Apresentação do PowerPoint

III – MODELOS ATÔMICOS
3.1 - MODELO DE DEMÓCRITO
Por volta de 400 anos a.C. filósofo grego Demócrito sugeriu que a matéria
não é contínua, isto é, ela é feita de minúsculas partículas indivisíveis. Essas
partículas foram chamadas de átomos (a palavra átomo significa, em grego,
indivisível).
Demócrito postulou que todas as variedades de matéria resultam da
combinação de átomos de quatro elementos: terra, ar, fogo e água.
Demócrito baseou seu modelo na intuição e na lógica. No entanto foi
rejeitado por um dos maiores lógicos de todos os tempos, o filosofo Aristóteles.
Este reviveu e fortaleceu o modelo de matéria contínua, ou seja, a matéria como
"um inteiro".
Os argumentos de Aristóteles permaneceram até a Renascença.
1
3.2 - MODELO DE DALTON
Todo modelo não deve ser somente lógico, mas também consistente com a
experiência. No século XVII, experiências demonstraram que o comportamento
das substâncias era inconsistente com a idéia de matéria contínua e o modelo de
Aristóteles desmoronou.
Em 1808, John Dalton, um professor inglês, propôs a idéia de que as
propriedades da matéria podem ser explicadas em termos de comportamento de
partículas finitas, unitárias. Dalton acreditou que o átomo seria a partícula
elementar, a menor unidade de matéria.
Surgiu assim o modelo de Dalton: átomos vistos como esferas minúsculas,
rígidas e indestrutíveis. Todos os átomos de um elemento são idênticos.
2
Modelo de
Thomsom
Modelo de Rutherford
Modelo
de Bohr
Modelo de
Bohr- Sommerfeld
Modelo atual
Orbitais: s, p, d, f
3
3.3 - MODELO DE THOMSON
Em 1987, o físico inglês J.J. Thomson demonstrou que os raios catódicos
poderiam ser interpretados como um feixe de partículas carregadas que foram
chamadas de elétrons. A atribuição de carga negativa aos elétrons foi arbitrária.
Thomson concluiu que o elétron deveria ser um componente de toda matéria, pois
observou que a relação e/m para os raios catódicos tinha o mesmo valor,
qualquer que fosse o gás colocado na ampola de vidro.
Em 1989, Thomson apresentou o seu modelo atômico: uma esfera de
carga positiva na qual os elétrons, de carga negativa, estão distribuídos mais ou
menos uniformemente. A carga positiva está distribuída, homogeneamente, por
toda a esfera.
4
3.4 - MODELO DE RUTHERFORD
Em 1911, Rutherford e colaboradores (Geiger e Marsden) bombardearam
uma lâmina metálica delgada com um feixe de partículas alfa atravessava a lâmina
metálica sem sofrer desvio na sua trajetória (para cada 10.000 partículas alfa que
atravessam sem desviar, uma era desviada). Para explicar a experiência, Rutherford
concluiu que o átomo não era uma bolinha maciça. Admitiu uma parte central
positiva muito pequena mas de grande massa ("o núcleo") e uma parte envolvente
negativa e relativamente enorme ("a eletrosfera ou coroa").
Se o átomo tivesse o tamanho do Estádio do Morumbi, o núcleo seria o
tamanho de uma azeitona. Surgiu assim o modelo nuclear do átomo.
O modelo de Rutherford é o modelo planetário do átomo, no qual os elétrons
descrevem um movimento circular ao redor do núcleo, assim como os planetas se
movem ao redor do sol.
5
3.5 - MODELO DE BOHR
Em 1913, o físico dinamarquês Niels Bohr expôs uma idéia que
modificou o modelo planetário do átomo.
Um elétron num átomo só pode ter certas energias específicas, e cada
uma destas energias corresponde a uma órbita particular. Quanto maior a
energia do elétron, mais afastada do núcleo se localiza a sua órbita.
Se o elétron receber energia ele pula para uma órbita mais afastada do
núcleo.
Por irradiação de energia, o elétron pode cair numa órbita mais próxima
do núcleo. No entanto, o elétron não pode cair abaixo de sua órbita normal
estável.
Mais tarde, Sommerfeld postulou a existência de órbitas não só
circulares mas elípticas também.
6
O modelo planetário de Rutherford apresenta duas falhas:
Uma carga negativa, colocada em movimento ao redor de uma carga positiva
estacionária, adquire movimento espiralado em sua direção acabando por
colidir com ela.
