PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3
Números, Progressões e Lógica
Prof. Ronaldo Busse
Números
Uma questão presente nos exames de seleção até aqui foi a comparação entre
grandezas numéricas. O procedimento indicado para tratar problemas desse tipo é
escrever as grandezas a serem comparadas de forma equivalente. Por exemplo:

Duas frações são facilmente comparáveis se possuírem o mesmo
numerador ou o mesmo denominador.

Duas potências são facilmente comparáveis se possuírem a mesma base ou
o mesmo expoente.
Para ilustrar as situações citadas acima, vamos considerar os seguintes exercícios:
01. (PROFMAT 2012) Qual dos números abaixo é mais próximo de 0,7?
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3/4
(D) 4/5
(E) 5/7
02. (PROFMAT 2012) Sejam 𝑎 = 27000 , 𝑏 = 53000 e 𝑎 = 132000 . Assinale a alternativa
correta.
(A) b<a<c

(B) c<b<a
(C) b<c<a
(D) a<c<b
(E) b<c<a
No primeiro exercício, observe que é pedida uma comparação entre frações, visto que
0,7 = 7/10. Nesse caso, podemos escrever todas as frações com um mesmo
7
294
denominador, dado por MMC(2,3,4,5,7,10)=420. Dessa forma, temos que 0,7 = 10 = 420
e
1 210 2 280 3 315 4 336 5 300
=
,
=
,
=
,
=
,
=
.
2 420 3 420 4 420 5 420 7 420
Conclusão: o número mais próximo é 5/7 (letra E).

Seguindo a linha de raciocínio proposta, no segundo exercício, devemos escrever as
três potências com a mesma base ou expoente. Visto que as bases são dadas por
números primos entre si, vamos trabalhar com as potências, utilizando
MDC(7000,3000,2000)=1000. Assim, teremos,
a = 27000 = 27×1000 = (27 )1000 = 1281000
b = 53000 = 53×1000 = (53 )1000 = 1251000
c = 132000 = 132×1000 = (132 )1000 = 169100 0
E, portanto, a alternativa correta é a letra A.
Outro ponto a ser destacado diz respeito às operações envolvendo números irracionais.



A soma ou o produto de dois números racionais é um número racional.
A soma ou o produto de um número racional e um número irracional é um
número irracional.
A soma ou o produto de dois números irracionais pode ser um número
racional ou irracional.
A seguir é dado um exercício que ilustra a situação acima.
03. (PROFMAT 2012) Considere os números reais
a=
2
1− 2
2
+ 8,
b= 1+ 3 ,
c=
1+ 2
3
4 2
−7
.
A opção verdadeira é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
a e b são ambos irracionais e c é racional
a e b são ambos inteiros e c é racional
a e c são ambos racionais e b é irracional
a é inteiro, b é racional e c é irracional
a é racional e b e c são ambos irracionais
Embora esse exercício seja resolvido utilizando-se “algebrismos” conhecidos, vamos fazer uma
análise qualitativa de cada número separadamente.

Observe que o número a é dado pela soma de duas parcelas irracionais e, portanto,
não podemos determinar sua natureza sem efetuarmos as contas.
𝑎=

2
1− 2
×
1+ 2
1+ 2
O número b é dado pelo produto de dois números irracionais e, portanto, também não
podemos determinar sua natureza a priori. Entretanto, efetuando o produto notável,
obtemos
𝑏 = 1+ 3

