formula matemática matemática -caso

Um modo de obter algumas fórmulas de matemática financeira
Material elaborado com base em:
CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos: matemática
financeira; engenharia econômica; tomada de decisão; estratégia empresarial. 9.ed. São Paulo:
Atlas, 2000. 458 p. /Capítulos 1, 2, 3, 4 e 5./
NEWNAN, Donald G.; LAVELLE, Jerome P. Fundamentos de engenharia econômica. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000. 359 p. /pp. 63-6; tradução de Alfredo Alves de Farias;
revisão técnica de Alceu Salles Camargo Jr.; original em língua inglesa: Engineering Press, 1998./
F : montante ou valor futuro
F’ : montante ou valor futuro auxiliar para efeito de derivação de fórmula
P : principal ou valor presente
P’ : valor presente auxiliar para efeito de derivação de fórmula
J : juros acumulados
i : taxa efetiva de juros
r : taxa nominal de juros
g : taxa de gradiente geométrico
n : número de períodos; em sistemas de amortização de dívidas, caracterizam o horizonte de
planejamento.
m : número de períodos (menor ou igual a n); número de vezes que o período de capitalização
está contido na unidade de tempo da taxa nominal.
a, b : referências para uso de fórmulas auxiliares
Sn : soma dos termos de uma progressão geométrico finita
a1 : primeiro termo de uma progressão geométrica finita
an : último termo de uma progressão geométrica finita
q : razão de progressão geométrica
e : número base dos logaritmos naturais
A : valor de cada evento (recebimento ou desembolso) de uma série uniforme postecipada
A’ : valor de cada evento (recebimento ou desembolso) de uma série uniforme antecipada
G : valor característico (primeiro valor não nulo) de uma série em gradiente aritmético
X : valor característico (primeiro valor não nulo) de uma série em gradiente geométrico
i’ : taxa global de juros
Pcorr : principal corrigido monetariamente
k : referência ao k-ésimo período
θ : taxa de inflação, de correção monetária ou de variação cambial
θeq m : taxa de inflação, de correção monetária ou de variação cambial média equivalente
p : prestação (constante)
pk : prestação referente ao k-ésimo período
ak : amortização referente ao k-ésimo período
jk : juros referentes ao k-ésimo período
SDk : saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação
c.m.k : correção monetária referente ao k-ésimo período
pc.m. k: prestação corrigida monetariamente referente ao k-ésimo período
SDcorr. k: saldo devedor corrigido referente ao k-ésimo período
jc.m. k : juros corrigidos monetariamente referentes ao k-ésimo período
c.m.g k : correção monetária gerada referente ao k-ésimo período
c.m.p k : correção monetária paga referente ao k-ésimo período
pk S.F. : prestação referente ao k-ésimo período pelo Sistema Francês
pk S.H. : prestação referente ao k-ésimo período pelo Sistema Hamburguês
ak S.F. : amortização referente ao k-ésimo período pelo Sistema Francês
Material elaborado com base em
Casarotto e Kopittke (2000) e em Newnan e Lavelle (2000 [1998])
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ak S.H. : amortização referente ao k-ésimo período pelo Sistema Hamburguês
jk S.F. : juros referentes ao k-ésimo período pelo Sistema Francês
jk S.H. : juros referentes ao k-ésimo período pelo Sistema Hamburguês
SDk S.F. : saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação referente ao