Essa carga em movimento perde energia, emitindo radiação. Ora, o átomo no
seu estado normal não emite radiação.
7
3.6 - Modelo Atômico Bohr-Sommerfeld
Para a elipse:
onde:
n = número quântico principal
k = número quântico azimutal (secundário)
(k = 1, 2, 3, ............n)
8
3.7 - MODELO DE SCHRÖDINGER
3.7.1- A equação de Schrödinger
Nas seções anteriores mostramos a necessidade de se construir uma nova
mecânica para os sistemas atômicos e moleculares, para os quais a teoria de
Newton ou mecânica Newtoniana não se aplicava.
Devido a fatos tais como, a quantização da radiação emitida por um corpo
negro, a quantização do átomo de Bohr, a dualidade onda corpúsculo tanto para
a luz quanto para o elétron, assim como o princípio da incerteza de Heizenberg a
nova mecânica deveria ter uma formulação compatível com estes fatos.
A primeira formulação para esta nova teoria foi proposta pelo físico
austríaco Erwin Schrödinger em 1926.
9
De acordo com Schrödinger devido a dualidade onda-corpúsculo
da matéria, mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória
definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma onda. Neste
sentido, uma onda na nova mecânica (mecânica quântica) equivaleria
ao conceito de trajetória na mecânica clássica e seria representada por
uma função denominada função de onda, y (psi).
Nesta
mesma
época
Schrödinger
propôs
uma
equação
diferencial, nas coordenadas espaciais e no tempo cuja solução era a
função de onda.
10
Esta equação ficou conhecida como equação de Schrödinger, que para uma
partícula de massa m se movendo em uma dimensão e sob a ação de um
potencial V(x) tem a seguinte forma:
No caso de um movimento tri-dimensional tem-se que;
ou
onde o operador diferencial
é denominado de Laplaciano.
11
Se o movimento da partícula é dependente do tempo a equação de Schrödinger
assume a forma
ou de forma simplificada,
O operador H é denominado de operador Hamiltoniano. Observe, na
equação de Schrödinger, que a energia (uma observável física) é representada por
um operador diferencial.
12
3.7.2- Soluções da equação de Schrödinger
Vimos que a equação de Schrödinger é uma equação diferencial cuja solução
é uma função de onda. No caso de uma partícula de massa m se movendo em uma
dimensão e sobre a ação de um potencial constante (V) a equação de Schrödinger
tem a forma;
Sendo o potencial constante uma possível solução para esta equação, a qual
pode ser obtida por diferentes métodos dentro da teoria das equações diferenciais,
é da forma:
onde i é um número complexo imaginário.
13
Vemos com isto que a solução da equação de Schrödinger é uma função de
onda complexa. Como y é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter
significado físico e, portanto não pode ser medida em laboratório. Apenas as
grandezas observáveis reais têm significado físico e podem ser medidas em
laboratório. O módulo da função de onda ao quadrado
é uma grandeza
não complexa, portanto ele deve ter significado físico que, de acordo com Max
Born,
mede a probabilidade de se encontrar uma partícula na região do
espaço delimitada pelo elemento de volume t e t + dt.
14
Pode-se mostrar que existem outras soluções mais gerais para a equação
de Schrödinger acima. Uma dessas soluções é a função formada por combinações
lineares de funções complexas:
Esta equação é uma combinação linear de duas ondas planas que se
propagam em uma dimensão nas direções +x e –x. A e B são constantes
representando as amplitudes de cada uma das ondas.
Para verificar se realmente esta função é solução da equação de onda,
vamos aplicá-la na equação de Schrödinger para resolver o problema de uma
partícula livre, e com isto calcular a energia total do sistema.
15
Se a função de onda y é expressa como uma combinação linear de ondas
planas como a seguir,
pode-se determinar a energia do sistema resolvendo a equação de Schrödinger,
isto é,
3.7.2.1 - Caso de uma Partícula Livre
No caso de uma partícula livre temos que o operador energia, ou operador
Hamiltoniano
é descrito pela derivada segunda da função onda em relação à
coordenada x,