+ 8 = − 2 + 2 2 + 8 = −2.
2
= 1 + 2 3 + 3 = 4 + 2 3.
Nada podemos afirmar a respeito do numerador do número c, visto que envolve um
produto de três numero irracionais. Novamente, é necessária uma análise quantitativa.
c=
1+ 2
3
−7
4 2
=
7+5 2−7
4 2
5
= .
4
Conclusão: a resposta correta é a letra C.
O assunto números é bastante amplo e pode ser cobrado sob a forma de questões
mais simples e diretas ou por intermédio de questões mais elaboradas que envolvam
raciocínio lógico.
É importante destacar que exercícios envolvendo números possuem, em geral, diversas
formas de serem resolvidos. Algumas podem ser mais trabalhosas do que outras, mas
são todas igualmente válidas.
Exercícios
04. (PROFMAT 2011) O número 27−2/3 é igual a:
(A) 1/18
(B) 1/81
(C) 1/9
(D) -18
(E) 9
05. (PROFMAT 2011) O valor exato de 6666662 − 3333342 é:
(A) 333332 × 106
(B) 333332 × 108
(D) 333334 × 109
(E) 333334 × 108
(C) 333332 × 1010
06. (PROFMAT 2011) Quando 𝑥 e 𝑦 assumem quaisquer valores positivos, das
expressões abaixo, a única que não muda de sinal é:
(A) 𝑥 2 + 2𝑦 − 𝑦 2
(B) 𝑥 2 − 5𝑥
(D) 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2
(E) 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2
(C) 𝑥 − 𝑥
07. (PROFMAT 2011) Dividindo 6 por 7, o 100º algarismo da expansão decimal que
aparece após a vírgula é:
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 5
(E) 7
08. (PROFMAT 2011) As figuras abaixo são formadas por cinco pequenos quadrados e,
dentro de cada quadrado, esconde-se um número inteiro. O número que aparece
abaixo de cada um dos desenhos é a soma dos números escondidos nos quadrados
pintados.
O número do quadrinho central é:
(A) 2
(B) 5
(C) 7
(D) 9
(E) 13
09. (PROFMAT 2012) Sejam x e y números inteiros tais que 10𝑥 + 𝑦 seja um múltiplo de 7.
Assinale a resposta correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
𝑥 − 2𝑦 será certamente um múltiplo de 7
2𝑥 + 𝑦 será certamente um múltiplo de 7
𝑥 − 𝑦 será certamente um múltiplo de 7
2𝑥 − 𝑦 será certamente um múltiplo de 7
2𝑥 + 2𝑦 será certamente um múltiplo de 7
10. (PROFMAT 2011) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 16 e o
mínimo múltiplo comum desses mesmos números é 576. Podemos garantir que:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Os dois números são maiores do que 50
O produto dos dois números é maior que 8000
Os dois números são múltiplos de 32
Os dois números são divisores de 96
Um dos números é múltiplo do outro.
Gabarito
04. C
05. A
06. D
07. A
08. C
09. A
10. B
Progressões
Uma progressão é uma sequência (𝑎𝑛 ) definida recursivamente, isto é, cada elemento
𝑎𝑛 é dado em função de um ou mais elementos anteriores a ele.




Progressão Aritmética: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 −1 + 𝑟
𝑎0
𝑎1 = 𝑎0 + 𝑟
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 = 𝑎0 + 2𝑟
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 = 𝑎0 + 3𝑟
...
𝒂𝒏 = 𝒂𝟎 + 𝒏𝒓
Uma PA é uma função linear com domínio discreto.




Progressão Geométrica: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 −1 × 𝑞
𝑎0
𝑎1 = 𝑎0 × 𝑞
𝑎2 = 𝑎1 × 𝑞 = 𝑎0 × 𝑞 2
𝑎 3 = 𝑎2 × 𝑞 = 𝑎0 × 𝑞 3
...
𝒂𝒏 = 𝒂𝟎 × 𝒒𝒏
Uma PG é uma função exponencial com domínio discreto.
O exemplo a seguir trata de uma progressão (que não é PA ou PG) e ilustra a forma de pensar
acima.
11. (PROFMAT 2011) Uma sequência de números naturais é definida por 𝑎𝑛 +1 = 2𝑎𝑛 − 3,
para todo 𝑛 ≥ 0 e 𝑎0 = 5. O valor de 𝑎9 é:
(A) 612
(B) 825
(C) 1027
(D) 1286
(E) 2048
Assim como fizemos para PA e PG, tentaremos escrever o termos geral 𝑎𝑛 em função
de 𝑎0 . Para isso, vamos escrever os quatro primeiros termos para e, em seguida,
utilizaremos a “intuição”.




𝑎1
𝑎2
𝑎3
𝑎4
...
= 2𝑎0 − 3
= 2𝑎1 − 3 = 2 2𝑎0 − 3 − 3 = 4𝑎0 − 3 × 3
= 2𝑎2 − 3 = 2 4𝑎0 − 3 × 3 − 3 = 8𝑎0 − 7 × 3
= 2𝑎3 − 3 = 2 8𝑎0 − 7 × 3 − 3 = 16𝑎0 − 15 × 3
𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 𝒂𝟎 − 𝟐𝒏 − 𝟏 × 𝟑
Dessa forma, visto que 𝑎0 = 5, temos que
𝑎9 = 29 × 5 − 29 − 1 × 3 = 1027
e a resposta correta é a letra C.
Exercícios
12. (PROFMAT 2011) Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa de
manutenção mensal de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém
a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a
compra na loja A se torna mais vantajosa que a da loja B?
(A) 30
(B) 72
(C) 39
(D) 63
(E) 44
13. (PROFMAT 2011) O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais
intenso, aparecem as manchas solares e ocorrem as tempestades que são enormes
explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal fenômeno foi observado
pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos. A
última vez que esse fato ocorreu foi em
(B) 2004
(B) 2005
(C) 2006
(D) 2007
(E) 2008
14. (PROFMAT 2011) Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética
de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo
590:
(C) 599
(B) 603
(C) 717
(D) 707
Gabarito
12. E
13. E
14. D
(E) 612
Noções de Lógica
Considere duas sentenças A e B e suponha que A ⟹ B (isto é, a validade de A implica
na validade e B). Neste caso, temos:

A é dita uma condição suficiente para B, pois a validade de A é suficiente para
garantir a validade de B.

