lista de exercícios

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor
todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.
Vamos começar nos primórdios da matemática.
- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.
Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é
representado pela letra
.
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.
*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula,
definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:
Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a
necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo *
(asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:
Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de
mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.
Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos
números inteiros, representado pela letra .
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.
Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).
Missão
do no
Colégio
Salesiano
Dom
Bosco:
Assim
como
conjunto
dos naturais,
podemos
representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
NATURAIS.
Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os
números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:
Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não
é positivo nem negativo, zero é NULO.
Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o
zero se enquadra nisto.
Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:
Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.
Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:
Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.
E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):
Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um
gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:
Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar
"partes" de alguma coisa.
Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos
fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS ( ), que indica uma razão (divisão)
entre dois números inteiros.
Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:
Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.
- Ué, o que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?
- Ora, o 6 pode ser representado pela fração
12
6
23
ou até mesmo , e o 2,3 pode ser
, portanto, se um número tem a
2
1
10
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.
- Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??
- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos
algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.
3,14159265...
Este não é um número Racional, pois possui infinitos
algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)
2,252
Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos
após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é
racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um
número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um
número (no caso 25).
Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos
no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo 10 pode ser
) e mais alguns.
Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:
Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!
Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os
racionais.
Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:
= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}
- E quanto é
2?
-Isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois
tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por
este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se
"CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por
r.
As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.
Por exemplo:
=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são
chamados de números irracionais.
=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional.
Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.
=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.
- Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?
- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste
conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.
Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes!
Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa.
Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:
Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um
nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"
Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
Note que na parte pintada, não há nenhum número.
Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não
existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1ª) Resolva, escrevendo o resultado na forma de uma única potência:
a) 2³.2².2=
e) (1/3)4.(1/3)5.(1/3)2=
b) 33.35.37.3=
f) 25:22=
c) 63.69.60.6.-3 =
g) 52:5=
d) a2.a6.a3.a=
h)83:82=
2ª) Calcule o valor de cada expressão numérica:
a) (-6)² : (-12) – (-3)³ + (-2)5 : (-4)² - 50=
b) (-7-4) : ( -9-2) – ( -72 + 2) : ( -5-5) + ( -9-4+6) =
3ª) Qual é o valor numérico da expressão 4x² - x.y quando:
a) x = 2 e y = 6?
b) x = 0,4 e y = 1,2 ?
4ª) Simplifique cada uma das seguintes expressões algébricas:
a) 7x – ( -2x + x) + ( -3x +5x) =
b) 5y² - ( -4y² + 7y² ) + ( -y² +9y² - 11y²) =
3
5ª) Se x = (2) , y = (2)
4
9
e z = (2) . Calcule x . y : z
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
6ª) Dados P = x² + a² - 2ax e Q = 2x² + 5ax + 3 a² , determine: P + Q e seu valor numérico para a = 10 e x = -4
7ª) Calcule as adições abaixo.
a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x)
8ª) Calcule as subtrações abaixo.
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x)
9ª) Calcule as multiplicações.
a) (x²+2).(x²+6)
e) 2x(x²-2x+5)
a) 7(x-2y)
f) (x+5).(x+2)
c) 2x(x+y)
g) (3x+2).(2x+1)
d) 4x (a+b)
10ª) Para os radicais: 4, - 9 ,
60
2
, ,
20
2
49
,
16
25 , escreva quais representam números:
a) Naturais:
c) Racionais:
b) Inteiros:
d)Irracionais:
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
11ª) Faça os cálculos pedidos com os polinômios.
A = x² - 6x + 10
B = - 8x² + 10x – 8
C = 2x² + 3x – 2
D=x-2
b) C – ( B + D ) =
a) D² + A + B =
12ª) Calcule
1
 4
a)    =
 5
b) ( -2)
2
=
c) (3)
3
=
d) ( 3,14...)º =
13ª) Efetue as seguintes operações e dê o grau dos monômios resultantes:
a) -2x² + 4x² -8x² =
b) 64y - 32y + 16y =
c) + 20x³ y² : 5x² y =
EQUAÇÕES E SISTEMAS
1) No sistema
 x  y  16 o valor de x:
x  y  8