16
Neste caso V(x) = 0, já que a partícula é livre e, portanto ela não está sobre
a ação de qualquer tipo de potencial externo. Substituindo a equação da
combinação linear de ondas planas temos que:
17
reordenando o lado direito da equação acima, temos que;
que pode ser rescrita por,
Então, podemos concluir que a função de onda é uma autofunção do operador
Hamiltoniano para uma partícula livre, cujo valor da energia é igual a:
onde k é o número de ondas.
18
3.7.2.2 – O oscilador harmônico
O estudo do oscilador harmônico para sistemas microscópicos é igualmente
importante ao estudo de sistemas oscilatórios macroscópicos. Em particular o
movimento vibracional de dois átomos numa molécula diatômica é bem
representado por um oscilador harmônico. A análise do oscilador harmônico em
mecânica quântica envolve a determinação das soluções da equação de
Schrödinger para uma partícula de massa m e coordenadas x movendo-se
numa região onde a energia potencial V(x) tem a forma do oscilador harmônico
dada pela equação:
(1)
19
Fig.3.1 – Energia potencial do oscilador esboçada em função do deslocamento
das partículas
20
No caso macroscópico, a constante k define a dureza da mola do
oscilador. Num sistema macroscópico a “mola” pode envolver forças elétricas ou
nucleares, cuja “dureza” pode ser expressa pelo valor da constante k. Mas, como
a equação de Schrödinger envolve a energia potencial do sistema, e não a força
agindo sobre a partícula, é melhor pensar em k como uma constante que
descreve quão bruscamente a energia potencial do sistema aumenta do seu
valor de referência V = 0 na posição de equilíbrio x = 0, à medida que a partícula
se fasta do ponto de equilíbrio.
A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico pode ser re-escrita
agora usando a eq. (1);
(2)
21
Esta é uma equação diferencial que, segundo a mecânica quântica, rege o
comportamento do mesmo sistema que a mecânica newtoniana afirma ser regido
por:
(3)
Agora veremos que as duas equações levam à soluções correspondentes
quando elas são aplicadas a osciladores macroscópicos. Para os osciladores
microscópicos, as previsões das duas equações são divergentes, e a experiência
mostra que somente aquelas feitas através da equação de Schrödinger são
corretas.
Uma forma mais simples de resolver esta equação é fazendo algumas mudanças
de variáveis, como a seguir:
(4)
22
Substituindo as equações (4) em (2), a equação de Schrödinger assume a
forma,
(5)
Fazendo a mudança de variável
, tem-se que,
(6)
Usando este resultado a equação de Schrödinger pode ser re-escrita em
função da nova variável s, como a seguir,
(7)
ou
(8)
23
onde
A equação (8) é a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico. O
termo
é a freqüência de um oscilador macroscópico e
conseqüentemente  é uma quantidade adimensional. Lembre-se também que,
de acordo com o postulado de Born,
representa a densidade de
probabilidade que neste caso é a densidade de probabilidade por unidade de
comprimento.
Um truque para achar a solução desta equação diferencial é obter
inicialmente a solução assintótica, ou seja, a solução para valores muito grandes
de s e depois adaptar esta solução para que seja válida para todo valor de s, isto é
O que implica em
(9)
24
Uma possível solução desta equação é,
(10)
onde n é um número inteiro positivo. Derivando duas vezes a equação acima com
respeito a variável s, tem-se
(11)
Com isto vimos que a equação (9) é a forma assintótica da solução
procurada, a qual sugere que uma solução geral para a equação (8), válida
para todos os valores de s, deve ser igual a
(12)
25
onde H(s) é uma função a ser determinada. Substituindo a equação (12) em (8),
obtém-se,
(13)
onde a aspa indica a derivada em relação a s. Agora, escrevemos H na forma de
série de potência:
(14)
Note que potências negativas não são permitidas neste caso, pois esta gera
pontos fisicamente não aceitáveis para s=0.
Então,
(15)
26
e
(16)
devido ao fato de que os dois primeiros termos do somatório são identicamente nulos.
Substituindo as equações (14), (15) e (16) em (13), obtemos
