CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN 7.1- Notação Sigma para Somas A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de somatório ( ∑ ). Exemplos: n 1+ 2 + 3 + 4 +L+ n = ∑k = k =1 n( n + 1 ) 2 n 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 = ∑ k 2 = k =1 ~ soma de inteiros sucessivos n( n + 1 )( 2n + 1 ) ~ soma de quadrados sucessivos 6 A integral de Riemann de uma função f (x ) num intervalo [a ,b] , é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f (x ) , ou seja: [c k , f (c k )] Y ............................. [c n , f (c n )] ...................... ck Ak cn X x k − x k −1 x n − x n −1 Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. onde: c k coordenada entre x k −1 e x k f (c k ) ordenada de c k (altura do retângulo) ∆x k = x k − x k −1 (base do retângulo) A área do k − ésimo retângulo é dada por Ak = f (c k ) ⋅ ∆x x somando-se todas as áreas dos retângulos sob a curva f (x ) , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for ∆x k , melhor é a aproximação. Assim: n ∑ f ( ck )∆xk = área sob a curva f (x ) = A . ||∆x ||→0 lim k k =1 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 120 7.2- Integral Definida de Riemann Definição: Seja f (x ) uma função contínua num intervalo [a ,b] , então se o limite n ∑ f ( ck )∆xk ||∆x ||→0 lim k =1 k existe, a função f (x ) é integrável em [a ,b] no sentido de Riemann, e é definida por n lim ||∆xk ||→0 ∑ k =1 b f ( c k )∆x k = ∫ f ( x )dx , a onde a integral definida de f (x ) , no intervalo [a ,b] , dará uma nova função g (x ) calculada no intervalo [a ,b] , o que é escrito na forma g (x ) ba , ou seja, g( x ) ba = g( b ) − g ( a ) , assim: b ∫ f ( x )dx = g( b ) − g( a ) a 7.3- Teorema Fundamental do Cálculo Se f for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então ∫a f ( x )dx = [g( x )] b b a b = g( x ) = g( b ) − g( a ) a 7.3.1Existência da Integral de Riemann de uma função Contínua Teoremas a) [ ] [ ] Se f ( x ) é uma função contínua no intervalo fechado a, b , então f ( x ) é Riemann - integrável em a, b . [ ] b) Se f ( x ) é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado a, b , então f ( x ) é Riemann – [ ] integrável em a, b . Exemplos: 1/x ; x>0 x2 +1 ; x>0 f(x) = f(x) = y 1 se x ≤ 0 1 f(x) se x ≤ 0 y f(x) 2 1 1 x a b Função limitada seccionalmente e Contínua em [a ,b] , é R - integrável Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni x a b Função ilimitada seccionalmente em [a ,b] , não é R - integrável 121 Exercícios 1) Determinar a área limitada pela curva y = 5 x − x 2 e pelo eixo x. 5x −x 2 = 0 x( 5 − x ) = 0 y = 5x − x 2 x = 0 x = 5 0 5 A = ∫ 5 x − x 2 dx = 5. 0 5 x2 x3 − 2 3 5 = 0 53 53 5 − = u .a . 2 3 6 2) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x. y y = 2x y = 5x – x2 0 3 x 5 - Pontos de interseção - Área 3 y = 5x − x 2 y = 2 x ∫ A = (5x − x 2 − 2 x )dx 0 3 2 x = 5x − x 2 ∫ A = (3x − x 2 )dx x 2 − 3x = 0 x ( x − 3) = 0 0 3x 2 x 3 A= − 2 3 x = 0 x = 3 3 0 27 A= −9 2 9 A = u.a. 2 3) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2 y x = 4 − y2 2 4 − y2 = 0 y = ±2 A1 x y = 4−x -2 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 122 4 ∫ A = 2. 