Aula 1

Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Aula 1: Introdução à Probabilidade
Prof. Leandro Chaves Rêgo
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE
Recife, 07 de Março de 2012
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Experimento Aleatório
Um experimento é qualquer processo de observação. Por exemplo, considere
medirmos a corrente elétrica em um fio de cobre ou medirmos o peso de um
tijolo. Quando repetimos tal experimento, os resultados podem diferir. Esta
variação de resultados é denominada de componente aleatório do nosso
experimento.
Se as variações forem desprezíveis, estas podem ser ignoradas. Porém,
frequentemente nos deparamos com situações onde é importante levar as
variações em consideração.
O objetivo de se estudar Probabilidade e Estatística é compreender, quantificar
e modelar os tipos de variações ou fenômenos aleatórios que encontramos com
frequência.
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Independência
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Experimento Aleatório
Os seguintes traços caracterizam um experimento aleatório:
(a) Se for possível repetir as mesmas condições do experimento, os resultados
do experimento em diferentes realizações podem ser diferentes, ou seja,
existem variáveis ou fatores que não consegue-se controlar.
(b) Pode-se descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do
experimento.
(c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma
configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que
torna possível construir um modelo probabilístico.
Os resultados de um experimento aleatório são caracterizados pelos seguintes
componentes:
1
o conjunto de resultados possíveis Ω;
2
a coleção de conjuntos de resultados de interesse A;
3
um valor numérico P da verossimilhança ou probabilidade de ocorrência
de cada um dos conjuntos de resultados de interesse.
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Espaço Amostral
O conjunto de possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de
espaço amostral. Existem quatro pontos que são desejáveis da especificação de
um espaço amostral:
SS1. listar os possíveis resultados do experimento;
SS2. fazê-lo sem duplicação;
SS3. fazê-lo em um nível de detalhamento suficiente para os interesses
desejados;
SS4. especificar essa lista completamente em um sentido prático, embora
usualmente não completa no que se refere a todos os resultados
logicamente ou fisicamente possíveis.
Por exemplo, em uma única jogada de uma moeda poderíamos ter:
Ω1 = {cara, coroa}; Ω2 = {cara, coroa, borda}; ou Ω3 = {(x, y ) ∈ IR 2 },
onde (x, y ) são as coordenadas do centro da moeda após parar.
Espaços amostrais podem ser enumeráveis ou não enumeráveis; se os elementos
do espaço amostral podem ser colocados em uma correspondência 1-1 com um
subconjunto dos inteiros, o espaço amostral é enumerável.
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Exemplos
Exemplo
Se estivermos interessados no número de chamadas que chega a uma central
telefônica em um dado intervalo de tempo, temos que o espaço amostral
pode ser o conjunto de inteiros não-negativos IN .
Exemplo
Se estivermos medindo o peso de 1 tijolo produzido em uma fábrica, temos
que o espaço amostral pode ser o conjunto de reais não-negativos IR + . Se
estivermos medindo o peso de 2 tijolos produzidos em uma fábrica, temos
que o espaço amostral pode ser o conjunto IR + × IR + .
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Eventos e Coleção de Eventos
Um evento é um subconjunto do espaço amostral.
Se ao realizarmos um experimento aleatório, o resultado pertence a um
dado evento A, dizemos que A ocorreu.
Utilizaremos as operações Booleanas de conjuntos (complementar, união,
intersecção, diferença) para expressar eventos combinados de interesse.
Definição
Dado um espaço amostral Ω e um conjunto qualquer I, uma partição
Π = {Aα , α ∈ I} de Ω é uma coleção de eventos que satisfaz:
P1. Para todo α 6= β, Aα ∩ Aβ = ∅;
P2. ∪α∈I Aα = Ω.
Portanto, cada elemento ω ∈ Ω pertence a um, e somente um, dos eventos Aα
de uma partição.
Se dois eventos não possuem nenhum resultado em comum, diz-se que são
disjuntos ou mutuamente exclusivos.
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Alguns Exemplos
Exemplo
Sejam A, B, e C eventos em um mesmo espaço amostral Ω. Expresse os
seguintes eventos em função de A, B, e C e operações Booleanas de
conjuntos.