(17)
Esta equação é válida para qualquer valor de s somente se o coeficiente de
cada potência de s for nulo. Assim, obtém-se as seguintes relações de recorrência,
(18)
27
Assim, por repetidas aplicações da equação (18) pode-se expressar os
coeficientes de
como função de  multiplicado pelas constantes a0 ou
a1 dependendo se p é par ou impar, respectivamente. Com isto temos as
seguintes condições de soluções fisicamente aceitáveis:
Para achar a solução da equação completa multiplica-se a solução da
parte assintótica por um polinômio H(s) .
28
Fazendo a substituição desta solução na equação diferencial do oscilador
chegamos a uma equação diferencial bem conhecida em matemática: A equação
diferencial de Hermite. As soluções desta equação diferencial são os polinômios de
Hermite Hv(x), que serão discutidos em outras seções.
Para que as soluções sejam aceitáveis
. Neste ponto aparece o
número quântico característico do oscilador harmônico n. Portanto,
29
A diferença de energia entre dois níveis adjacentes para n muito grande é dada
por:
cujo valor não é suficientemente grande para ser mensurável para números
quânticos grandes, que são característicos dos osciladores harmônicos
macroscópicos.
Fig.3.2- Curvas de energia potencial e digramas de níveis de energia para
(a) oscilador harmônico e (b) átomo de hidrogênio
30
3.9 – Postulados Básicos da Mecânica Quântica
Vimos que a partir de dois postulados, o princípio da incerteza e o princípio
da correspondência, constrói-se a mecânica quântica.
A mecânica quântica, em particular, está baseada em cinco postulados; o
primeiro deles refere-se a existência de uma função de onda denominada y, o
segundo estabelece a equação que governa y, o terceiro e o quarto estabelecem
as restrições que devem ser obedecidas pela função y e o quinto estabelece as
regras de uso de y na determinação das variáveis dinâmicas em um dado sistema
físico, os quais são discutidos a seguir,
Postulado I
Para cada partícula de massa m existe uma função de onda y(x).
31
Postulado II
Para uma partícula de massa m cuja energia total clássica é constante (E) e
cuja energia potencial é dada por uma função V(x,y,z), a função de onda satisfaz a
equação de Schrödinger, dada por;
(1)
Postulado III
A função de onda y e sua derivada dy/dx deve ser finita, unicamente
determinada e contínua para todos os valores de x.
32
Postulado IV
A função de onda deve conter informações sobre a localização da partícula,
isto é a partícula deve estar em algum lugar do espaço:
(2)
Postulado V
Se vários experimentos idênticos são realizados para determinar a energia,
posição ou o momento de um número grande de sistemas quânticos
independentes, a seguinte expressão denominada valor esperado, dá o valor
médio das grandezas medidas em todos os sistemas, como por exemplo;
33
a)- O valor esperado da energia
é igual a:
(3)
b)- O valor esperado da posição é dado por:
(4)
e o valor esperado do quadrado da posição é igual a:
(5)
c)- O valor esperado do momento é dado por:
(6)
e o valor esperado do quadro do momento linear é igual a:
(7)
34
3.10-TEORIA DAS PROBABILIDADES
3.10.1 - Axiomas da Probabilidade
Para qualquer evento A, associa-se um numero P(A), chamado de
probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três
condições denominadas de axiomas da probabilidade.
(i) P( A)  0 (Probabilidade é um númeronão negativo)
(ii) P()  1 (Probabilidade do espaçode amostrasé unitário)
(iii) Se A  B   , então P( A  B)  P( A)  P( B).
Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos,
a probabilidade da união é igual a soma de suas probabilidades)
35
3.10.2 - Variáveis Aleatórias
Seja (, F, P) o modelo probabilístico para um dado experimento
e X uma função que mapeia os pontos amostras   , em um
conjunto de números reais x  R.
Se B é um subconjunto de R, então pode-se determinar a
probabilidade de “ X ( )  B ”. Para determinar essa probabilidade
pode-se olhar para o conjunto A  X 1 ( B)   que contém todos os
pontos    que são mapeados em B pela função X.
X ( )  x.