Sistema Francês
SDk S.H. : saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação referente ao
Sistema Hamburguês
Fn = P + J n
F = P+J
F1 = P + i ⋅ P
F1 = P ⋅ (1 + i )
F2 = P + i ⋅ P + i ⋅ P
F2 = P ⋅ (1 + i + i )
F2 = P ⋅ (1 + 2 ⋅ i )
F3 = P + i ⋅ P + i ⋅ P + i ⋅ P
F3 = P ⋅ (1 + i + i + i )
F2 = P ⋅ (1 + 3 ⋅ i )
...
Fn = P ⋅ (1 + n ⋅ i )
F = P ⋅ (1 + n ⋅ i )
1
P=F⋅
1+ n ⋅i
F = P+J
P ⋅ (1 + n ⋅ i ) = P + J
J = P ⋅i ⋅ n
Jn = P ⋅i ⋅ n
1
1
1
1
+ A⋅
+ ... + A ⋅
+ A⋅
1+ i
1+ 2⋅i
1 + (n − 1) ⋅ i
1+ n ⋅i
 1
1
1
1 
P = A⋅ 
+
+ ... +
+
1 + (n − 1) ⋅ i 1 + n ⋅ i 
1 + i 1 + 2 ⋅ i
n
1
P = A⋅∑
k =1 1 + k ⋅ i
1
A = P⋅ n
1
∑
k =1 1 + k ⋅ i
P = A⋅
F = P+J
F1 = P + i ⋅ P
F1 = P ⋅ (1 + i )
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F2
F2
F2
F2
F2
= P + i ⋅ P + i ⋅ F1
= P + i ⋅ P + i ⋅ P ⋅ (1 + i )
= P ⋅ [1 + i + i ⋅ (1 + i )]
= P ⋅ [(1 + i ) + i ⋅ (1 + i )]
= P ⋅ (1 + i )⋅ (1 + i )
F2 = P ⋅ (1 + i )
F3 = P + i ⋅ P + i ⋅ F1 + i ⋅ F2
2
F3 = P + i ⋅ P + i ⋅ P ⋅ (1 + i ) + i ⋅ P ⋅ (1 + i )
2
[
]
= P ⋅ [(1 + i ) + i ⋅ (1 + i ) + i ⋅ (1 + i ) ]
= P ⋅ [(1 + i )⋅ (1 + i ) + i ⋅ (1 + i ) ]
= P ⋅ [(1 + i ) + i ⋅ (1 + i ) ]
= P ⋅ [(1 + i ) + i ⋅ (1 + i ) ]
F3 = P ⋅ 1 + i + i ⋅ (1 + i ) + i ⋅ (1 + i )
2
F3
F3
F3
F3
2
2
2
2
2
2
F3 = P ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i )
2
F3 = P ⋅ (1 + i )
...
3
Fk = P + J k
Fk +1 = P + J k +1
Fk +1 = Fk + i ⋅ Fk
Fk +1 = Fk ⋅ (1 + i )
...
n
Fn = P ⋅ (1 + i )
F = P ⋅ (1 + i )
n
F = P+J
n
P ⋅ (1 + i ) = P + J
J = P ⋅ (1 + i ) − P
n
[
]
J = P ⋅ (1 + i ) − 1
n
[
]
J n = P ⋅ (1 + i ) − 1
n
F = P ⋅ (1 + i )
1
P=F⋅
(1 + i )n
n
Fk + x = Fk + (Fk +1 − Fk ) ⋅ x
F = P ⋅ (1 + i )
n
F = A ⋅ (1 + i )
n −1
+ A ⋅ (1 + i )
n−2
+ ... + A ⋅ (1 + i ) + A ⋅ (1 + i ) + A
2
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[
]
(1)
F = A ⋅ (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) + (1 + i ) + 1
(1) × (1 + i), i > 0:
(1 + i )⋅ F = (1 + i )⋅ A ⋅ (1 + i )n−1 + (1 + i )n− 2 + ... + (1 + i )2 + (1 + i ) + 1
n −1
n−2
2
[
[
(1 + i )⋅ F = A ⋅ (1 + i ) + (1 + i )
(2) – (1):
n
i ⋅ F = A ⋅ (1 + i ) − 1
[
A=F⋅
3
2
]
(2)
]
(1 + i )
n
F = A⋅
]
+ ... + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i )
n −1
n
−1
i
i
(1 + i )n − 1
i = 0:
n
F = P ⋅ (1 + i )
F=P
F = A + A + ... + A + A + A
F = A⋅n
1
A=F⋅
n
i > 0:
F = A⋅
(1 + i )n − 1
i
F = P ⋅ (1 + i )
n
P ⋅ (1 + i ) = A ⋅
n
(1 + i )n − 1
(1 + i ) − 1
n
i ⋅ (1 + i )
n
i ⋅ (1 + i )
A = P⋅
(1 + i )n − 1
i
n
P = A⋅
i = 0:
F = A⋅n
P=F⋅
1
(1 + i )n
P=F
P = A⋅n
1
A = P⋅
n
F = G ⋅ (1 + i )
n −1
[
+ 2 ⋅ G ⋅ (1 + i )
+ ... + (n − 3) ⋅ G ⋅ (1 + i ) + (n − 2 ) ⋅ G ⋅ (1 + i ) + (n − 1)⋅ G
n−2
2
]
F = G ⋅ (1 + i ) + 2 ⋅ (1 + i ) + ... + (n − 3) ⋅ (1 + i ) + (n − 2 ) ⋅ (1 + i ) + (n − 1)
(3)
(3) × (1 + i), i > 0:
(1 + i )⋅ F = G ⋅ (1 + i )⋅ (1 + i )n−1 + 2 ⋅ (1 + i )n−2 + ... + (n − 3)⋅ (1 + i )2 + (n − 2)⋅ (1 + i ) + (n − 1)
n −1
n− 2
2
[
(1 + i )⋅ F = G ⋅ [(1 + i )n + 2 ⋅ (1 + i )
n −1
+ ... + (n − 3) ⋅ (1 + i ) + (n − 2) ⋅ (1 + i )
3
2
]
+ (n − 1)⋅ (1 + i )](4)
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(4) – (3):
n
n −1
3
2
i ⋅ F = G ⋅ (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) + ⋅(1 + i ) + (1 + i ) − n + 1
[
i ⋅ F = G ⋅ [(1 + i )
n
(1 + i )
n
i⋅F =G⋅
i
+ (1 + i )
n −1
−1
]
]
+ ... + (1 + i ) + ⋅(1 + i ) + (1 + i ) + 1 − n ⋅ G
3
2
− n ⋅G
 (1 + i )n − 1 n 
− 
F = G⋅
i
i2