(a) Pelo menos um deles ocorre.
(b) Exatamente um deles ocorre.
(c) Pelo menos dois ocorrem.
(d) No máximo dois deles ocorrem.
(e) Ambos A e B ocorrem, mas C não ocorre.
Exemplo
A coleção de intervalos {(n, n + 1] : n ∈ Z } é uma partição dos números reais
IR .
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Frequências Relativas
Resta-nos discutir o terceiro elemento para modelagem do raciocínio
probabilístico, a associação de uma medida numérica a eventos que
representam a probabilidade com que eles ocorrem. As propriedades desta
associação são motivadas em grande parte pelas propriedades de frequência
relativas. Ao repetirmos um experimento aleatório n vezes sua frequência
relativa nada mais é que a fração de vezes que este evento ocorre, ou seja,
Definição
A frequência relativa de um evento A determinada por n repetições de um
experimento aleatório é
Nn (A)
,
rn (A) =
n
onde Nn (A) é o número de vezes que o evento A ocorreu nas n realizações
do experimento.
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Exemplo
Suponha que lança-se um dado 10 vezes e obtém-se a seguinte sequência de
resultados: {1, 2, 2, 6, 5, 4, 4, 4, 6, 1}. A frequência relativa do evento A = {2, 4}
é igual a r10 (A) = 5/10, a frequência relativa do evento B = {3, 5} é igual a
r10 (B) = 1/10 e a frequência relativa de A ∪ B é igual a r10 (A ∪ B) = 6/10.
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Frequências Relativas
Propriedades chaves da frequência relativa são:
FR0. rn : A → IR .
FR1. rn (A) ≥ 0.
FR2. rn (Ω) = 1.
FR3. Seja Ai , i = 1, 2, . . . , k,
P uma coleção finita de eventos disjuntos par a par.
Então, rn (∪ki=1 Ai ) = ki=1 rn (Ai ).
Assumiremos que ao aumentarmos o número de repetições do experimento, a
frequência relativa de um evento A tende a se estabilizar ao redor de um
número P(A), que chamamos de probabilidade do evento A. Salientamos que o
sentido de convergência quando n cresce só pode ser explicado pela Lei dos
Grandes Números, que não será discutida em detalhes neste curso. Esta
tendência da frequência relativa de estabilizar em um certo valor é conhecida
como regularidade estatística. Deste modo, P herdará propriedades da
frequência relativa rn .
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Axiomas de Kolmogorov
São um conjunto de propriedades que definem que tipos de funções
matemáticas podem ser adotadas para descrever um modelo probabilístico. Os
primeiro quatro axiomas podem ser motivados pelas propriedades de frequência
relativa.
K0. Inicial. O experimento aleatório é descrito pelo espaço de probabilidade
(Ω, A, P) que consiste do espaço amostral Ω, de uma coleção A de
eventos de Ω, e de uma função de valores reais P : A → IR .
K1. Não-negatividade. ∀A ∈ A, P(A) ≥ 0.
K2. Normalização Unitária. P(Ω) = 1.
K3. Aditividade Finita. Seja Ai , i = 1, 2, . . . , n,
Puma coleção finita de eventos
disjuntos par a par. Então, P(∪ni=1 Ai ) = ni=1 P(Ai ).
Um último axioma foi proposto por Kolmogorov para garantir um certo grau de
continuidade da medida de probabilidade.
K4. σ-aditividade. Se {Ai } é uma coleção enumerável de eventos disjuntos
dois a dois, então
∞
X
P(Ai ).
P(∪∞
A
)
=
i
i =1
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Medida de Probabilidade
Definição
Uma função que satisfaz K0—K4 é chamada de uma medida de
probabilidade.
Observação
Os axiomas de Kolmogorov não descrevem um único modelo probabilístico,
eles apenas determinam uma família de modelos probabilísticos, a escolha
de um modelo específico satisfazendo os axiomas é feito pelo
analista/estatístico familiar com o fenômeno aleatório sendo modelado.