X ( )
x

A
B
R
Probabilidade do evento " X ( )  B "  P( X 1 ( B)).
36
Variável Aleatória (v.a.): É uma função X( . ) que mapeia o
conjunto de todos os pontos do espaço de amostras  em um
conjunto de números reais R, tal que o subconjunto
{
| X ( ) £ x
} { X
£ x
}
é um evento para qualquer x  R.
O que dizer sobre { a < X £ b }, { X  a } ? são também eventos?
De fato se b > a então
{ X £ a}
e {X
{ X £ a }c  { X > a } é um evento, e { X
£b
} são eventos. E ainda
> a } { X £ b }  {a < X £ b}
é portanto um evento.
Desta forma,
1
ì
ü
a

< X £ a ý
í
n
î
þ
Consequentemente,
é um evento para qualquer n.
¥
1
ì
ü
a

<
X
£
a
í
ý  { X  a}
Iî
n
þ
n 1
é um evento.
2
37
3.10.3 - Função Distribuição de Probabilidade - FDP
Como a todo evento será atribuída uma probabilidade, então a
probabilidade do evento { | X ( ) £ x }  { X £ x } dependerá de x.
Definindo
P{ | X ( ) £ x }  P{X £ x}  FX ( x)  0.
onde FX (x) é chamada de Função Distribuição de Probabilidade
(FDP) da variável aleatória X.
Exemplo 1: Seja X uma v.a. tal que X ( )  c,   . Encontre
Solução:
Para
x < c,
Para
x > c,
FX (x).
{ X ( ) £ x }  { X £ x }  { }, então, P{X £ x}  FX (x)  0
{X ( ) £ x}  {X £ x}  , então, P{X £ x}  FX (x)  1
FX (x )
1
c
x
38
3.10.4 - Propriedades da Função Distribuição de Probabilidade
1 . FX(x) é não decrescente, contínua pela direita e satisfaz as
seguintes condições:
FX (¥ )  P{ X £ ¥ }  P()  1
FX (¥ )  P{X £ ¥ }  P( )  0.
2. Se x1 < x2 , então FX ( x1 ) £ FX ( x2 ),
Se
x1 < x2 ,
Portanto,
(¥, x1 )  (¥, x2 ).
então
{X
£ x1
}  {X
£ x2 },
FX ( x1 )  P X £ x1  £ P X £ x2   FX ( x2 ),
3. FX ( x  )  FX ( x), para todo x.
Demonstração: Seja x < xn < xn1 <  < x2 < x1, e Ak um evento
dado por
Ak  { x < X £ xk } então
{x < X
£ xk } { X £ x}  { X £ xk },
39
Usando a propriedade de eventos mutuamente exclusivos
P( Ak )  Px < X ( ) £ xk   FX ( xk )  FX ( x).
Mas  Ak 1  Ak  Ak 1 , e então
¥
lim Ak 
k ¥
Assim
IA
k

k 1
e então lim P( Ak )  0.
k ¥
lim P( Ak )  lim FX ( xk )  FX ( x)  0.
k ¥
k ¥
Mas lim xk  x  , o limite à direita de x, e portanto
k ¥
FX ( x  )  FX ( x),
isto é, FX (x)
é contínua pela direita,
40
Propriedades da FDP
4. Se FX ( x0 )  0 para algum x0 então, FX ( x)  0, x £ x0 .
Demonstração: Dado que FX ( x0 )  P X £ x0   0 , então {X £ x0 }
será um subconjunto vazio para qualquer x £ x0 , { X £ x } será um
evento nulo e portanto, FX ( x)  0, x £ x0 .
5.
P{ X > x }  1  FX ( x).
Decorre do fato de que
{ X £ x } { X > x }   , e de que os dois
eventos serem mutuamente exclusivos.
6.
P{ x1 < X £ x2 }  FX ( x2 )  FX ( x1 ), x2 > x1.
Os eventos { X £ x1 }
e
{x1 < X £ x2 }
são mutuamente
exclusivos e a união dos dois representa o evento { X £ x2 }.
41
7. P X  x   FX ( x)  FX ( x  ).
Seja x1  x   ,  > 0,
e
x2  x. Então
lim P{ x   < X £ x }  FX ( x)  lim FX ( x   ),
 0
ou
 0
P{ X  x }  FX ( x)  FX ( x  ).
Quando x  x0 pode-se escrever:
P{ X  x0 }  FX ( x0 )  FX ( x0 ) > 0.
  {H ,T }.
Exemplo 2: Lançamento de uma moeda. Seja
Define-se uma v.a. X tal que X (T )  0, X ( H )  1. Encontre FX (x).
Solução:
Para
x < 0, { X £ x }  { },
0 £ x < 1,
x  1,
FX (x)
FX ( x)  0.
{ X £ x }  { T }, então
{ X £ x }  { H , T }  ,
FX ( x)  P{ T }  1  p,
então FX ( x)  1.
1
q
1
x
42
3.10.5 - Tipos de Variáveis Aleatórias
• X é chamada de variável aleatória do tipo contínua se a sua função
distribuição de probabilidade FX (x) é contínua. Neste caso
FX ( x  )  FX ( x)
para todo x. Portanto P{X  x}  0.
• Se FX (x) é constante, exceto para um número finito de
descontinuidades, do tipo degrau, então X é chamada de
variável aleatória do tipo discreta. Neste caso tem-se:
pi  P{X  xi }  FX ( xi )  FX ( xi ).
FX (x)
1
q
1
Ex:
x
xi
P{ X  0 }  FX (0)  FX (0 )  q  0  q.
43
Exemplo3- Uma moeda é lançada duas vezes. Define-se uma v.a. X
para representar o espaço de amostras:
  { HH , HT , TH , TT },
X ( HH )  2, X ( HT )  1, X (TH )  1, X (TT )  0. Determine FX( x ).
Solução:
x < 0,
P( X £ x)  FX ( x)
{X
£ x}    FX ( x)  0,
1
0 £ x < 1, {X £ x}  { TT }  FX ( x)  P{ TT }  P (T ) P (T )  ,
4
1 £ x < 2, {X £ x}  { TT , HT , TH }  FX ( x )  P{ TT , HT , TH } 
x  2,
{X
£ x}    FX ( x)  1.
3
,
4
P{X  1}  FX (1)  FX (1 )  3 / 4  1 / 4  1 / 2.
FX (x)
1
3/ 4
1/ 4
1
x
2
44
3.10.6 - Função densidade de Probabilidade (f.d.p)
A derivada da função distribuição de probabilidade FX (x) é chamada
de função densidade de probabilidade f X (x) definida por:
dFX ( x)
f X ( x) 
.
dx