−1
 (1 + i )n − 1 n 
− 
G = F ⋅
i
i2

i = 0:
de (3):
F = G ⋅ [1 + 2 + ... + (n − 3) + (n − 2 )⋅ +(n − 1)]
a + an
⋅n
Sn = 1
2
1 + (n − 1)
⋅n
F = G⋅
2
n2
F =G⋅
2
2
G=F⋅ 2
n
i > 0:
 (1 + i )n − 1 n 
− 
F = G⋅
i
i2

n
F = P ⋅ (1 + i )
 (1 + i )n − 1 n 
n
− 
P ⋅ (1 + i ) = G ⋅ 
i
i2

 (1 + i )n − 1 n 
1
− ⋅
P =G⋅
2
i  (1 + i )n
i

 (1 + i )n − 1 n 
1 
− ⋅
G = P ⋅ 

2
i  (1 + i )n 
i

i = 0:
n2
F =G⋅
2
1
P=F⋅
(1 + i )n
P=F
n2
P =G⋅
2
2
G = P⋅ 2
n
−1
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i > 0:
F = A⋅
(1 + i )n − 1
i
 (1 + i )n − 1 n 
− 
F = G⋅
i
i2

(1 + i )n − 1 = G ⋅  (1 + i )n − 1 − n 
A⋅


i
i
i2

 (1 + i )n − 1 n 
i
⋅
− 
A=G⋅

i
(1 + i )n − 1  i 2
 (1 + i )n − 1

i
n
i
⋅
− ⋅
A =G⋅

2
n
n
i
(1 + i ) − 1 i (1 + i ) − 1


1
n
A = G⋅ −

n
 i (1 + i ) − 1

1
n
G = A⋅  −

n
 i (1 + i ) − 1
−1
i = 0:
F = A⋅n
n2
=
⋅
F G
2
A⋅ n = G ⋅
n2
2
n
2
2
G = A⋅
n
A=G⋅
(1 + g ) + ... + X ⋅ (1 + g ) + X ⋅ (1 + g )
1
1+ g
+X⋅
+X⋅
2
(1 + i )
(1 + i )3
(1 + i )n−1
(1 + i )n
(1 + i )
2
P=X⋅
P=
n −1
2
(1 + g )n− 2 + (1 + g )n−1 
X  1 + g (1 + g )
+
+
+
⋅ 1 +
...