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Exemplos de Medidas de Probabilidade
Exemplo
Se Ω for um conjunto finito, então temos que a probabilidade clássica que
assume que todos os resultados são igualmente prováveis, é um exemplo de
uma medida de probabilidade. Neste caso, temos que
P(A) =
||A||
,
||Ω||
onde ||A|| é o número de elementos de A. O fato que 0 ≤ ||A|| ≤ ||Ω|| e que
||A ∪ B|| = ||A|| + ||B|| − ||A ∩ B||,
permitem que verifiquemos que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov.
Exemplo
Seja Ω =P{ω1 , ω2 , . . . , ωn } um conjunto
finito, e seja P({ωi }) = pi , onde
P
pi ≥ 0, ni=1 pi = 1, e P(A) = ωi ∈A P({ωi }). Neste caso, também é fácil
verificar que P é uma medida de probabilidade verificando os axiomas.
Portanto, no caso de qualquer conjunto finito (ou infinito enumerável),
pode-se calcular a probabilidade de qualquer evento somando-se as
probabilidades dos eventos que consistem de resultados individuais.
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Propriedades de Probabilidade
Teorema
Se P é uma medida de probabilidade, então
1
P(Ac ) = 1 − P(A).
2
P(∅) = 0.
3
P(A) ≤ 1.
4
Se A ⊆ B, então P(A) ≤ P(B).
5
P(A ∪ B) ≥ max(P(A), P(B)) ≥ min(P(A), P(B)) ≥ P(A ∩ B).
6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
7
Se {Ai } é uma partição enumerável de Ω feita de conjuntos em A, então
para todo B ∈ A
X
P(B) =
P(B ∩ Ai ).
8
P(∪ni=1 Ai )
9
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) − P(A1 ∩ A2 ) − P(A1 ∩
A3 ) − P(A2 ∩ A3 ) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ).
i
≤
Pn
i =1
P(Ai ).
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Exercícios
Exemplo
Uma peça selecionada para teste é igualmente provável de ser produzida em
qualquer uma de seis ferramentas de corte.
(a) Qual o espaço amostral?
(b) Qual é a probabilidade da peça ser proveniente da ferramenta 3 ou 5?
(c) Qual é a probabilidade da peça não ser da ferramenta 4?
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Exercícios (cont.)
Exemplo
Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2,
P(B) = 0,3 e P(C ) = 0,4, determine:
(a) P(A ∩ B ∩ C ).
(b) P(Ac ∪ (B ∪ C )).
(c) P((A ∪ B) ∩ C ).
Exemplo
Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obter
P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C ) = 0,5? Justifique.
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Princípios de Contagem
Amostragem com Reposição. Dado um conjunto com n elementos
distintos, existem nk sequências distintas de comprimento k escolhida
desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento sendo
permitida.
Amostragem sem Reposição. Dado um conjunto com n elementos
distintos, existem n(n − 1)(n − 2)(n − k + 1) sequências distintas de
comprimento k escolhida desse conjunto com repetidas seleções do
mesmo elemento não sendo permitida.
Permutações. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem
n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1) , n! maneiras de ordenar sequncialmente estes
elementos. n! é chamado de em fatorial de n.
Subconjuntos.
Dado um conjunto com n elementos distintos, existem
n
n!
=
diferentes subconjuntos de k elementos. Recorde que em
k!(n−k)!
k
um conjunto a ordem dos elementos não importa, por isso existem menos
subconjuntos que sequências de um mesmo tamanho de um dado
conjunto. nk é chamado de binomial de n, k a k, e determina o número
de maneiras de se escolher k elementos de um conjuntos com n
elementos.
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Exercícios (cont.)
Exemplo
Dentre 8 números positivos e 6 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números
(sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade que
o produto seja um número positivo?
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Exercícios (cont.)
Exemplo
Em um grupo de r pessoas qual a probabilidade de haver pelo menos duas
pessoas que façam aniversário no mesmo dia, assumindo que a distribuição
de aniversários é uniforme ao longo do ano e desprezando a existência de
anos bissextos?
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Exercícios (cont.)
