Indução Matemática

Indução Matemática
Exercício 1. Calcule a soma dos primeiros n números pares.
Exercício 2. Considere uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a e
cuja razão é r . Deduza uma fórmula para soma dos n primeiros termos dessa
progressão aritmética e demonstre sua validade por indução.
Exercício 3. Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a e
cuja razão é q. Mostre que a fórmula da soma dos m primeiros termos dessa
progressão geométrica é
a(1 − q m )
.
(1 − q)
Exercício 4. Mostre que, para todo inteiro positivo n, vale
12 + 22 + 32 + · · · + n 2 =
n(2n + 1)(n + 1)
.
6
Exercício 5. Mostre que, para todo inteiro n ≥ 0, o número 52n − 1 é múltiplo
de 3.
Exercício 6. Prove que
n
X
k=1
Exercício 7. Mostre que
k
n!
= n2n−1 .
k!(n − k)!
1
1
1
n
+
+···+
=
.
1·2 2·3
n · (n + 1) n + 1
Exercício 8. Prove que o número de diagonais de um polígono convexo com `
lados é
`(` − 3)
.
2
Exercício 9. Sejam A 1 , A 2 , . . . , A k conjuntos. Mostre que
A1 ∪ . . . ∪ An = A1 ∩ . . . ∩ An .
Exercício 10. Mostre que o número de folhas de uma árvore binária com altura h que seja completa até o último nível é 2h .
Exercício 11. Mostre que, para qualquer número real positivo α e inteiro positivo n, tem-se (1 + α)n ≥ 1 + nα.
Exercício 12. Mostre que 20 + 21 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.
³
1 ´³
1´ ³
1´ 1
Exercício 13. Prove que 1 −
1− ··· 1−
= .
2
3
n
n
Exercício 14. Prove que
³ n(n + 1) ´2
13 + 23 + 33 + · · · + n 3 =
.
2
Exercício 15. Considere a seqüência de Fibonacci definida por f 1 = 1, f 2 = 1 e,
para n ≥ 3, f n = f n−1 + f n−2 . Mostre que f i ≥ 2i /2 para todo inteiro i ≥ 6.
2
Exercício 16. Prove que a seqüência de Fibonacci obedece a equação f n+1
−
2
n
f n+1 f n − f n = (−1) .
Exercício 17. Mostre que o número de arestas de uma árvore com n vértices
é n − 1. (Uma aresta é um par ordenado (x, y) de nós dessa árvore, onde x é pai
de y. A árvore não precisa ser binária.) [Dica: cada filho do nó raiz é a raiz de
uma subárvore.]
Exercício 18. Sejam A 1 , A 2 , . . . , A n conjuntos. Defina A ; = A 1 ∪. . .∪ A n e defina,
para um dado subconjunto I ⊆ {1, 2, . . . , n}, com I 6= ;, o conjunto
\
AI =
Ai .
i ∈I
Prove o Princípio da Inclusão/Exclusão. Ou seja, mostre que
X
(−1)|I | |A I | = 0.
I ⊆{1,2,...,n}
Exercício 19. Considere uma grade n×m (veja um exemplo na Figura 1 abaixo).
Figura 1: Uma grade 3 × 4.
Mostre, por indução em n +m, que o número de maneiras de se ir do ponto
inferior esquerdo ao ponto superior direito, respeitando-se as direções, é exatamente
(n + m)!
.
n!m!