da natureza monotônica não decrescente de FX (x ), tem-se:
dFX ( x )
F ( x  x )  FX ( x )
 lim X
 0,

x

0
dx
x
Daí segue que:
1. f X ( x)  0 Para todo x.
2. f X (x) será uma função contínua se X é uma v.a. contínua.
3. Se X é uma v.a.o tipo discreta a f.d.p. é por: f X ( x)   pi ( x  xi ),
i
x
4. FX ( x)  ¥ f x (u )du.
5. FX (¥) 
6.

¥
¥
P{ x1 < X ( ) £ x2
f X (x )
f x ( x)dx  1,
}  FX ( x2 )  FX ( x1 )  x
x2
1
pi
xi
f X ( x )dx.
x
45
3.10.7 - Variáveis aleatórias do tipo contínuas
1. Normal (Gaussiana): X é dito ser uma v.a. normal ou
Gaussiana se
f X ( x) 
1
2
2
e
 ( x   ) 2 / 2 2
.
A curva apresenta uma simetria em relação um parâmetro  ,
e sua distribuição é dada por:
x
1
¥
2

FX ( x) 
2
e
 ( y   ) 2 / 2 2
x

dy  G
,
  
onde G( x)   1 e dy é tabelado. Uma vez que f X (x)
2
depende de dois parâmetros  e  2 , anotação  X N (  , 2 )
será usada para representa-la.
f (x)
x
 y2 / 2
¥
X

x
46
X U (a, b), a < b,
2. Uniforme:
ì 1
ï
, a £ x £ b,
f X ( x)  í b  a
ï
î 0, outros valores
X   ( )
3. Exponencial:
ì 1 x / 
ï
e
, x  0,
fX ( x )  í 
ï
î 0, outros valores.
f X (x )
f X (x )
1
ba
a
b
x
x
47
4. Gamma: X  G( ,  ) se ( > 0,  > 0)
f X (x )
 1
ì x
x / 
ï
e
, x  0,
f X ( x )  í ( )  
ï
0, otherwise.
î
x
se   n um inteiro (n)  (n  1)!.
f X (x )
5. Beta: X   (a, b) if (a > 0, b > 0)
0
1
x
1
ì
x a 1 (1  x )b1 , 0 < x < 1,
ï
f X ( x )  í  ( a , b)
ï
0,
otherwise.
î
onde a função beta
 (a, b)
é definida como
1
 (a, b)   u a 1 (1  u)b1 du.
0
48
6. Chi-Square: X   2 (n),
f X (x )
1
ì
x n / 21e  x / 2 , x  0,
ï n/2
f X ( x )  í 2 ( n / 2)
ï
0,
otherwise.
î
Note que  2 (n) é a mesma Gamma
x
(n / 2, 2).
7. Rayleigh: X  R( 2 ),
x  x 2 / 2 2
ì
ï
e
, x  0,
f X ( x )  í 2
ï
î 0, otherwise.
f X (x )
x
8. Nakagami – m distribuição:
ì 2  m m 2 m 1  mx2 / 
x e
, x0
ï


f X ( x )  í ( m )   
ï
0
otherwise
î
49
3.10.8 - Variáveis aleatórias do tipo discretas
1. Bernoulli: X toma os valores (0,1), e
P( X  0)  q,
2. Binomial: X  B(n, p),
P( X  1)  p.
 n  k nk
P( X  k )  
, k  0,1,2, , n.
k 
p q
 
3. Poisson: X  P( ) ,
P( X  k )  e 
k
k!
, k  0,1,2,, ¥.
P( X  k )
P( X  k )
k
n
12
Binomial
Poisson
50
4. Hipergeométrica:
P( X  k ) 
m
 
k 
 
 N m 


 n k 


,
N 
 
n 
 
max(0, m  n  N ) £ k £ min( m, n )
)
5. Geométrica: X  g ( p)
P( X  k )  pqk , k  0,1,2,, ¥,
q  1  p.
6. Binomial: Negativa X ~ NB (r, p),
 k  1 r k  r
P( X  k )  
p q ,