Solução: O número de resultados possíveis para os aniversários de r pessoas é
365r . O número de casos possíveis onde todas as pessoas fazem aniversário em
dias diferentes é dado por 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)). Portanto, o
número de casos possíveis onde pelo menos duas pessoas fazem aniversário no
mesmo dia é a diferença entre o número total de aniversários possíveis e o
número de casos onde as pessoas têm aniversários em datas diferentes, ou seja,
é igual a
365r − 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)).
Logo, a probabilidade deste evento é:
1−
365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1))
.
365r
Para r = 23, temos que essa probabilidade é aproximadamente igual a 0, 51. E
para r = 50, essa probabilidade é igual a 0, 97.
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Exercícios (cont.)
Exemplo
Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de
duas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo?
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Exercícios (cont.)
Solução:
8 O
número total de divisões de doze pessoas em 3 grupos de 4 é igual
4
a 12
. Vamos agora contar o número de casos favoráveis ao nosso
4
4 4
evento. Existem 3 opções de escolhermos em qual grupo as duas pessoas
determinadas podem ficar. Das 10 pessoas restantes, temosque escolher mais
duas para estarem neste grupo, o que podemos fazer de 10
maneiras
2
diferentes. E temos 84 44 maneiras diferentes de dividir as outras 8 pessoas
nos dois grupos restantes. Portanto, a probabilidade de duas determinadas
pessoas ficarem no mesmo grupo é:
8 4
3 10
3
4 4
2
=
.
12 8 4
11
4
4 4
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Independência
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Probabilidade Condicional
Probabilidade é baseada em informação e conhecimento. Nosso objetivo é
saber como atualizar o valor da probabilidade quando esta base de informação
ou conhecimento é alterada. Em particular, como alterar a probabilidade de um
dado evento A quando sabe-se que um determinado evento B ocorreu?
Seja n o número de vezes que repete-se um experimento. Seja NA (resp.,
NB > 0 e NA∩B ) o número de vezes que o evento A (resp., B e A ∩ B) ocorre
nessas n repetições. A probabilidade condicional de A dado que sabe-se que B
ocorreu, P(A|B), segundo uma interpretação frequentista, sugere que ela deve
ser igual ao limite das frequências relativas condicionais do evento A dado o
evento B, isto é, deve ser o limite NA∩B /NB quando n tende ao infinito. Seja
rA = NA /n a frequência relativa do evento A. Note que NA∩B /NB = rA∩B /rB e
que segundo a interpretação frequentista de probabilidade rA∩B /rB é
aproximadamente igual a P(A ∩ B)/P(B) para valores grandes de n.
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Definição
Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. Se A, B ∈ A e P(B) > 0 a
probabilidade condicional de A dado B é definida por
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Teorema
Seja B um evento tal que P(B) > 0, então:
1
P(A|B) ≥ 0.
2
P(Ω|B) = 1.
3
Se A1 , A2 , . . . é umaP
coleção enumerável de eventos disjuntos par a par,
então P(∪i Ai |B) = i P(Ai |B).
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Observação
Este teorema implica que para um evento fixo B que satisfaz P(B) > 0, a
função P(·|B) : A ⇒ IR satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov e portanto
é uma medida de probabilidade. Logo, todas as propriedades válidas para
probabilidade incondicional continuam válidas para probabilidade
condicional.
A probabilidade condicional também satisfaz as seguintes propriedades:
1
P(B|B) = 1;
2
P(A|B) = P(A ∩ B|B);
3
se A ⊇ B, então P(A|B) = 1;
4
P(A ∩ B|C ) = P(A|B ∩ C )P(B|C ).
5
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 |A2 )P(A2 ).
6
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P(A1 |A2 ∩ A3 )P(A2 ∩ A3 ) =
P(A1 |A2 ∩ A3 )P(A2 |A3 )P(A3 ).
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Exemplos
Exemplo
Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,
independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a
probabilidade condicional de
(a) pelo menos um dos números ser 6,
(b) a soma dos números ser 8?
Solução: Para parte (a), note que existem 30 resultados possíveis para os
lançamentos do dado de modo que o mesmo número não se repita, dos
quais 10 o número 6 ocorre. Portanto, esta probabilidade é igual a 1/3.
