INTEGRAL DEFINIDO Definição: Seja f (x) uma função real de variável real, definida num intervalo [a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b] em n subintervalos da forma ∆ xi tais que a = x 0 < x1 < x 2 < Λ Λ < x n = b . Definição: Seja f (x) uma função real de variável real, definida num intervalo [a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Soma de Reimann de f (x) em relação à partição P, a toda a expressão da forma n ∑ f ( wi )∆xi i =1 onde wi é um qualquer valor no intervalo ∆ xi . Definição: Seja f ( x) uma função real de variável real, definida num intervalo [a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Integral Definido de f ( x ) b desde a até b e escreve-se ∫ f ( x) dx , ao limite tal que a n f ( x ) dx lim f ( w ) x = ∆ ∑ i i ∫ P → 0 i =1 a b NOTA: Se tal limite existe então dizemos que f (x ) é integrável no intervalo [a, b]. Definição: Seja a>b então b a a b ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx . a Corolário: ∫ f ( x) dx = 0 . a Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f (x) uma função real de variável real, contínua e definida num intervalo [a, b]. Se F (x) é a sua primitiva então b ∫ f ( x) dx = F (b) − F (a) = [F ( x)] a b a Exemplo: Calcule os seguintes integrais definidos: 10 1 a) ∫ dx 5 x − 1 2 ln 3 b) ∫ 0 x 5e dx 5 c) x −1 ∫ x dx 1 PROPRIEDADES DO INTEGRAL DEFINIDO 1. Toda a função contínua em [a, b] é integrável em [a, b]. 2. Se f (x) é integrável em [a, b] e k um número real então a função k f (x) é ainda integrável no mesmo intervalo e tem-se b b a a ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx 3. Se f (x) e g (x) são duas funções integráveis em [a, b] então a função f ( x) + g ( x) é ainda integrável no mesmo intervalo e tem-se b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx 4. Se a<c<b e f (x) é integrável nos intervalos [a, c] e [c, b]então a função f (x) é integrável em [a, b] e tem-se b c b a a c ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx 5. Se f (x) é integrável num intervalo [a, b] e f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], então b ∫ f ( x) dx ≥ 0 a 6. Se f (x) e g (x) são duas funções integráveis em [a, b] e f ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ [a, b], então b b a a ∫ f ( x) dx ≥ ∫ g ( x) dx NOTA: Se f (x) e g (x) forem funções contínuas no intervalo [a, b] e se f ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ [a, b], então a área da região plana fechada, limitada pelas curvas y = f (x) , y = g (x) e pelas rectas verticais x = a e x = b , é dada por A= b ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx . a NOTA: Se f ( y ) e g ( y ) forem funções contínuas no intervalo [c, d ] e se f ( y ) ≥ g ( y ) ∀x ∈ [c, d ], então a área da região plana fechada, limitada pelas curvas x = f ( y ) , x = g ( y ) e pelas rectas horizontais y = c e y = d , é dada por A= d ∫ [ f ( y ) − g ( y)]dy . c Exemplos: a) Calcule a área da região fechada limitada pelas funções y = − x + 1 , y = 0 e x = 0. b) Calcule a área de um círculo de raio 1. c) Calcule a área da região fechada limitada pela função y = sen(x) e pelo eixo das abcissas quando x ∈[0 , 2π] . d) Calcule a área da região fechada compreendida entre os gráficos das funções y = x 3 e x = y 2 .