 r 1
k  r, r  1,
.
7. Discreta-Uniforme:
1
P( X  k ) 
, k  1,2,, N .
N
51
3.10.9 - Média, Variância e Momentos
A função densidade de probabilidade de uma v.a X, f X (x).
representa uma informação complete a respeito da v.a. X
e e de todo subconjunto B mapeado sobre o eixo- x
P X ( )  B    f X ( x )dx.
B
Se é desejado representar-se alguma informação mais
detalhada ou caracterizar, por exemplo, o comportamento
médio de uma v.a. X, então é necessário introduzir neste
contexto dois importante parâmetros que são: média e
variância, que são usados para caracterizar todas as
propriedades de uma v.a. X e de sua função densidade de
probabilidade, f (x).
X
52
A Média ou Valor Esperado de uma
v.a. X é definido como:
¥
X  X  E( X )  
¥
x f X ( x )dx.
Se X é uma v.a. do tipo discreta, então
 X  X  E( X ) 
 x p  ( x  x )dx   x p (x x )dx
i
i
i i
i

i
 x p   x P( X  x ) .
i i
i
i
i
1
i
i
Portanto, a média representa o valor de uma v.a. mais
provável de ocorrer, quando um número muito grande de
um dado experimento é repetido. Por exemplo, se X é uma
v.a. uniformemente distribuída no intervalo (a,b), o valor
médio é dado por:
E( X ) 

b
a
2 b
x
1 x
dx 
ba
ba 2
a
b2  a 2
ab


2(b  a )
2
53
Quando X é uma v.a. gaussiana,
E( X ) 

1
2
1
2
2
2

¥
¥
¥
xe
( x   ) 2 / 2 2
1
dx 
dy   
ye


 y 2 / 2 2
¥
0
2
1
2


¥
¥
¥
( y   )e
 y 2 / 2 2
e
dy   .

2
2
 y 2 / 2 2
¥
1
Se Y  g ( X ) representa uma nova v.a. com f.d.p. fY ( y ).,
então o valor médio de y é dado por:
Y  E (Y )  
¥
¥
y fY ( y )dy.
Mas, para calcular E (Y ), é necessário determinar fY ( y ).
Relembrando que, para qualquer y,
P y < Y £ y  y    Pxi < X £ xi  xi  ,
y > 0
i
onde xi representa as múltiplas soluções de y  g ( x ).
i
54
dy
fY ( y )y   f X ( xi )xi ,
Pode -se escrever que
onde xi ,
xi  xi são intervalos
i
que não se sobrepõe, então
y fY ( y )y   y f X ( xi )xi   g ( xi ) f X ( xi )xi ,
i
Então fazendo y  0, tem-se:
E (Y )  E g ( X )   
¥
¥
i
y fY ( y )dy  
¥
¥
g ( x ) f X ( x )dx.
Para o caso discreto a expressão reduz-se a:
E (Y )   g ( xi )P( X  xi ).
i
Exemplo: Se X é uma v.a. de Poisson, determine o valor
médio de Y  X 2 .
E (Y )  E ( g ( X ))  E ( X 2 )
55
¥
¥
k
k 0
k 0
k!
E X 2    k 2 P ( X  k )   k 2 e  
¥
 e   k
k 1
k
( k  1)!
¥
k
k 1
k!
 e   k 2
¥
i 1
i 0
i!
 e   (i  1)
i
i
i
¥
¥
¥








 
 e   i     e   i  e 
 i 0 i! i 0 i! 
 i 1 i!

i
m 1
¥
¥








 
 e  
 e   e  
 e 
 i 1 (i  1)!

 m 0 m!

 e  e   e    2   .
Em geral,
v.a. X.
E X k  é conhecido como o k-ésimo momento da
E (X 2 )  2   é o segundo momento da v.a. de Poisson.
56
Momentos: o momento de uma v.a. X é definido como:
___
n
mn  X  E ( X n ),
n 1
e n  E[( X   )n ] é conhecido como momento central da
v.a. X (momento em relação a média). Assim   m1e  2  2 .
Relação entre  n e m
n
n

n k
n
n k 
n  E [( X   ) ]  E    X (   ) 
 k 0  k 

n
k
n k


 
E
X
(


)


k 
k 0 

n
n
n k
m
(


)
.