Para parte (b), note que existem 4 resultados possíveis que somam 8 dado
que os números são diferentes, logo esta probabilidade é igual a 4/30.
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Exemplo
Um lote contém 15 moldes provenientes de um fornecedor local e 25 de um
fornecedor de um estado vizinho. Três moldes são selecionados ao acaso e sem
reposição. Seja Ai o evento um que o i-ésimo molde selecionado seja
proveniente do fornecedor local. Determine:
(a) P(A1 ).
(b) P(A2 |A1 ).
(c) P(A1 ∩ A2 ).
(d) P(A1 ∪ A2 ).
(e) P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ).
(f) P(A1 ∩ A2 ∩ Ac3 ).
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Teorema da Probabilidade Total
Utilizando este teorema pode-se obter uma probabilidade (incondicional) de
uma probabilidade condicional.
Teorema
Seja a sequência de eventos B1 , B2 , . . . uma partição de Ω, então para todo
A∈A
X
P(A) =
P(A|Bi )P(Bi )
i :P(Bi )6=0
Interpretação: B1 , B2 , . . . são possíveis causas e o evento A é um efeito
particular associado a uma causa, P(A|Bi ) especifica a relação estocástica
entre a causa Bi e o efeito A.
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Independência
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Teorema da Probabilidade Total
Por exemplo, seja {D, D c } uma partição do espaço amostral, onde D é o
evento que um dado indivíduo possui uma certa doença. Seja A o evento que
determinado teste para o diagnóstico da doença deu positivo. Então,
P(A|D c ) - falso positivo.
P(Ac |D) - falso negativo.
Estas probabilidades determinam a qualidade do teste, quanto menores as
probabilidades de falso negativo e falso positivo melhor a qualidade do
teste.
Caso as probabilidades P(D), P(A|D), P(A|D c ) sejam conhecidas pode-se
usando o Teorema da Probabilidade Total obter a probabilidade incondicional
de determinado exame dar positivo P(A). Porém geralmente, o que se busca é
saber que dado que o resultado de um exame deu positivo qual a probabilidade
de que o indivíduo esteja doente.
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Fórmula de Bayes
Pode-se obter esta probabilidade utilizando a famosa fórmula de Bayes:
P(A ∩ D)
P(A ∩ D) + P(A ∩ D c )
P(A|D)P(D)
=
.
P(A|D)P(D) + P(A|D c )P(D c )
P(D|A) =
Mais geralmente, quando temos uma partição B1 , B2 , . . ., a fórmula de Bayes é
dada por:
P(A ∩ Bi )
P(A ∩ Bi )
= P
P(Bi |A) = P
j P(A ∩ Bj )
j:P(Bj )6=0 P(A ∩ Bj )
= P
P(A|Bi )P(Bi )
.
P(A|Bj )P(Bj )
j:P(Bj )6=0
As probabilidades P(Bi ) são usualmente chamadas de probabilidades a priori e
as probabilidades condicionais P(Bi |A) são chamadas de probabilidades a
posteriori.
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Independência
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Exemplos
Exemplo
Jogos do campeonato paulista de futebol ocorrem durante a semana e
também nos fins de semana. Suponha que exatamente metade dos jogos
ocorram nos fins de semana. Suponha ainda que o São Paulo ganhe 50%
dos jogos durante o fim de semana, e perca em 20% de seus jogos no fim de
semana. Finalmente, suponha que o São Paulo ganhe todos os jogos que
ocorrem durante a semana.
(a) Determine a probabilidade do São Paulo empatar um jogo qualquer.
(b) Dado que o São Paulo ganhou seu último jogo, qual a probabilidade
deste jogo ter ocorrido durante a semana?
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Exemplos
Exemplo
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se,
sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a
probabilidade da primeira bola ser branca sabendo que a segunda bola é
branca.
Solução: Sejam B1 e B2 os eventos a primeira bola é branca e a segunda
bola é branca, respectivamente. Queremos calcular P(B1 |B2 ). Utilizando a
fórmula de Bayes, temos
P(B1 |B2 ) =
P(B2 |B1 )P(B1 )
.