1 + i  1 + i (1 + i )2
(1 + i )n−2 (1 + i )n−1 
an  a 
= 
bn  b 
P=
n−2
n
2
n−2
n −1
X  1+ g 1+ g 
1 + g  
1+ g 
+
+
+
+
⋅ 1 +
...
 




1 + i  1 + i  1 + i 
 1 + i  
 1+ i 
i g:
Sn =
a n ⋅ q − a1
q −1
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n −1
1+ g
1+ g 
−1
 ⋅

X  1+ i 
1+ i
P=
⋅
1+ g
1+ i
−1
1+ i
n
1+ g 
 −1

 1+ i 
P=X⋅
(1 + i )⋅ 1 + g − 1 ⋅ (1 + i )
1+ i
n
1+ g 
 −1

1+ i 

P=X⋅
1+ g −1 − i
n
1 + g 

 −1
1+ i 

P=X⋅
g −i
g −i
X = P⋅
n
1+ g 
 −1

 1+ i 
i = g:
2
n−2
n −1
(
(
X  1 + g (1 + g )
1+ g)
1+ g) 
+
⋅ 1 +
+ ... +
+
P=

1 + i  1 + i (1 + i )2
(1 + i )n−2 (1 + i )n−1 
X
P=
⋅ [1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1]
1+ i
X
P=
⋅n
1+ i
n
P=X⋅
1+ i
1+ i
X = P⋅
n
P = A⋅
(1 + i )n − 1
n
i ⋅ (1 + i )
n → ’
(1 + i )n − 1
n
n →∞
i ⋅ (1 + i )
(1 + i )n − 1
P = A ⋅ lim
n → ∞ i ⋅ (1 + i )n
(1 + i )n − 1
(1 + i )n
P = A ⋅ lim
n→ ∞ i (1 i )n
⋅ +
(1 + i )n
P = lim A ⋅
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(1 + i )n − 1
(1 + i )n (1 + i )n
P = A ⋅ lim
n
n→∞
i ⋅ (1 + i )
(1 + i )n
1
i
A = P ⋅i
P = A⋅
i > 0:
F ' = A'⋅
(1 + i )n − 1
i
F = P ⋅ (1 + i )
n
F = F '⋅(1 + i )
1
F = A'⋅
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i )
i
i
1
⋅
A' = F ⋅
n
(1 + i ) − 1 1 + i
(1 + i )n − 1
n
i ⋅ (1 + i )
n
F = P ⋅ (1 + i )
1
P = P '⋅(1 + i )
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i )
P = A'⋅
(1 + i )n
n
(
1 + i) − 1
P = A'⋅
(1 + i )n−1
n −1
i ⋅ (1 + i )
A' = P ⋅
(1 + i )n − 1
P' = A'⋅
F = A⋅
F = A'⋅
(1 + i )n − 1
i
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i )
(1 + i )
n
A⋅
i
−1
i
A = A'⋅(1 + i )
= A'⋅
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i )
i
(5)
i = 0:
De (5):
A = A' ∴:
F = A'⋅n
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F
n
P = A'⋅n
P
A' =
n
A' =
i=
r
(pela definição de taxa nominal)
m
F = P ⋅ (1 + i )
n
F = P ⋅ (1 + i )
1
(6)
(7)
F = P ⋅ (1 + im )
(6) = (7) ∴:
1
m
P ⋅ (1 + i ) = P ⋅ (1 + i m )
Se P = 0 ⇒ 0 ≡ 0
m
Se P 
m
1 + i = (1 + im )
(8)
F = P ⋅ (1 + i ')
F = Pcorr ⋅ (1 + i )
Pcorr = P + c.m.
(9)
c.m. = θ ⋅ P ∴:
Pcorr = P + θ ⋅ P
Pcorr = P ⋅ (1 + θ )
F = P ⋅ (1 + θ)⋅ (1 + i ') (10)
(9) = (10) ∴:
P ⋅ (1 + i ') = P ⋅ (1 + θ )⋅ (1 + i ')
Se P = 0 ⇒ 0 ≡ 0
Se P 
1 + i ' = (1 + θ) ⋅ (1 + i ')
1 + θ = (1 + θ1 )⋅ (1 + θ 2 )⋅ ... ⋅ (1 + θ k )⋅ ... ⋅ (1 + θ m −1 ) ⋅ (1 + θ m )
m
1 + θ = ∏ (1 + θ k )
(11)
k =1
Por analogia entre (8) e (11):
m
1 + θ = 1 + θ eq m
(
)
F = P ⋅ (1 + i )
r
i=
m
m
1 + i = (1 + im )
n
(12)
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r