a) é o dobro de y.
b) é menor que o valor de y
c) é o triplo de y.
d) é um número quadrado perfeito.
e) não existe
2) Dois números x e y são tais que:
 x  y  8 A expressão x²- x.y é igual a:
x  y  4

a) 8
b) - 8
c) 0
d) 32
e) 24
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
3) o valor de x na equação :
x+6
2x - 3
x-1
——— - ——— = ——— é igual a :
3
6
4
a)
b)
c)
d)
e)
10
11
12
13
14
4. Sabendo-se que
 x  2 y  1 , o valor de “( x + 5)” é:
 x  2 y  11

a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
5. O conjunto solução da equação 5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + 2x :
a) é vazio.
b) é unitário.
c) é um número complexo
d) é sem solução.
e) é o conjunto dos números irracionais.
6. O valor de x na equação
a) 0
b) 1
c) -1
d) 2
e) -2
(x – 2).(x – 3) = x² – 4x + 6 é igual a:
7) Represente graficamente a solução dos sistemas abaixo.
 x  y  10
2 x  y  8

Para x = 0, 3 e 5
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
8) Resolva os sistemas de equações.
1
x
y 2

a) 
 x  1  1
 y  1
2a  b  10

b)  4
2
a  b  a  b

S= {(2,- 4)}
S = {(6,-2)}
GABARITO:
1–
2–
3–
4–
5–
6–
c
e
b
d
b
a
1. A soma de dois números naturais consecutivos é igual a 215. Quais são os números?
2. Eu e meu irmão temos juntos 28 anos, mas a idade dele é a terça parte da minha idade. Qual é a idade de
cada um de nós?
3. Dois ciclistas percorrem juntos 6 km. Sabendo que um percorreu o quádruplo do outro, quantos metros
percorreu cada ciclista?
4. Um avô repartiu entre seus três netos a quantia de R$ 465,00. O neto mais velho recebeu R$ 30,00 a mais
que o neto mais novo, e o neto do meio recebeu R$ 15,00 a mais que o neto mais novo. Quanto cada neto
recebeu?
5. Num estacionamento, entre carros e motos, o total de veículos é 40 e a diferença entre o número de carros
e motos é 6. Qual é o número de carros e motos?
6. No ano passado a minha idade era o dobro da idade que eu tinha há nove anos. Qual é a minha idade?
Monômios e Polinômios
1.
Calcule.
Missão do
Colégio Salesiano Dom Bosco:
x  y 2 a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
a)
“Promover
b) 2 x  y  
2
c) a  2b  
2
d) 7  x  
2
e)
x  6x  6 
f)
2x  7 y 2x  7 y  
g) 4 x  5 xy 
2
2.
Se A = x² +1 e B = – 2x² + x + 2, determine o valor, o nome e o grau de cada resultado:
a)
A+B
b)
A –B
c)
B –A
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
d)
3.A
e)
– 5.B
f)
– 2.A + 3.B
g) A . B
49
3
, z = e w = 0,444... ; calcule:
4
25
4. Sendo x = 0,2 ; y =
a) x - 1. y =
b) w : z =
Expressões algébricas – Simplificação.
Simplifique as frações algébricas.
1)
__x2 – 144____ =
x2 + 24x + 144
2) __x2 +22x + 121 =
x + 11
3) x2 - 100 =
x – 10
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.
4) x2 + 5x =
x+5
5) 4x – 8 =
x–2
6) 5x + 10 =
10x + 20
7) a2 – ab =
a–b
8) x2 + 3x =
4x + 12
9) 7c – 21 =
c2 – 6c + 9
10) x2 – 16x + 64 =
x2 – 64
11) m2 – 25 =
m2 + 10m + 25
12) 4x2 – 4x + 1 =
4x2 – 1
13) x2 + 6x + 9 =
x+3
14) a3 – ab2 =
a.( a + b)
15) a2 + ab – ac – bc =
a2 – ac
16) 9x2 – 6x + 1 =
9x2 – 1
Missão do Colégio Salesiano Dom Bosco:
“Promover a formação de bons cristãos e honestos cidadãos por meio de uma educação integral”.