P(B2 |B1 )P(B1 ) + P(B2 |B1c )P(B1c )
Mas P(B2 |B1 ) = 39 , P(B2 |B1c ) = 49 , P(B1 ) =
P(B1 |B2 ) =
3
9
·
3
9
4
10
4
· 10
+ 94 ·
4
10
6
10
e P(B1c ) =
=
2
15
2
5
=
1
.
3
6
.
10
Logo,
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Exemplos
Exemplo
Se P(C |D) = 0, 4 e P(D|C ) = 0, 5, que evento é mais provável C ou D?
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Exemplos
Exemplo
Uma fábrica tem 3 máquinas que produzem o mesmo ítem. As máquinas A e
B são responsáveis, cada uma, por 40% da produção. Quanto à qualidade,
as máquinas A e B produzem 10% de ítens defeituosos cada uma, enquanto
a máquina C apenas 2%. Um ítem é selecionado ao acaso da produção
dessa fábrica.
(a) Qual a probabilidade do ítem selecionado ser defeituoso?
(b) Se o ítem selecionado for defeituoso, qual a probabilidade que tenha
sido produzido pela máquina A?
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Independência
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Independência
Intuição: dois eventos são independentes se eles não têm nada haver um com o
outro, eles são totalmente não relacionados; a ocorrência de um não tem
nenhuma influência sobre o outro. Por exemplo, resultados de lançamentos
sucessivos de uma moeda.
Pode-se usar probabilidades condicionais para formalizar esta intuição da
seguinte forma, A é independente de B se P(A|B) = P(A). Mas usando a
definição de probabilidade condicional, chega-se a seguinte conclusão A é
independente de B se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Como esta última expressão é
definida inclusive para o caso de P(B) = 0, ela é a expressão adotada como a
definição de independência entre eventos.
Definição
O evento A é independente do evento B se P(A ∩ B) = P(A)P(B).
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Independência
Variável Aleatória
Independência
Note que esta definição de independência implica que independência é um
conceito simétrico em teoria da probabilidade, isto é, A é independente de B se
e somente se B é independente de A. Note que esta definição também implica
que eventos A e B são independentes se P(A) = 0 ou P(B) = 0.
Teorema
A é independente dele mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1.
Prova:
P(A ∩ A) = P(A) = P(A)P(A)
⇔ P(A) = 0 ou P(A) = 1.
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Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Independência
Intuitivamente, se A é independente de B o fato que B não ocorreu, ou seja
que B c ocorreu, não deve alterar a probabilidade de A. Portanto, é de se
esperar que se A e B são independentes, então A e B c também são. O
seguinte teorema prova que esta intuição é verdadeira.
Teorema
Se A e B são eventos independentes, A e B c (resp., Ac e B, Ac e B c ) também
o são.
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Independência
Variável Aleatória
Independência
O conceito de independência também se aplica a uma coleção arbitrária de
eventos {Ai }i ∈I , onde I é um conjunto de índices. Neste caso, têm-se duas
definições.
Definição
Uma coleção de eventos {Ai }i ∈I é independente par a par se para todo
i 6= j ∈ I, Ai e Aj são eventos independentes.
Definição
Uma coleção qualquer de eventos {Ai }i ∈I é mutuamente independente se
para todo J ⊆ I finito,
Y
P(∩i ∈J Ai ) =
P(Ai ).
i ∈J
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Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exemplos
Considere os seguintes exemplos que ilustram o conceito de independência.
Exemplo
Se Ω = {1, 2, 3, 4} e P({w }) = 1/4, então A = {1, 2}, B = {1, 3}, e C = {2, 3}
são eventos independentes par a par. Pode-se verificar isto pelo fato que
P(A ∩ B) = P({1}) =
1
11
=
= P(A)P(B).
4
22
Similarmente, pode-se provar o mesmo resultado para os outros pares.
Contudo, a probabilidade
P(A ∩ B ∩ C ) = P(∅) = 0 6= P(A)P(B)P(C ) =
Então, A, B, e C não são mutuamente independentes.
1
.
