INTEGRAL DEFINIDO O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. Vamos começar por determinar a área de uma figura delimitada por duas rectas verticais, o semi-eixo positivo dos XX e por uma dada função y = f (x) . Definição: Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b] em n subintervalos da forma xi tais que: a = x0 < x1 < x2 < < xn = b . Definição: Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Soma de Riemann de f em relação à partição P, a toda a expressão da forma: n i =1 f ( wi )∆xi , onde wi é um valor qualquer do intervalo xi . 44 Definição: Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se integral definido de b f desde a até b e escreve-se f ( x) dx , ao limite tal que a b n f ( x) dx = lim P → 0 i =1 a f ( wi )∆xi , onde wi é um valor do intervalo ∆ xi . NOTAS: 1) Se tal limite existe então dizemos que f é integrável no intervalo [a, b]. 2) A a e a b chama-se limites de integração: a → limite inferior do integral; b → limite superior do integral. 3) Sempre que utilizamos um intervalo [a, b] supomos que a < b . Mas a definição anterior pode ser estendida ao caso a > b: b a a f ( x) dx = − f ( x) dx . b a Como consequência imediata temos o resultado seguinte: f ( x) dx = 0 . a 45 O teorema que se segue transforma o difícil problema de calcular integrais definidos por meio de cálculo de limites de somas, num problema bem mais fácil que se resume, praticamente, na determinação de uma primitiva da função dada. Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função, real de variável real, contínua definida num intervalo [a, b]. Se F é a sua primitiva então b f ( x) dx = F (b) − F (a ) . a Notação: b Pode-se escrever: b f ( x) dx = F ( x) | ou a a b a f ( x) dx = [F ( x)] ba . Propriedades do integral definido 1. Toda a função contínua em [a, b] é integrável em [a, b]. 2. Se f é integrável em [a, b] e k é um número real então a função k f é ainda integrável no mesmo intervalo e tem-se b b k f ( x) dx = k f ( x) dx . a a 3. Se f e g são duas funções integráveis em [a, b] então a função f + g ainda é integrável no mesmo intervalo e tem-se: b a [ f ( x) + g ( x)]dx = b a b f ( x) dx + g ( x) dx . a 46 4. Se a < c < b e f é integrável nos intervalos [a, c ] e [c, b] então a função f é integrável em [a, b] e tem-se: b c b a c f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx . a 5. Se f é integrável num intervalo [a, b] e f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b], então b f ( x) dx ≥ 0 . a 6. Se f e g são duas funções integráveis em [a, b] e f ( x) ≥ g ( x) , b b a a ∀x ∈ [a, b], então f ( x) dx ≥ g ( x) dx . Nota: As tabelas e as técnicas de integração utilizadas para o cálculo de integrais indefinidos são ainda válidas para o cálculo de integrais definidos. Exemplo: Calcule os seguintes integrais definidos: 10 1 a) dx 2 5x − 1 b) ln 3 5e x dx 0 47 Mudança de variável no cálculo do integral definido Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Pretende-se calcular b f ( x) dx por mudança de variável. Seja t a nova variável tal que a t = g ( x) . Quando se faz a mudança de variável os limites de integração, por dizerem respeito à variável apresentada, deixam de ter significado, pelo que surge a necessidade de também se efectuar mudanças nos limites de integração. Para tal, basta calcular os valores correspondentes de a e b em função da nova variável: t1 = g ( a) e t 2 = g (b) . Utilizando estes valores torna-se então desnecessário voltar à variável original x após a integração. Exemplo: Calcule 5 x −1 dx . x 1 48 APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de áreas 1) Cálculo da área de uma região plana limitada pelo eixo das abcissas, pelo gráfico de uma função e por duas rectas verticais Se f é uma função contínua num intervalo [a, b] e f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b], então a área sob o gráfico de f de a até b é dada por: b f ( x)dx . a Se f ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ [a, b], então a área sob o gráfico de f de a até b b é dada por: − f ( x)dx . a Se f muda de sinal em [a, b] um número finito de vezes, então é dada por: b f ( x) dx . a y = f (x) b a A a A= A b b a f ( x )dx A= − b a f ( x)dx 49 2) Cálculo da área de uma região plana limitada por duas curvas e por duas rectas verticais Definição: Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b] e se f ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ [a, b], então a área da região plana fechada, limitada pelas curvas y = f (x) , y = g (x) e pelas rectas verticais x = a e x = b , é dada por: A= b [ f ( x) − g ( x)]dx . a Nota: Se falhar a condição f ( x) ≥ g ( x) , A = b f ( x) − g ( x) dx . a 3) Cálculo da área de uma região plana limitada por duas curvas e por duas rectas horizontais Definição: Se f e g forem funções contínuas no intervalo [c, d ] e se f ( y ) ≥ g ( y ) ∀y ∈ [c, d ], então a área da região plana fechada, limitada pelas curvas x = f ( y ) , x = g ( y ) e pelas rectas horizontais y = c e y = d , é dada por A= d [ f ( y ) − g ( y)]dy . c Nota: Se falhar a condição f ( y ) ≥ g ( y ) , A = b f ( y ) − g ( y ) dy . a 50 Exemplos: a) Calcule a medida da área da região fechada limitada pela função y = sen ( x ) e pelo eixo das abcissas quando x ∈[0 , 2π ]. b) Calcule a medida da área da região limitada pelas rectas y = 2 x + 1, 1 y = x + 3 e x = 0. 