Universo de Herbrand

Lyneker Amorim (T1)
Philipe Farias
Rafael Mota
Yure Bonifacio
A teoria de Herbrand foi criada por Jacques Herbrand (1908-1931), um
matemático francês. Ela constata que um conjunto de ∀-sentenças Φ é
insatisfazível (se tratando da lógica de primeira ordem) se e somente se existe
um conjunto finito proposicionalmente insatisfazível de instancias básicas Φ0
de Φ.
A teoria de Herbrand estabelece uma ligação entre a teoria da quantificação e
a lógica sentencial. Essa ligação é importante por que proporciona um método
para testar uma fórmula da teoria da quantificação por meio de testes
sucessivos desta fórmula para a validação da sentença. Desde que testar a
validação é um processo mecânico, o teorema de Herbrand é hoje de grande
importância para o desenvolvimento de softwares para demonstração
automatizada de teoremas.
TEORIA DE HERBRAND
Na lógica matemática, dada uma
linguagem formal com um conjunto de
símbolos (símbolos de constantes e
símbolos funcionais), o universo de
Herbrand define recursivamente o
conjunto de todos os termos que podem
ser compostos aplicando uma composição
funcional a partir de símbolos básicos.
UNIVERSO DE HERBRAND
Dada uma linguagem de primeira ordem
L, seu universo de Herbrand é definido
pelo conjunto de todas as cláusulas
básicas que podem ser construídas a partir
dos símbolos de L. Levando em conta a
definição de termo básico, podemos
observar que os símbolos que aparecem
em um universo de Herbrand são fatores e
constantes de L.
Considere uma fórmula da lógica de primeira
ordem na forma skolemizada
Então o universo de Herbrand de S é
definido pelas seguintes regras:
1. Todas as constantes de S pertencem a H.
Se não existem constantes em S, então
contém uma constante arbitrária c.
2. Se t1 ϵ H, ..., tn ϵ H, e uma função n-ária ƒ
ocorre em ƒ(t1, ..., tn ), então .
As cláusulas (disjunções de literais) obtidas
daquelas de substituindo todas as variáveis
por elementos do universo de Herbrand são
chamadas cláusulas básicas, com definições
similares para literais básicos e átomos
básicos. O conjunto de todos os átomos
básicos, que pode ser formados a partir de
símbolos predicados de S e termos de H, é
chamado de Base de Herbrand.
A geração consecutiva de elementos do universo
de Herbrand e a verificação de insatisfatibilidade
de elementos gerados podem ser diretamente
implementadas em um programa de computador.
Tendo em vista a completude da lógica de
primeira ordem, esse programa é basicamente
uma ferramenta para a demonstração automática
de teoremas.
Evidentemente, essa busca exaustiva é muito lenta
para aplicações práticas.
Esse programa irá terminar a execução para
todas as fórmulas insatisfazíveis e não
terminará para fórmulas satisfazíveis, que
basicamente mostra que o conjunto das
fórmulas insatisfazíveis é recursivamente
enumerável.
Dado que a demonstrabilidade (ou,
equivalentemente, a insatisfatibilidade) na
lógica de primeira-ordem é recursivamente
indecidível, esse conjunto não é recursivo.
Na lógica matemática, dada uma linguagem com um
conjunto do universo de Herbrand, a base de Herbrand é o
conjunto de todos os átomos básicos que podem ser
formados a partir de símbolos predicados de uma clausula
na forma Skolemizada S e termos do universo Herbrand H
de S.
Uma base de Herbrand para uma linguagem de primeira
ordem L pode ser construída a partir do universo de
Herbrand de L, aplicando algum predicado de L a cada
elemento deste universo.
Ela consiste portanto do conjunto de todos os átomos
básicos que podem ser construídos usando símbolos de L.
BASE DE HERBRAND
Seja
.
O universo de Herbrand para α é dado pelo
seguinte conjunto:
Portanto, a base de Herbrand de α é descrita
pela seguinte tabela
onde x2 e x4 são substituídos em todas as combinações possíveis pelos termos
Hα em , com cada variável sendo substituídas em todas suas ocorrências pelo
mesmo termo.
1. Seja
Desde que não existe constante em S, seja então H = a.
Assim
0
EXEMPLO 1 - UNIVERSO DE HERBRAND
2. Seja
Desde que não exista constante em S, seja então H = a .
Desde que não exista símbolo funcional em S,
H = H = H = ... = a;
0
0
1
2
EXEMPLO 2 – UNIVERSO DE HERBRAND