8
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exemplos
Exemplo
Assuma que A1 , . . . , An são eventos mutuamente independentes e que
P(Ai ) = pi . Nós calculamos as probabilidades dos seguintes eventos:
O evento A é o evento que todos estes eventos ocorrem, então
P(A) = P(∩ni=1 Ai ) =
n
Y
P(Ai ) =
i =1
n
Y
pi
i =1
O evento B é o evento que nenhum desses eventos ocorre, então
P(B) = P(∩ni=1 Aci ) =
n
Y
i =1
P(Aci ) =
n
Y
(1 − pi )
i =1
O evento C é o evento que pelo menos um desses eventos ocorre, então
C = Bc
n
Y
P(C ) = P(B c ) = 1 − P(B) = 1 −
(1 − pi )
i =1
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exemplos
Exemplo
Considere que um dado honesto é lançado duas vezes. Defina os seguintes
eventos:
A = {O primeiro dado é igual a 1, 2, ou 3.}
B = {O primeiro dado é igual a 3, 4, ou 5.}
C = {A soma dos resultados das duas jogadas é igual a 9.}
(a) Mostre que P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B)P(C ).
(b) Os eventos A, B, e C são mutuamente independentes? Justifique sua
resposta.
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Variável Aleatória
Suponha que uma moeda é lançada cinco vezes. Qual é o número de caras?
Esta quantidade é o que tradicionalmente tem sido chamada de variável
aleatória. Intuitivamente, é uma variável porque seus valores variam,
dependendo da sequência de lançamentos da moeda realizada; o adjetivo
“aleatória” é usado para enfatizar que o seu valor é de certo modo incerto.
Formalmente, contudo, uma variável aleatória não é nem “aleatória” nem é
uma variável.
Quando os possíveis resultados do experimento aleatório não são numéricos é
conveniente resumir estes resultados através de um número. Por isto, é
importante trabalhar com variáveis aleatórias.
Definição
Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. Uma função X : Ω → IR é
chamada de variável aleatória se para todo evento de interesse A em IR ,
X −1 (A) = {w ∈ Ω : X (w ) ∈ A} ∈ A.
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exemplo
Considere três lançamentos de uma moeda honesta. O espaço amostral para
este experimento aleatório consiste de todas as possíveis sequências de
tamanho 3 de caras e coroas, isto é:
Ω = {(cara, cara, cara), (cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara),
(cara, coroa, coroa), (coroa, cara, cara), (coroa, cara, coroa),
(coroa, coroa, cara), (coroa, coroa, coroa)}.
Seja A o conjunto de todos os subconjuntos de Ω. Neste caso qualquer função
real de Ω é uma variável aleatória. Por exemplo, seja X a diferença entre o
número de caras e o número de coroas obtidos nos três lançamentos. Então, X
pode assumir quatro valores, 3, 1, -1, ou -3. Nosso objetivo é estudar a
probabilidade de X assumir cada um desses possíveis valores. Para isso
veremos, diferentes maneiras de descrever o comportamento probabilístico de
X dependendo se X assumir valores discretos ou contínuos.
Como a moeda é honesta cada um dos possíveis resultados em Ω tem a mesma
probabilidade 1/8. Como poderemos obter então a probabilidade de X ser
negativo?
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Probabilidade Induzida
Dada uma variável aleatória X e uma coleção de eventos de interesse B de IR ,
pode-se definir uma probabilidade induzida PX para todo A ∈ B da seguinte
maneira: PX (A) = P(X −1 (A)). Por definição de variável aleatória, tem-se que
X −1 (A) ∈ A, então PX está bem definida. Pode-se provar que PX satisfaz os
axiomas de Kolmogorov e portanto satisfaz todas as propriedades de uma
medida de probabilidade.
No exemplo anterior, temos que se o evento de interesse A são todos os reais
negativos, então X −1 (A) são todos os resultados do experimento que nos dão
valores negativos para X , ou seja, são os resultados que contém menos caras
que coroas: (cara, coroa, coroa), (coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara) e
(coroa, coroa, coroa). Portanto, PX (A) = 4 × 1/8 = 1/2.