2 c) Calcule a medida da área de um círculo de raio 3. d) Calcule a área da região fechada limitada pelas funções y = − x + 1, y = 0 e x = 0. e) Calcule a medida da área da região fechada compreendida entre os gráficos das funções y = x 3 e x = y 2 . 51 Cálculo de volumes de sólidos de revolução Fazendo-se girar uma região plana em torno de uma recta do plano, o sólido resultante chama-se sólido de revolução. Neste caso, diz-se que o sólido é gerado pela região e a recta, em torno da qual se processa a revolução, é chamada eixo de revolução. Exemplo: Fazendo-se girar em torno do eixo dos xx uma região limitada pelo gráfico da uma função contínua não negativa f , pelo eixo dos XX e pelos gráficos de x=a e de x=b, de acordo com a figura 1, obtém-se um sólido do tipo exibido na figura 2. Figura 1 Figura 2 Definição: Seja f : x → y = f ( x ) uma função, real de variável real, contínua em [a, b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos XX, da região limitada pelos gráficos de y = f (x ) , x=a, x=b e pelo eixo dos XX é dado por: V =π b a [ f ( x)]2 dx . 52 Definição: Seja f : x → y = f ( x ) uma função real de variável real contínua em [c, d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos YY, da região limitada pelos gráficos de x = f ( y ) , y=c, y=d e pelo eixo dos YY é dado por: V =π d c [ f ( y )]2 dy . Definição: Sejam f : x → y = f ( x ) e g : x → y = g ( x) funções, reais de variável real, contínuas em [a, b], com f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ 0 . O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos XX, da região limitada pelos gráficos de y = f (x ) , y = g (x ) , x=a e x=b é dado por: V =π b a ([ f ( x)]2 − [g ( x)]2 )dx . Definição: Sejam f : y → x = f ( y ) e g : y → x = g ( y ) funções, reais de variável real, contínuas em [c, d ], com f ( y ) ≥ g ( y ) ≥ 0 . O volume V do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo dos YY, da região limitada pelos gráficos de x = f ( y ) , x = g ( y ) , y=c, de y=d é dado por: V =π d c ([ f ( y)]2 − [g ( y)]2 )dy . 53 Exemplos: a) Calcule a medida do volume do sólido gerado pela rotação da região do plano limitada pelos gráficos das funções y = x 2 + 1, y = 0 , x = −1 e x = 1 , em torno do eixo dos xx. b) A região do plano limitada pelos gráficos das funções y = x , y = 2 x e y = x 2 roda em torno do eixo dos xx. Determine a medida do volume do sólido gerado. c) Utilizando integrais definidos, prove que o volume de uma esfera 4 3 de raio r é dado por V = πr 3 . d) Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região limitada pelos gráficos de y = x 2 e y = 2 , em torno do eixo dos yy. e) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo dos yy, da região limitada por y = x , y = 2 e x = 0 . f) Utilizando integrais definidos, prove que o volume de um cilindro circular recto de altura h e raio r é dado por V = πr 2 h . 54 INTEGRAIS IMPRÓPRIOS A definição de integral definido foi estabelecida para uma função definida num intervalo [a, b] e contínua nesse intervalo. Vamos agora considerar os casos: [a,+∞[ , ]− ∞, a ] e ]− ∞,+∞[ . Nestes intervalos não tem sentido generalizar a definição de integral definido usando somas de Riemann pois teríamos de usar partições com uma infinidade de subintervalos. Exemplos: Consideremos as funções: a) f ( x) = x , x ∈ [0,+∞[ ; 50 b) g ( x) = 1 x 2 , x ∈ [1,+∞[ . Definição: Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [a,+∞[ e integrável em qualquer intervalo do tipo [a, X ] com X arbitrário, superior a a. Se existir lim que o integral impróprio +∞ +∞ x →+∞ a f (x) dx a X f ( x) dx = L então dizemos é convergente e que f (x) dx = L. a 55 Definição: Seja f X lim x →+∞ a [a,+∞[. uma função contínua no intervalo Se existir f ( x) dx = L então dizemos que a área da figura limitada pelo gráfico de f , pela recta x = a , pelo eixo dos XX e tal que x > a ,existe e é igual a L. Nota: 1) No caso do limite não existir ou ser infinito diz-se que o integral impróprio é divergente ou que a medida da área não existe. b 2) No caso do integral impróprio f (x) dx mantém-se tudo o que −∞ foi dito desde que se considere o limite: lim b x →+∞ −Y f ( x) dx . Definição: Seja f uma função integrável em qualquer intervalo fechado. Seja a um número real qualquer. Se existirem lim a y → +∞ − y +∞ f ( x) dx = B −∞ Exemplo: Calcule x → +∞ a f ( x) dx = A e então dizemos que o integral impróprio f ( x) dx é convergente e que +∞ lim X 1 −∞ 1 + x 2 +∞ f ( x) dx = A + B . −∞ dx . 56 Definição: Seja f uma função contínua e positiva num intervalo [a, b], excepto num ponto c, com c ∈ [a, b]. Tem-se que: b com c y →c − a b a c f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx , a f ( x) dx = lim c y f ( x) dx b e f ( x) dx = lim z →c + c a b f ( x) dx . z Quando tais limites existem, diz-se que o integral Exemplo: Calcule 0 f ( x) dx a converge. Caso contrário diverge. 3 b 1 dx . 3− x Exemplos: Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios: a) +∞ e −x b) dx 1 1 +∞ 1 −∞ 1 + x 2 dx 0 1 e) dx x −1 d) ln( x) dx 0 c) f) +∞ −∞ 1 x 2 x +1 1 −1 x 2 π g) 2 1x 2 1 (ln( x) )1 / 5 dx 2 h) tan( x) dx 0 i) 1 sen 0 dx dx (ln( x) ) dx x 57 j) +∞ 1 1 dx x ln( x) k) +∞ e−x −∞ 1 + e −2 x dx +∞ l) sen x dx . 0 58