TEOREMA DOS BICOS – Aula 01 – 2017

TEOREMA DOS BICOS – Aula 01 – 2017
ÂNGULOS e RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Prof. Antonio Otavio (Prof. Tuca)
POTI – Pirassununga.
1 - Ângulos
Ângulo é a região de um plano determinada pelo encontro de duas semirretas que
possuem uma origem em comum, chamada vértice. Trata-se de um dos conceitos
fundamentais da matemática para o estudo da geometria.
1.1 – Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é igual a 90º.
Temos: 𝛼 + 𝛽 = 90°
1.2 – Ângulos suplementares
Quando a soma da medida de dois ângulos é igual a 180° eles
são chamados de suplementares.
Temos: 𝛼 + 𝛽 = 180°
1.3 – Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV)
quando os lados de um são semirretas opostas ao
lado do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes,
ou seja, eles têm a mesma medida.
Demonstração:
2 - Duas retas paralelas cortadas por uma transversal
Sejam 𝒓 e 𝒔 duas retas paralelas situadas em
um mesmo plano, ambas concorrentes com
uma reta 𝒕. A reta 𝒕 é uma reta transversal às
retas 𝒓 e 𝒔.
Os pares a, g e d, f são chamados alternos
externos, enquanto os pares b, h e c, e são
denominados alternos internos.
Os pares a, f e d, g são chamados colaterais
externos, e os pares b, e e c, h são
denominados colaterais internos.
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Destacamos, ainda, os pares a, e; b, f; c, g e d, h, chamados ângulo correspondentes.
Os pares de ângulos alternos (ou correspondentes) são formados por ângulos
congruentes. Já, os pares de ângulos colaterais são formados por ângulo suplementares.
Note também que os pares de ângulos a, c; b, d; e, g e h, f são opostos pelo vértice
(OPV).
3 - Teorema dos bicos
Se entre duas retas paralelas traçarmos segmentos formando “bicos”, a soma das
medidas dos ângulos com vértices, na direção dessas retas, à direita é igual à soma das
medidas dos ângulos com vértices, na direção oposta, independentemente da
quantidade de tais ângulos.
Demonstração: Na figura, sabendo que 𝑟 e 𝑠 são retas paralelas, mostre que
𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3 = 𝑏1+ 𝑏2+ 𝑏3
Problema 1. Na figura abaixo, os segmentos 𝐶𝐷 e 𝐴𝐵 são paralelos. Determine o valor
do ângulo 𝐸𝐹̂ 𝐵
Problema 2. Sabendo que 𝑟 // 𝑠, calcule a medida, em graus, do ângulo 𝑥.
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Problema 3. Determine o valor de 𝛼, sabendo que as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas.
Problema 4. Determine o valor de 𝛼 sabendo que as retas 𝑠 e 𝑡 são paralelas.
Problema 5. Sabendo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado, determine a medida do ângulo 𝐴𝐹̂ 𝐸.
Problema 6. Sejam 𝑟 e 𝑠 retas paralelas. Determine a medida de 𝛽 indicada na figura.
𝛼
𝛼
𝛽
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Problema 7. Três quadrados são colocados pelos seus vértices entre si e a dois
bastões verticais, como mostra a figura.
A medida do ângulo x é:
Problema 8. Sabendo que AB é paralelo a CD, determine a medida do ângulo 𝑥.
Problema 9. Na figura abaixo, 𝑟//𝑠. Determine os valores de 𝑥 e 𝑦.
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