Lista 4 - Álgebra Comutativa - USP - IME-USP

Introdução à Álgebra Comutativa
Lista 7: Extensões Integrais
grais, mostre que B1 × B2 × · · · × Bn é uma Aálgebra integral.
Ex. 1 — Mostre que:
1. Se I um ideal de A, então o quociente A/I
é uma A-álgebra finita.
Ex. 6 — Sejam B ⊇ A anéis tais que B − A é
um conjunto multiplicativo, então A é integralmente fechado em B.
2. Se f : A → B e g : B → C são álgebras
finitas, então g ◦ f : A → C é finita.
Ex. 7 — Sejam B ⊇ A uma extensão integral,
m um ideal maximal de B e n = m ∩ A. Nesse
caso Bm ⊇ An é necessariamente integral?
3. Se f : A → B é uma álgebra finita e
g : A → C é uma álgebra qualquer então a álgebra obtida por mudança de base
f ⊗ id : A ⊗A C ' C → B ⊗A C dada
por c 7→ 1 ⊗ c é finita. Em particular,
se S ⊆ A é um conjunto multiplicativo,
a localização S−1 f : S−1 A → S−1 B é uma
álgebra finita.
Ex. 8 — Seja A um subanel de um domínio de
integridade B e seja C(A, B) o fecho integral de
A em B.
1. Sejam f e g polinômios mônicos em B[x]
tal que f · g ∈ C(A, B)[x]. Mostre que
f, g ∈ C(A, B)[x].
2. Prove que C(A, B)[x] é o fecho integral de
A[x] em B[x].
Ex. 2 — Mostre que todo DFU é integralmente fechado.
Ex. 3 — Sejam A ⊆ B ⊆ C anéis. Suponha
que A é Noetheriano, que C é f.g. como Aálgebra e que C é f.g. como um B-módulo ou
integral sobre B. Então B é f.g. como A-álgebra.
Ex. 9 — Seja A = C[x, y]/(y2 − x2 (x + 1)).
Mostre que as localizações Am são integralmente
fechadas para todos os ideais maximais m de A
com exceção de m = (y, x).
Ex. 4 — (Teorema de Normalização
de Noether, versão II, corpo infinito) Seja
k um corpo infinito e seja A 6= 0 uma k-álgebra
f.g. Prove que existem elementos a1 , . . . , ak ∈ A
que são algebricamente independentes sobre k e
tal que k[a1 , . . . , ak ] ⊆ A é uma extensão finita.
Ex. 10 — Mostre que C[x, y]/(y2 − x3 + x) é
integralmente fechado.
Ex. 11 — Mostre que todas as cadeias maximais de primos de k[x1 , . . . , xn ] tem o mesmo
comprimento. Conclua que dim k[x1 , . . . , xn ] =
n.
Ex. 5 — Sejam B1 , B2 , . . . , Bn A-álgebras inte-
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