B é dita uma condição necessária para A, visto que a validade de A implica,
necessariamente, na validade de B.
Além disso, uma outra forma de ver a implicação acima é a contrapositiva, isto é, ~B ⟹
~A (ou seja, a não validade de B implica na não validade de A).
Quando A é uma condição suficiente e necessária para B (A ⟹ B e B ⟹ A), dizemos
que A e B são equivalentes e escrevemos A ⟺ B (vale A, se e somente se, vale B).
A fim de ilustrar os conceitos acima, sejam x e y dois números reais quaisquer e considere as
seguintes sentenças:
 A: x é um número irracional
 B: y é um número racional
 C: x+y é um número irracional
Inicialmente, vamos considerar a validade da sentença A.
Observe que B é uma condição suficiente para C (B ⟹ C), pois a soma de um número
irracional com um número racional é um número irracional. Além disso, C é uma condição
necessária para B, visto que sendo y um número racional, então necessariamente a soma tem
que ser um número irracional.
Por outro lado, negar a sentença C significa dizer que a soma x+y é um número racional.
Dessa forma, como o número x é irracional, o número y não poderá ser racional (pois a soma
daria irracional) e, portanto, temos a negativa da sentença B. Logo, ~C ⟹ ~B.
Finalmente, note que B e C não são equivalentes, pois C não é uma condição suficiente
para B. De fato, a soma ser um irracional não garante que y seja racional (poderíamos ter dois
irracionais com a soma dando irracional).
Vamos agora, considerar a validade de B.
Nesse caso, as sentenças A e C são equivalentes. De fato, A ⟹ C, pois a soma de um
racional com um irracional tem que dar um irracional. Por outro lado, C ⟹ A pois, caso x fosse
racional, a soma daria racional e teríamos ~A ⟹ ~C.
Para resolver problemas matemáticos utilizando princípios de lógica, devemos:




Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações disponíveis.
Ter bem claro o que se deve provar e o que é assumido como verdadeiro.
Caso necessário, mudar a representação do problema, transformando-o em um
problema equivalente.
No caso de questões objetivas, pode ser útil testar as opções e, dessa forma,
restringir as possibilidades.
Considere o seguinte problema:
15. (PROFMAT 2011) Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que
apenas uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira. Assinale-a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
𝑎𝑏 é um número par
𝑎+𝑏 = 5 e𝑏−𝑎 =7
𝑎 + 𝑏 = 4 e 𝑎 = 3𝑏
𝑎−𝑏 ≤ 2
Pelo menos um dos números a ou b é par
Observe que, pelo enunciado, não podem ocorrer duas alternativas simultaneamente.
Dessa forma, temos as seguintes considerações:

As alternativas A e E são equivalentes (o produto de dois números é par e, e somente
se, um deles for par). Logo, nenhuma das duas pode ocorrer sozinha.

Resolvendo o sistema da letra B, obtemos 𝑎 = −1 e 𝑏 = 6. Dessa forma, B ⟹ E e,
portanto, B não pode ocorrer sozinha.

Resolvendo o sistema da letra C, obtemos 𝑎 = 3 e 𝑏 = 1. Dessa forma, 𝑎 − 𝑏 = 2 e,
portanto, C ⟹ D. Logo, C não pode ocorrer sozinha.

Observe que a letra D não é condição suficiente para nenhuma outra. Por exemplo,
considerando 𝑎 = 𝑏 = 1, vale apenas a alternativa D.
Conclusão: a resposta correta é a letra D.
Exercícios
16. (PROFMAT 2011) Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças,
quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe
chega um certo dia na cidade e mantém o seguinte diálogo com a pessoa X:
- Felipe: Que dia é hoje?
- X: Sábado.
- Felipe: Que dia será amanhã?
- X: Quarta-feira.
Em que dia da semana foi mantido esse diálogo?
(A) Sábado
(B) Quinta-feira
(D) Terça-feira
(E) Sexta-feira
(C) Segunda-feira
17. (PROFMAT 2012) Meninas formam uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de
Denise e é a sexta garota à direita de Denise. Quantas meninas estão na roda?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 17
18. (PROFMAT 2012) Dados que todos A’s são B’s, mas apenas alguns B’s são C’s, qual
das alternativas abaixo é certamente correta?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Nenhum A é C.
Se algo é C então ele também é B.
Todo A é C.
Ou nenhum A é C ou nenhum C é B
Se algo não é B então ele não é A
19. (PROFMAT 2012) Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles
conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número
de peixes que o outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou
menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
20. (PROFMAT 2012) Assinale a alternativa verdadeira:
(A) Se 𝑥 é um número real positivo, então 𝑥 6 > 𝑥 4
(B) Se 𝑥 é um número real e 𝑥 2 = 𝑥, então 𝑥 = 1
𝑥
(C) Se 𝑥 > 200 e 𝑦 > 4, então 𝑦 > 50
(D) Se 𝑥 é um número real, então 𝑥 2 ≥ −𝑥
(E) Se 𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0 então 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 2
Gabarito
16. B
17. B
18. E
19. C
20. E