Lista 3 - Abel Soares Siqueira

TopAL - Tópicos de Álgebra Linear
Lista 3
1. Verifique que as seguintes são transformações lineares:
(i) T : R3 → R2 , T (x, y, z) = (x − y + z, 2x + 3y − 7z).
(ii) T : R2 → R3 , T (x, y) = (a1 x + b1 y, a2 x + b2 y, a3 x + b3 y) com aj , bj ∈ R.
(iii) T : C 2 (R) → C(R), T (f ) = f 00 .
(iv) T : C([a, b]) → C 1 ([a, b]), (T f )(x) =
Rx
a
f (s)ds, x ∈ [a, b].
(v) T : R[t] → R, T (p) = p(1).
(vi) T : R[t] → R[t], (T p)(t) = p(t + 1).
(vii) T : R2 → M2 (R),
T (x, y) =
x+y
x − 2y
2x − 3y 3x − 4y
.
2. Dê exemplos, quando possível, de transformações lineares que satisfazem:
(i) T : R3 → R2 é sobrejetora.
(ii) T : R3 → R2 com Nu(T ) = {(0, 0, 0)}.
(iii) T : R3 → R2 com Im(T ) = {(0, 0)}.
(iv) T : R2 → R2 com Nu(T ) = {(x, y) ∈ R2 |x = −y}.
(v) T : R3 → R3 com Nu(T ) = {(x, y) ∈ R3 |y = −z}.
(vi) T : R4 → R4 com Nu(T ) = Im(T ).
3. Seja T : R2 → R2 a reflexão através da reta y = ax, com a 6= 0. Calcule T (x, y) e [T ]ββ , sendo β a base
canônica do R2 .
4. Seja T : V → V linear, tal que T 2 = T . Mostre que V = Nu(T ) ⊕ Im(T ).
5. Determine dois operadores lineares S, T : R2 → R2 tais que ST = 0, mas T S 6= 0.
6. Seja V um espaço vetorial em K, com dimensão n > 1 e base β = {v1 , . . . , vn }. Seja T : V → V definida
por
T (vj ) = vj+1 ,
j = 1, . . . , n − 1
e
T (vn ) = 0.
(i) Calcule [T ]ββ .
(ii) Mostre que T n = 0, mas T k 6= 0, k < n.
7. Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V tais que V = U ⊕ W . Sendo P1 e P2 as projeções dadas
por P1 (v) = u e P2 (v) = w, onde v = u + w, u ∈ U e w ∈ W , mostre que
(i) P12 = P1 e P22 = P2 .
(ii) P1 + P2 = I.
(iii) P1 P2 = P2 P1 = 0.
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8. Sejam T, S : R∞ → R∞ definidas por
T (ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . . ) = (0, ξ1 , ξ2 , . . . ),
e
S(ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . . ) = (ξ2 , ξ3 , ξ4 , . . . ).
Para cada uma, prove ou dê um contra-exemplo de injetividade e sobrejetivada.
9.
(i) Encontre T : R2 → M2 (R) linear tal que
1 −1
T (1, 1) =
2 0
e
T (1, 2) =
−2 0
1 1
.
(ii) Seja T : M2 (R) → R2 a transformação linear cuja matriz em relação às bases
1 0
0 1
0 0
0 0
β=
,
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0 1
e
β 0 = {(0, 1), (1, 1)}
é dada por
[T ]ββ 0
=
Calcule
2 1 0 1
−1 3 2 −1
T
a b
c d
.
,
e determine uma base para Nu(T ) e Im(T ).
10. Seja T ∈ L(V ), dim(V ) < ∞. Suponha que α0 6= 0 e α0 I + α1 T + α2 T 2 + · · · + αm T m = 0, onde αi ∈ R.
Prove que T é inversível.
11. Seja A : R3 → R2 , definida por A(x, y, z) = (x, y) e B : R2 → R3 , definida por B(x, y) = (x, y, αx + βy),
α, β ∈ R. Mostre que B ◦ A = I. Isto é, B é uma inversa à esquerda de A. O que se pode ser dito sobre
as inversas à esquerda de A?
12. Seja T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (3x + z, −2x + y, −x + 2y + 4z). T é inversível? Justifique.
Em caso afirmativo, calcule T −1 (x, y, z).
13. Seja T ∈ L(V ) tal que T 3 + T + 3I = 0, (dim(V ) = n). Mostre que T é inversível e calcule T −1 .
14. Sejam V e W espaços vetoriais com dimensões n e m, respectivamente. Mostre que
(i) Se m < n, então nenhuma T ∈ L(V, W ) é injetora.
(ii) Se m > n, então nenhuma T ∈ L(V, W ) é sobrejetora.
15. Para cada número real θ, seja Tθ ∈ L(R2 , R2 ) a transformação linear representada (em relação à base
canônica do R2 ) pela matriz
cos θ − sin θ
.
sin θ cos θ
Mostre que Tθ ◦ Tθ0 = Tθ+θ0 e Tθ−1 = T−θ .
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16. Seja T ∈ L(R2 [t], R2 [t]) definida por T (f ) = f + f 0 + f 00 . Mostre que T é um isomorfismo e calcule
T −1 (f ).
17. Seja T ∈ L(V ) tal que T 2 = 0. Mostre que Im(t) ⊂ Nu(T ). A recíproca é verdadeira?
18. Seja V um espaço de vetorial e W e U subespaços não trivias. Dê exemplos onde
(i) W e V /W não tem dimensão finita.
(ii) V /W tem dimensão finita, mas V /U não tem dimensão finita.
19. Seja V um espaço de dimensão finita sobre K. Dados v, w ∈ V dizemos que v ≡ w ⇔ existe T : V → V
linear e inversível tal que T x = y.
(i) Mostre que essa relação é de equivalência.
(ii) Se v 6= 0 é um elemento de V , então [x] 6= [0].
(iii) Existem apenas duas classes de equivalência, a saber: a classe [0] = {0} e uma classe contendo
todos os elementos não nulos.
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