Prova - Qconcursos.com

GRUPO 1 – TIPO A
MAT. – 5
MATEMÁTICA
Questões de 05 a 12
05. Um dos vértices de um triângulo equilátero é o ponto P (0,1) do plano cartesiano e os
outros dois estão sobre a reta r : x + y + 1 = 0 .
Faça o que se pede nos itens abaixo:
A) Calcule a área desse triângulo.
B) Encontre as coordenadas dos outros dois vértices.
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 6
GRUPO 1 – TIPO A
06. Seja VABCD uma pirâmide quadrangular regular de altura igual a 1 metro e vértice
V com base no quadrado ABCD , também de lado medindo 1 metro. Seja MNOP o
quadrado obtido pela intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base
pelo ponto médio da altura. Ligando-se MNOP ao centro K do quadrado ABCD ,
obtemos uma nova pirâmide quadrangular regular conforme a figura.
.
V
.
.
.
.
.
P
M
O
N
.
C
.
..
K
A
.
.
B
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que o lado da base dessa nova pirâmide é
1º VESTIBULAR UFOP 2009
1
m.
2
D
GRUPO 1 – TIPO A
MAT. – 7
B) Pode-se construir uma terceira pirâmide dentro da segunda da mesma forma que
se construiu a segunda dentro da primeira. Repetindo-se essa construção
sucessivamente, pergunta-se: qual é o volume e a área da superfície lateral da
10 ª pirâmide?
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 8
GRUPO 1 – TIPO A
07. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma r + iα , onde r é
um número racional e α é real:
283π −5
2008
) . (−2) − 4 
3+i
3

+ 

(−0,2727...) . (1,1)
 2 
2
3
(log 27 9 ) .8 + (cos
6
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GRUPO 1 – TIPO A
MAT. – 9
08. Considere um ângulo θ , com 0 ≤ θ ≤ 90 o , cuja representação em radianos é o
número real x , com 0 ≤ x ≤
π
2
. Suponha que x satisfaça às equações
m −1

sec x =
3

tgx = m − 4
onde m é um número inteiro positivo.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que sec 2 x = tg 2 x + 1 , para qualquer valor real de x no domínio comum
das funções envolvidas.
B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x ,
sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente
ângulo θ , com 0 ≤ θ ≤ 90 o .
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 1
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Quantos números compreendidos entre 1000 e 2000 são divisíveis por 3 e por 7 ao
mesmo tempo?
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 2
GRUPO 5 – TIPO A
02. Seja f a função definida no conjunto A = [−10,−1] ∪ [0,1[ por
f ( x) =
x2 + 4
. Com
4
base nesses dados, resolva os itens a seguir:
A) Esboce o gráfico dessa função e encontre seu conjunto imagem.
B) Encontre a função inversa de f , incluindo seu domínio e sua imagem.
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GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 3
03. Sendo 1 − 2i raiz de p ( x) = x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x − 10 , encontre as outras raízes de
p (x) .
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 4
GRUPO 5 – TIPO A
04. Calcule o algarismo das unidades do número 3 2008 .
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 5
05. Lançando-se dois dados, um amarelo e outro vermelho, qual a probabilidade de se
obter 8 como soma de suas faces superiores?
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MAT. – 6
GRUPO 5 – TIPO A
06. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para
justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de
medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos
chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico
Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz
malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil
China
Cuba
EUA
Ouro
3
51
2
36
Prata
4
21
11
38
Bronze
8
28
11
36
Total
15
100
24
110
Classificação
23o
1o
28o
2o
População aproximada
(em milhões)
191
1331
11
303
Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.
A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3
para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a
medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados
do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?
B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de
medalhas de ouro por habitante?
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GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 7
07. Considere as funções f e g dadas por f ( x) = x 2 e g ( x) = 3 − x , com domínios
restritos ao conjunto {x ∈ R | x ≥ 0} . Nessas condições, resolva o que se pede nos
itens abaixo:
A) Faça, num mesmo plano cartesiano, um esboço dos gráficos de f e de g .
B) Com base no item anterior, explique por que a equação x 2 = 3 − x possui uma
única solução α e esta satisfaz 0 < α < 1 .
C) Represente, em termos de α , o conjunto dos números reais não negativos que
são soluções da inequação x 2 ≤ 3 − x .
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 8
GRUPO 5 – TIPO A
08. Dado um triângulo ABC , construímos um outro triângulo, PQR , unindo os pontos
médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo:
A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR .
B) Dado um triângulo de área 1m 2 , construímos um outro triângulo da forma descrita no
item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro
triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do 30º triângulo obtido?
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GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 9
09. Uma circunferência de centro no ponto C (1,2) contém o ponto P (4,6) . Com base
nesses dados, resolva os itens abaixo:
A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .
B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a
reta do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 10
GRUPO 5 – TIPO A
10. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma r + iα , onde r é
um número racional e α é real.
(log
283π 