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Observações
Em muitos casos, os possíveis resultados do experimento aleatório já são
numéricos e podemos descrevê-lo por (IR , B, PX ), onde X (w ) = w , ∀w ∈ IR , ou
seja, os resultados dos experimento aleatório já são numéricos e descrevem a
característica de interesse que queremos analisar.
É importante enfatizar que é usual se referir a variáveis aleatórias por letras
maiúsculas X , Y , Z , . . . e aos valores que tais variáveis podem assumir por
letras minúsculas x, y , z, . . ..
Observação
Muitas vezes escreve-se P(X ∈ A) para representar P({w ∈ Ω : X (w ) ∈ A}).
Por exemplo, P(X ≤ 5) = P({w ∈ Ω : X (w ) ≤ 5}).
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exemplo
Exemplo
Considere que lançamos 3 vezes uma moeda que tem probabilidade de cair
cara igual 2/3 . Seja X o número de coroas obtido. Determine:
(a) P(X < 3).
(b) P(1 < X < 3).
(c) P(X > 1|X < 3).
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Função de Distribuição Acumulada
Para uma variável aleatória X , uma maneira simples e básica de descrever a
probabilidade induzida PX é utilizando sua função de distribuição acumulada.
Definição
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X ,
representada por FX , é definida por
FX (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ IR .
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Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Propriedades da Função de Distribuição
Acumulada
A função de distribuição acumulada FX satisfaz as seguintes propriedades:
F1. Não-decrescente. Se x ≤ y , então FX (x) ≤ FX (y ).
F2. Continua à Direita. Se xn → x + , então FX (xn ) → FX (x).
F3. Se xn → −∞, então FX (xn ) → 0, e se xn → ∞, então FX (xn ) → 1.
Teorema
Uma função real G satisfaz F1–F3 se e somente se G é uma função de
distribuição acumulada de alguma variável aleatória X .
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Propriedades da Função de Distribuição
Acumulada
Condição F2 significa que toda função de distribuição acumulada FX é continua
à direita. Ainda mais, como FX é não-decrescente e possui valores entre 0 e 1,
pode-se provar que ela tem um número enumerável de descontinuidades do tipo
salto e que o tamanho do salto da função em um dado ponto a é igual a
probabilidade da variável aleatória assumir este valor, ou seja,
PX (a) = FX (a) − FX (a− ).
Observação
FX (a− ) = limx →a− FX (x) é o limite de FX (x) quando x tende a a por valores
menores que a, ou seja, o limite a esquerda FX (x) quando x tende a a.
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Independência
Variável Aleatória
Determinando Probabilidades de Intervalos
Suponha que saibamos que a função de distribuição acumulada de uma variável
aleatória X é dada por FX . Vamos ver como determinar a probabilidade de X
pertencer a um dado intervalo real. Considere números reais a e b, tais que
a < b, então:
P(X ≤ a) = FX (a).
P(X > a) = 1 − P(X ≤ a) = 1 − FX (a).
P(X < a) = P(X ≤ a) − P(X = a) = FX (a) − (FX (a) − FX (a− )) = FX (a− ).
P(X ≥ a) = 1 − P(X < a) = 1 − FX (a− ).
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = FX (b) − FX (a).
P(a < X < b) = P(X < b) − P(X ≤ a) = FX (b − ) − FX (a).
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = FX (b) − FX (a− ).
P(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = FX (b − ) − FX (a− ).
Introdução à Probabilidade
Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exercícios
Exemplo
Determine quais das seguintes funções são funções de distribuição
acumuladas, especificando a propriedade que não for satisfeita caso a
função não seja uma distribuição acumulada.
(a)
ex
1+e x
(b) e −|x |
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Probabilidade Condicional
Independência
Variável Aleatória
Exercícios
Exemplo
Considere a seguinte função G (x).

a − 2b



ax
G (x) =
a + b(x − 1)



1
se
se
se
se
x < 0,
0 ≤ x < 1,
1 ≤ x < 2,
x ≥ 2.
(a) Determine as restrições que as constantes a e b devem satisfazer para
que a função G (x) seja função de distribuição acumulada de alguma
variável aleatória X .
(b) Determine o valor de P(1/2 ≤ X ≤ 3/2) em função de a e b.