ]1, +∞)
Inequações Produto e Quociente
Sentenças matemáticas constituídas por
desigualdades com produto ou quociente de
funções. Essas inequações em geral, tem
sua solução baseada no estudo da variação
do sinal de uma função do 1o grau e nas
propriedades dos sinais do produto e do
quociente dos números reais.
Inequação Produto
Exemplo: Encontre o conjunto solução da
inequação produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0
Resolução:
Cada um dos fatores (x-4) (x+2) representa uma
função do 1o grau. Assim, iniciamos pelo estudo
dos sinais dessas expressões que chamaremos
de y e z, respectivamente.
Para y = x-4 e z = x+2 temos:
(1) Se y = x - 4, então sua raiz é obtida
(2) Se z = x+2 então sua raiz é
fazendo x - 4 = 0 ⇔ x = 4.
obtida fazendo x + 2 = 0 ⇔ x = -2.
Inequação Produto
Resolução (Continuação)
(1)
(2)
A solução da inequação produto é obtida a partir
da integração das análises das variações de
sinais de y e z, representadas acima. Após,
aplicamos a regra de sinais do produto dos
números reais e analisamos o resultado final
encontrado.
Inequação Produto
Resolução (Continuação)
y
z
yz
Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está
definida no intervalo real
{ x ∈ IR | x < -2 ou x > 4}
Inequação Quociente
Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação
quociente do 1º grau:
<0
Resolução
A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação
produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou
multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de
sinais. Assim, cada termo do quociente
representa
uma expressão do 1o grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais
dessas expressões que chamamos de a e b, respectivamente.
Inequação Quociente
Resolução (Continuação)
Para a = x-1 e b = x+5 temos:
(1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida
fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1.
(2) Se b = x+5 então sua raiz é
obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5.
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das
variações de sinais das expressões a e b, representadas acima. Após, aplicamos
a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final
encontrado.
Inequação Quociente
Resolução (Continuação)
Observe:
Assim, a inequação quociente
real
< 0 está definida no intervalo
{ x ∈ IR | -5 < x < 1}
Obrigada pela atenção!
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