4 − x dx 0 4243 1 A1 4 ∫ A = −2. 2 ∫ 1 (4 − x ) 2 .(−1)dx A = 2 (4 − y 2 )dy 0 0 A= 3 −24 − x 2 . 2 y3 A = 2.4 y − 3 0 4 2 3 0 ou 8 A = 2.8 − 3 32 A= u.a. 3 2 A = −2. .[− 8] 3 32 A= u.a. 3 4) Determinar a área limitada pelas curvas y2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo. y x= a 3a y=0 y2 4a x x = 3a − y -2 - Pontos de interseção y 2 = 4ax x + y = 3a → x = 3a − y y 2 = 4a (3a − y) y 2 − 12.a 2 + 4ay = 0 y 2 + 4ay − 12a 2 = 0 − 4a ± 16a 2 + 48a 2 2 − 4a ± 8a y= 2 y = 2a y' = −6a y= Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni - Área 2a A= ∫ 0 (3a − y − y2 )dy 4a 2a y2 y3 A = 3ay − − 2 12a 0 1 A = 6a 2 − 2a 2 − .8a 3 12a 2 A = 4a 2 − a 2 3 2 10.a A= u.a. 3 123 5) Calcule a área compreendida entre o eixo X e a curva f (x ) = ( ) 1 2 x − 2 x + 8 entre [− 2 , 4 ] . 8 O gráfico da curva é: f (x ) Y 1 8 -2 -1 0 1 2 2 3 4 X 4 1 43 1 x3 x2 4 − 2 )3 − 2)2 ( ( x − x − 8 dx = − 2 + 8(x) = − 2 + 8(4 ) − −2 + 8(− 2) 2 3 2 8 3 2 −2 8 3 ∫−2 ( 4 ) 2 1 43 42 (− 2 )3 − 2 (− 2 )2 + 8(− 2 ) = 1 64 − 2 16 + 32 + 8 − 2 4 − 16 + 8(4 ) − −2 8 3 2 3 2 2 3 2 8 3 2 3 16 16 2 3 16 + 2 − 3 15 . = 6 − 2 + 4 + 6 − 6 − 2 = 6 + 6 − 6 = 6 6 6) Avalie diretamente a integral de Riemann dada pelo cálculo de um limite das somas de Riemann. Use partições cosntituídas de subintervalos de comprimentos iguais e use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme esteja indicado. 2 a. ∫x 0 0 b. 3 ∫x dx (retângulos inscritos) 2 dx (retângulos circunscritos) −2 2 ( ) c. ∫ x 3 + 2 dx (retângulos inscritos) 0 −1 d. ∫ (x 2 ) − x − 2 dx (retângulos inscritos) −2 7.4- Propriedades Básicas da Integral Definida 1) Integral de uma função constante Se f ( x ) = k , k constante, então b ∫ a b f ( x )dx = ∫ kdx = kx ba = k ( b − a ) , como mostra a Figura a Y f (x ) = k A 0 a b−a X b Área sob uma função constante. 2) Homogeneidade b b a a ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx , onde k é uma constante Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 124 3) Aditividade b b b a a a ∫ [ f ( x ) + g( x )] dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx 4) Linearidade b b b a a a ∫ [ Af ( x ) + Bg( x )] dx = A∫ f ( x )dx + B ∫ g( x )dx , com A e B constantes. 5) Positividade Se f é uma função Riemann - integrável em [a, b] e se f(x)>=0 para todo x no intervalo [a ,b] , então b ∫a f ( x )dx ≥ 0 6) Comparatividade Se f e g são Riemann - integráveis em [a ,b] e se f(x) ≤ g(x) para todo x no intervalo [a ,b] , então b ∫ a b f ( x )dx ≤ ∫ g( x )dx a y max de g(x) M min de g(x) m y = g(x) y = f(x) a b−a x b 7) Valor Absoluto b ∫ a b f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx a Prova: Assumindo que f e | f | são Riemann - integráveis no intervalo [a ,b] . Temos que - | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) | ( -|x| ≤ x ≤ |x| ) b Então a Logo b b b b b a a a a a ∫ − | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤∫ | f ( x ) | dx ; isto é: − ∫ | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤∫ | f ( x ) | dx b b a a ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx 8) Aditividade com relação ao intervalo de integração Se f é Riemann - integrável no intervalo [a ,b] , bem como no intervalo [b , c ] , então f é também Riemann integráveis no intervalo [a , c ] , ou seja: c ∫ a b f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + a c ∫ f ( x )dx b Definições: (i) Se f é uma função qualquer e a é um número no domínio de f, definimos: a ∫ f ( x )dx = 0 a Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 125 (ii) Se a > b e f é Riemann - integráveis em [b, a], então definimos: b ∫ a a f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b 7.5- Teorema do Valor Médio para Integrais Se f é contínua em [a,b], então existe um número c em [a,b] tal que b f( c ).(b - a) = f( c ) = 1 b−a ∫ f ( x )dx y ou a b ∫ f f(c ) f ( x )dx a min f ≤ c ≤ max f a c b x Ponto c do teorema do valor médio obs: A área sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b é igual a área do retângulo cuja base é (b-a) e altura f(c). Ex: Seja f(x) = x2, achar c no intervalo [1,4] f( c ) = 1 4 −1 4 ∫x 2 1 dx = 1 x 3 4 1 4 3 13 1 64 − 1 1 = − = = ( 21 ) = 7 3 3 1 3 3 3 3 3 3 Logo f( c ) = c2 = 7 → c = (1 ≤ 2,65 ≤ 4) 7 = 2,65 7.6- Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) A primeira parte deste teorema afirma que as operações de diferenciação (derivação) e integração são inversas uma da outra, isto é, diferenciação desfaz a integração e vice-versa. O enunciado do TFC é composto de duas partes. Assim, se f é contínua num intervalo I tal que a∈I e b∈I, e seja x∈I, então: x dy d = f ( t )dt = f ( x ) dx dx ∫a 1a parte: "a derivada da integral é o integrando" x onde y = ∫ f ( t )dt a 2a parte: Se g é uma primitiva (anti-derivada) de f, de tal forma que g'(x) = f(x), então b ∫ f ( x )dx = g( b ) − g( a ) , para todo x em [a,b] Exemplos: (1a parte) Calcular x a) a Se y = ∫ ( 2t 2 − t + 1 )dt , calcular 0 dy . dx x dy d = ( 2t 2 − t + 1 )dt = 2 x 2 − x + 1 dx ∫0 dx Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 126 x b) Se y = 1 ∫ t 3 + 1 dt , calcular 0 dy . dx x dy d 1 1 = dt = 3 dx dx ∫0 t 3 + 1 x +1 x2 c) Se y = ∫ ( 5t + 7 ) 25 dy . dx dt , calcular 0 Fazendo u = x2 → du = 2xdx → Por enquanto, podemos calcular du = 2x dx dy du u dy d = ( 5t + 7 ) 25 dt = ( 5u + 7 ) 25 = ( 5 x 2 + 7 ) 25 (voltando o valor u = x2) du du ∫0 logo: dy = ( 5 x 2 + 7 ) 25 du Aplicando a Regra da Cadeia, temos: dy dy dy du = = ( 5 x 2 + 7 ) 25 (2x) → = ( 5 x 2 + 7 ) 25 (2x) . dx du dx dx Exemplos de Integrais Definidas (2a parte do TFC) 1 3 x3 1 13 2 = + 1 − ( 0 ) + 0 = 4 - 0 = 4 x a) ( x 1 ) dx = + + ∫ 3 0 3 3 3 3 0 4 b) ∫ 4 1 1 x − 12 2 dx = − − dx = ∫ dx x x ∫ x x x 1 1 1− x 1 4 3 12 x 2 4 12 2 3 2 4 x = − = 2x − x 3 1 3 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 = 2.4 2 − .4 2 − 2.1 2 − .1 2 3 3 16 2 4 4 8 = 4 − − 2 − = − − = − 3 3 3 3 3 Observações: • • 1 x x x = = 1 x 1/ 2 x 1/ 2 x = x 0 −1 / 2 = x −1 / 2 (1 = x0) = x 1−1 / 2 = x +1 / 2 • 4 1/2 = (22 (1/2) ) = 2 • 4 3/2 = (22 (3/2) ) = 23 = 8 Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni 127