k  k
k 0 

n
Em geral a quantidade E[( X  a)n ]é conhecida como
momento generalizado de X em relação a a e E[| X |n ]
é conhecida como momento absoluto de X.
57
3.11 – Partícula confinada numa caixa
Um exemplo da aplicação da equação de Schrödinger onde estes postulados são
requisitados é o caso de uma partícula de massa m, confinada em uma caixa, com paredes
infinitas. A parede da caixa é definida por um potencial V(x) infinito, como mostra a Fig.3.3.
Fig.3.3 - Potencial com barreiras infinitas
A equação de Schrödinger para a região entre as paredes, isto é no interior da caixa, o
potencial é nulo (V(x)=0) que é o mesmo para uma partícula livre. Assim a solução geral
para a equação de Schrödinger é igual a uma combinação funções de ondas planas como a
seguir:
(8)
58
Para verificar se realmente esta função de onda é solução da equação de Schrödinger
basta substituí-la na eq (1) e fazer as derivadas. Daí, tira-se que a energia total da partícula
(E) é igual a energia cinética, já que a energia potencial (V) é igual a zero no interior da caixa.
Isto é,
(9)
Resolvendo a derivada do lado esquerdo da equação acima tem-se que,
de onde tiramos o seguinte valor para a energia,
(11)
É necessário ressaltar que esta solução deve satisfazer aos postulados básicos da
mecânica quântica assim como as condições de contorno do problema em questão.
59
Fisicamente é impossível encontrar a partícula em qualquer região fora da caixa já que
o potencial nesta região é infinitamente grande. Neste caso a função deve ser nula nesta
região. Isto é,
(12)
Aplicando a primeira condição de contorno estabelecida na eq. (12), a função de onda (eq.8)
deve ter o coeficiente D igual a zero (D = 0), pois sen(0) = 0 e cos(0) = 1, para x = 0. Isto é,
(13)
Assim, a função de onda fica simplificada por;
(14)
Aplicando a segunda condição de contorno temos que;
(15)
a função seno é igual zero sempre que o seu argumento for um múltiplo inteiro de , isto
significa que;
(16)
60
O valor de n = 0 é descartado, pois ele implica que a partícula y(x) = 0 em todos os pontos do
espaço, o que significa que não se tem nenhuma informação sobre a posição da partícula.
Valores negativos de n implicaria apenas na mudança de sinal da função de onda já que a
função seno é uma função impar: sen(-x)= -sen(x).
Com base nestas condições de contorno a função de onda assume a seguinte forma;
(17)
Observamos também, que neste caso, existem vários estados possíveis para a partícula,
cujas energias são dadas em função do número quântico n;
(18)
Vimos assim que as condições de contorno restringem os tipos de funções de ondas que são
aceitáveis para este problema especifico. Um resultado muito importante obtido nesta
aplicação é que a energia tem valores quantizados como mostra a eq.18 e a Fig.3.4.
61
3.11.1- Sobre a Normalização da Função de Onda
Vimos anteriormente que nem todas as soluções da equação de Schrödinger são
autofunções adequadas ao problema em estudo, pois ela deve satisfazer, no mínimo aos
postulados da mecânica quântica, discutidos anteriormente. Em particular, ela deve satisfazer
ao postulado IV, isto é;
(19)
Com este postulado foi possível, então determinar o valor da constante C e assim a função
de onda assume a seguinte forma;
(20)
Variando o número quântico n, a função de onda assume as seguintes formas:
62
Fig. 3.4 - Movimento quantizado da partícula
63
3.11.2 - Sobre a Ortogonalidade da Função de Onda
Vimos anteriormente que a função de onda obtida para o caso de uma partícula confinada
em uma caixa e com paredes infinitas, define vários estados possíveis em que a partícula
pode existir. Estes estados podem ser determinados variando o número quântico n. Um fato
interessante é que estes estados são descritos por funções ortogonais, isto é;
(21)
Que em particular para os estados n = 1 e m = 3, tem-se
que
(22)
Cujo caso geral é dado pela seguinte equação :
(23)
64
3.11.3 - Movimento em duas dimensões
Vamos tratar a seguir o caso do movimento de uma partícula em uma caixa de duas
dimensões. Neste caso a equação de Schrödinger é igual a:
(24)
Supondo que o movimento da partícula nas duas direções são independentes, a função de
onda y(x,y) pode ser decomposta em duas funções; uma em função de x e outra em função
y, isto é;
(25)
Substituindo esta função na equação de Schrödinger, tem-se que;
(26)
de onde se tira que;
(27)
65
Sendo a energia total igual a soma das energia devido aos movimentos nas duas
direções;
(28)
As soluções das duas equações de Schrödinger, assumem a forma;
(29)
Como a função de onda total é igual ao produto das duas funções, tem-se que;
(30)
Cuja energia total é igual
a;
(31)
3.11.4 - Degenerescência da Solução
No caso em que as dimensões da caixa são idênticas, isto é L1 = L2 = L, temos que;
(32)
66
e a energia
(33)
Caso n1 = 1 e n2 = 1
Caso n1 = 1 e n2 = 2
67
Caso n1 = 2 e n2 = 2
68