−4
2008
9 .8 +  cos
 ( − 2)
 3 +i
3 


+ 

(−0,2727...).(1,1)
 2 
6
27
)
2
3
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MAT. – 11
11. Considere um ângulo θ , com 0 ≤ θ ≤ 90 o , cuja representação em radianos é o
número real x , com 0 ≤ x ≤
π
2
. Suponha que x satisfaça às equações:
m −1

sec x =
3

tgx = m − 4
onde m é um número inteiro positivo.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que sec 2 x = tg 2 x + 1 , para qualquer valor real de x no domínio comum das
funções envolvidas.
B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x ,
sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente
ângulo θ , com 0 ≤ θ ≤ 90 o .
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 12
GRUPO 5 – TIPO A
12. Na circunferência representada a seguir, A é o ponto (1,0) , α e β são os ângulos
centrais associados, respectivamente, aos arcos AM e AP , onde M e P são
pontos variáveis da circunferência, estando sujeitos à condição α − β = 60º e tendo
N e Q respectivamente como projeções ortogonais sobre o eixo das abcissas.
Y
M
P
X
O
(
N Q A
Nessas condições, mostre que OQ + ON
) + (MN + PQ )
2
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2
= 3.
GRUPO 6 – TIPO A
MAT. – 9
MATEMÁTICA
Questões de 07 a 12
07. Números inteiros ímpares são precisamente aqueles que podem ser escritos na
forma 2k + 1 , onde k é um número inteiro. Por exemplo, se k = 4 , então a expressão
2k + 1 é o ímpar 9 .
Faça o que se pede nos itens a seguir:
A) Mostre que o quadrado de um número inteiro ímpar é ímpar.
B) Mostre que o quadrado de um número inteiro par é múltiplo de 4 .
C) Dados dois números inteiros ímpares, mostre que a soma de seus quadrados não é
um quadrado perfeito.
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MAT. – 10
GRUPO 6 – TIPO A
08. Lançando-se três dados, um amarelo, um vermelho e um azul, de quantas maneiras
pode-se obter 9 como soma dos números obtidos nas suas faces superiores?
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
MAT. – 11
09. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para
justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de
medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos
chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico
Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz
malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil
China
Cuba
EUA
Ouro
3
51
2
36
Prata
4
21
11
38
Bronze
8
28
11
36
Total
15
100
24
110
Classificação
23o
1o
28o
2o
População aproximada
(em milhões)
191
1331
11
303
Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.
A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3
para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a
medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados
do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?
B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de
medalhas de ouro por habitante?
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 12
GRUPO 6 – TIPO A
10. A parábola abaixo representa o gráfico de uma função quadrática. Determine que
função é essa e encontre seu conjunto imagem.
y
5
-1
-5
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x
GRUPO 6 – TIPO A
MAT. – 13
11. Dado um triângulo ABC , construímos um outro triângulo, PQR , unindo os pontos
médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo:
A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR .
B) Dado um triângulo de área 1m 2 , construímos um outro triângulo da forma descrita no
item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro
triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do 30º triângulo obtido?
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 14
GRUPO 6 – TIPO A
12. Uma circunferência de centro no ponto C (1,2) contém o ponto P (4,6) . Com base
nesses dados, resolva os itens abaixo:
A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .
B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a
reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 7 – TIPO A
MAT. – 7
MATEMÁTICA
Questões de 09 a 12
09. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para
justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de
medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos
chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico
Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz
malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil
China
Cuba
EUA
Ouro
3
51
2
36
Prata
4
21
11
38
Bronze
8
28
11
36
Total
15
100
24
110
Classificação
23o
1o
28o
2o
População aproximada
(em milhões)
191
1331
11
303
Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.
A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3
para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a
medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados
do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?
B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de
medalhas de ouro por habitante?
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MAT. – 8
GRUPO 7 – TIPO A
10. Uma circunferência de centro no ponto C (1,2) contém o ponto P (4,6) . Nessas
condições, resolva o que se pede:
A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .
B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência e que tem um de seus lados
sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.
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GRUPO 7 – TIPO A
MAT. – 9
11. Considere um tetraedro regular ABCD com as arestas medindo l . Há quatro cones
congruentes circunscritos a este tetraedro; por exemplo, o cone circular reto que tem
vértice no ponto A e cuja base é a circunferência circunscrita à base BCD do
tetraedro. Determine, em função de l , a área S da superfície lateral de qualquer um
desses cones.
1º VESTIBULAR UFOP 2009
MAT. – 10
GRUPO 7 – TIPO A
12. Considere um ângulo θ , com 0 ≤ θ ≤ 90 o , cuja representação em radianos é o
número real x , com 0 ≤ x ≤
π
2
. Suponha que x satisfaça às equações:
m −1

sec x =
3

tgx = m − 4
onde m é um número inteiro positivo.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que sec 2 x = tg 2 x + 1 , para qualquer valor real de x no domínio comum
das funções envolvidas.
B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x ,
sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente
ângulo θ , com 0 ≤ θ ≤ 90 o .
1º VESTIBULAR UFOP 2009