1 + i = 1 + 
 m
m → ’
m
r

1 + i = lim1 + 
n →∞
 m
m
b
 a a
lim1 +  = e
b →∞
 b
r

1 + i = lim1 + 
n →∞
 m
m⋅
m
r
r
⋅r
r r

1 + i = lim1 + 
n →∞
 m
r
1+ i = e
i = er −1
(13)
Substituindo (13) em (12):
F = P ⋅ (1 + e r − 1)
F = P ⋅ e r ⋅n
P = F ⋅ e − r ⋅n
n
i > 0:
F = A⋅
(1 + i )n − 1
i
e −1
F = A⋅ r
e −1
er −1
A = F ⋅ r ⋅n
e −1
(1 + i )n − 1
P = A⋅
n
i ⋅ (1 + i )
r ⋅n
P = A⋅
(1 + e − 1) − 1
(e − 1)⋅ (1 + e − 1)
P = A⋅
e r ⋅n − 1
e r − 1 ⋅ e r ⋅n
n
r
r
(
(e
A = P⋅
F = A'⋅
r
r
)
− 1)⋅ e
n
r ⋅n
e r ⋅n − 1
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i )
i
(1 + e
F = A'⋅
− 1) − 1
⋅ (1 + e r − 1)
r
e −1
e r ⋅n − 1 r
F = A'⋅ r
⋅e
e −1
r
n
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A' = F ⋅
e r − 1 −r
⋅e
e r ⋅n − 1
P = A'⋅
(1 + i )n − 1
(1 + i )n−1
(1 + e − 1) − 1
(1 + e − 1)
n
r
P = A'⋅
n −1
r
e r ⋅n − 1
e r ⋅(n −1)
e r⋅(n −1)
A' = P ⋅ r⋅n
e −1
P = A'⋅
A=
A=
A=
A' =
A'⋅(1 + i )
A'⋅ 1 + e r − 1
A'⋅e r
A ⋅ e −r
(
)
pk = ak + jk
n
P = ∑ ak
i =1
j k = i ⋅ SDk −1
k
SDk = P − ∑ a k
i =1
i > 0:
p = P ⋅ (A / P; i; n )
i ⋅ (1 + i )
(1 + i )n − 1
n
p = P⋅
k
SDk = P − ∑ a k
i =1
SDk = p ⋅ (P / A; i; n − k )
i ⋅ (1 + i ) (1 + i ) − 1
⋅
(1 + i )n − 1 i ⋅ (1 + i )n−k
n
SDk = P ⋅
n−k
(1 + i )n ⋅ [(1 + i )n−k − 1]
(1 + i )n−k ⋅ [(1 + i )n − 1]
k
n− k
1 + i ) ⋅ [(1 + i ) − 1]
(
= P⋅
(1 + i )n − 1
(1 + i )n − (1 + i )k
= P⋅
(1 + i )n − 1
SDk = P ⋅
SDk
SDk
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j k = i ⋅ SDk −1
jk
n
k −1
1 + i ) − (1 + i )
(
=i⋅P⋅
(1 + i )n − 1
ak = p − jk
i ⋅ (1 + i )
(1 + i )n − (1 + i )k −1
(1 + i )n − 1
(1 + i )n − 1
 (1 + i )n − [(1 + i )n − (1 + i )k −1 ]
= i⋅P⋅

