Universo de Herbrand

Universo de Herbrand
Swami
Gersiline
Calebe
Hyago
A skolemização trabalha aplicando a
relação de equivalência da lógica de
segunda ordem juntamente com a
definição de satisfatibilidade da primeira
ordem. A equivalência é feita "movendo"
o quantificador existencial para antes do
quantificador universal.
Skolemização
∀x∃x.R(x,y) ⇔ ∃f∀x.R(x,f(x))
"Para todo x existe um y tal que R(x,y)" é
convertida para a forma equivalente
"Existe uma função f em x, introduzida
por y, para todo x preso no escopo de
R(x,f(x))".
Skolemização
Dada uma linguagem de primeira ordem L,
seu universo de Herbrand é definido pelo
conjunto de todas as cláusulas
básicas que podem ser construídas a
partir dos símbolos de L. Levando em
conta a definição de termo básico,
podemos observar que os símbolos que
aparecem em um universo de Herbrand
são funtores e constantes de L.
Universo de Herbrand
Considere uma fórmula da lógica de
primeira ordem na forma skolemizada:
∀x1 ... xnS
Universo de Herbrand
Então o universo de Herbrand é definido
pelas seguintes regras.
1. Todas as constantes de S pertencem
a H. Se não existem constantes em S,
então H contém uma constante
arbitrária c.
Universo de Herbrand

Então o universo de Herbrand é definido
pelas seguintes regras.
2. Se t1 ∋ H,...,tn ∋ H , e uma função nária f ocorre em S, então f(t1,...,tn) ∋ H.
Universo de Herbrand
A geração consecutiva de elementos do
universo de Herbrand e a verificação
de insatisfatibilidade de elementos
gerados podem ser diretamente
implementadas em um programa de
computador.
Universo de Herbrand
Esse programa irá terminar a execução
para todas as fórmulas insatisfatíveis e
não terminará para fórmulas satisfatíveis,
que basicamente mostra que o conjunto
das fórmulas insatisfatíveis
é recursivamente enumerável.
Universo de Herbrand
Exemplo 1
Exemplo 2