(1 + i )n − 1


n
n
k −1
(1 + i ) − (1 + i ) + (1 + i )
= i⋅P⋅
(1 + i )n − 1
k −1
i ⋅ (1 + i )
= P⋅
(1 + i )n − 1
n
ak = P ⋅
ak
ak
ak
−i⋅P⋅
i = 0:
p = P ⋅ (A / P; i; n )
1
p = P⋅
n
ak = p − jk
1
ak = P ⋅ − 0
n
1
ak = P ⋅
n
SDk = p ⋅ (P / A; i; n − k )
1
SDk = P ⋅ ⋅ (n − k )
n
n k
SDk = P ⋅  − 
n n
 k
SDk = P ⋅ 1 − 
 n
j k = i ⋅ SDk −1
 k −1
j k = i ⋅ P ⋅ 1 −

n 

i = 0 ∴ j k = zero
a=
P
n
k
SDk = P − ∑ a k
i =1
P
n
 k
SDk = P ⋅ 1 − 
 n
SDk = P − k ⋅
Material elaborado com base em
Casarotto e Kopittke (2000) e em Newnan e Lavelle (2000 [1998])
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Um modo de obter algumas fórmulas de matemática financeira
j k = i ⋅ SDk −1
 k −1
j k = i ⋅ P ⋅ 1 −

n 

pk = ak + jk
P
 k − 1
+ i ⋅ P ⋅ 1 −

n
n 

1
 k − 1 
p k = P ⋅  + i ⋅ 1 −

n 

n
pk =
p k S.F. + p k S.H.
2
a
+ a k S.H.
a k = k S.F.
2
j k S.F. + j k S.H.
jk =
2
SDk S.F. + SDk S.H.
SDk =
2
pk =
k < n:
a k = zero
k
SDk = P − ∑ a k
i =1
SDk = P − 0
SDk = P
j k = i ⋅ SDk −1
jk = i ⋅ P
pk = ak + jk
pk = 0 + i ⋅ P
pk = i ⋅ P
k = n:
ak = P
k
SDk = P − ∑ a k
i =1
SDk = P − P
SDk = zero
j k = i ⋅ SDk −1
jk = i ⋅ P
pk = ak + jk
pk = P + i ⋅ P
p k = P ⋅ (1 + i )
Material elaborado com base em
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Um modo de obter algumas fórmulas de matemática financeira
c.m.k = θk ⋅ (SDk −1 + jk )
p c.m. k = p k + c.m.k
SDcorr . k = SDk −1 ⋅ (1 + θ k )
j c.m. k = i ⋅ SDcorr . k
c.m. g k = θ k ⋅ SDk −1 + j c.m. k − j k
c.m. p k = p c.m. k − p k
A = P⋅
1
n
1
∑1+ k ⋅ i
k =1
p = P⋅
1
n
1
∑1+ k ⋅i
k =1
ak =
p
1+ k ⋅i
P⋅
ak =
1
n
1
∑1+ k ⋅i
k =1
1+ k ⋅i
1
n
1
∑
1+ k ⋅i
ak = P ⋅ k =1
1+ k ⋅i
j p k = pk − ak
1
n
− P ⋅ k =1
1
1+ k ⋅i
∑
+
⋅
k
i
1
k =1
1




n
1


∑


1
+
⋅
k
i
1
= P ⋅ n
− k =1

1+ k ⋅i 
∑ 1
 k =1 1 + k ⋅ i





jpk = P ⋅
jpk
1
1
∑1+ k ⋅ i
n
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Um modo de obter algumas fórmulas de matemática financeira
jpk
jpk




1
1
1 

= P⋅ n
− n
⋅

1
1
1+ k ⋅i 
∑

∑
 k =1 1 + k ⋅ i k =1 1 + k ⋅ i

1
1 

= P⋅ n
⋅ 1 −

1
 1+ k ⋅i 
∑
k =1 1 + k ⋅ i
k
SDk = P − ∑ a k
k =1
1
n
k
SDk = P − ∑ P ⋅
k =1
1
∑1+ k ⋅i
k =1
1+ k ⋅i
j g k = i ⋅ SDk −1
jgk
1


n

1

∑ 1+ k ⋅i
k −1
k =1

= i⋅P − ∑ P ⋅
1+ k ⋅i
k =1














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