MODELAGEM DA CATENÁRIA ATRAVÉS DE EQUACÕES

MODELAGEM DA CATENÁRIA ATRAVÉS DE
EQUACÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Tiago Cavalcante de Barros1, Fernando Tiago Nascimento Medeiros2, Márcia Pragana Dantas3
Introdução
Um modelo matemático é uma representação ou
interpretação simplificada da realidade, ou uma
interpretação de um fragmento de um sistema, segundo
uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
A análise de um modelo matemático é um dos
problemas que mais desperta o interesse dos
pesquisadores desde tempos antigos até os atuais, não
obstante, a catenária, em especial, é um dos modelos
que mais despertou o interesse dos matemáticos, entre
os quais, Galileu e os Irmãos Bernoulli.
Buscaremos mostrar como determinar a forma exata,
explicitando a equação, da curva assumida por uma
corda flexível (flexível significa que a tensão na corda
é sempre no sentido da tangente) de densidade
uniforme que está suspensa entre dois pontos.
Mostraremos, através do gráfico da equação obtida,
que, apesar da semelhança visual com a parábola, a
curva obtida não faz parte dessa família, sendo, pois,
denominada Catenária.
A. Diferença ente a Catenária e a Parábola.
Ao contrário da parábola, o estudo da catenária é
encontrado com pouca freqüência nos livros didáticos
de matemática. No decorrer da história da matemática,
houve confusão entre essas duas curvas, que motivou o
estudo da catenária a partir do século XVII. Essa fase
da história é conhecida como época das curvas, e em
1600, por Huygens, que se iniciaram seus estudos.
Tendo em vista que enquanto a parábola tem sua
equação dada por um polinômio, temos a catenária
modelada por um cosseno hiperbólico.
B. Aplicações para Física e Engenharia
Entendemos que tão importante quanto o prazeroso
processo de modelagem, são as suas aplicações, dentre
as quais, citamos construções que se inspiraram na
beleza de sua forma como, por exemplo: A Ponte
Hercilio Luz, Florianópolis, Brasil (Figura 1A).
C. Motivação do Estudo da Catenária pela Natureza.
Os matemáticos, em geral, se inspiram em formas da
natureza para produção de seus modelos. Não obstante,
encontramos na natureza algumas de suas formas, a
saber: A Teia de Aranha (Figura 1B).
Material e métodos
Usamos para a resolução do problema Equações
Diferenciais Ordinárias (EDO), que é um tipo de
equação que envolve as derivadas de uma função
desconhecida de uma variável. Em particular, foi
preciso usar uma EDO de Segunda Ordem. A ordem de
uma equação diferencial é a ordem n da maior derivada
na equação. Além de conceitos elementares de cálculo
diferencial e geometria analítica.
Além disso, utilizamos os resultados e ferramentas
listados abaixo.
A. Teorema Fundamental do Calculo [3]. Seja f uma
função integrável à Riemann em
. Nestas
circunstâncias, a função F:[a,b]→R, definida por:
é continua em [a,b], sendo diferenciável em qualquer
ponto de [a,b], tendo-se:
B. WolframAlpha. Para plotar o gráfico da função
obtida, usamos o WolframAlpha, uma máquina de
respostas disponível online diferente de sites de
pesquisa como o Google, que varrem a web e
compilam o melhor conjunto de páginas sob certos
requisitos. O WolframAlpha, responde a perguntas
diretas e objetivas usando um engenho computacional
que entrega respostas ótimas e rápidas dentro de certas
condições.
C. Funções Hiperbólicas. Sem nos prolongarmos
muito nos conceitos de seno e cosseno hiperbólico
segue a definição que:
-
senh(x) =
e
cosh(x) =
-
.
D. Comprimento de arco. O comprimento de arco de
uma função y= f(x) para
é dado por[3],
.
Discussão e resultados
Primeiramente, escolhemos um sistema de
coordenadas cartesiano de modo que o eixo y passe
pelo ponto P0 = (0,0), que é o ponto mais baixo da
corda e que seja ortogonal à curva nesse ponto (Figura
_________________________
1. Tiago Cavalcante de Barros é Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de
Pernambuco. Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected].
2. Fernando Tiago Nascimento Medeiros é Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática, Universidade Federal
Rural de Pernambuco. Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife, PE, CEP 52171-900. E-mail:[email protected].
3. Márcia Pragana Dantas é Profª Associado I do Departamento de Matemática da Universidade Federal Rural de Pernambuco-UFRPE. R. Manoel de
Medeiros s/nº,Dois Irmãos, Recife - PE,CEP 52171-900. E-mail: [email protected].
1C). Escolhemos outro ponto P=(x,y) qualquer da
curva e denotamos por S o comprimento da curva de
P0 até P. Seja W0 a densidade linear (peso/unidade de
comprimento) da corda.
Como z = y’, basta integrar a igualdade para obtermos
y. Assim,
.
A parte da corda entre P0 e P está em equilíbrio
estático sob ação de três forças:
A expressão acima é a equação da catenária que
queríamos encontrar, cujo gráfico vamos plotar usando
o WolframAlpha, Figura 1D.
em P0;
1.
A tensão
2.
A tensão
3.
O peso da corda W0S;
Agradecimentos
em P;
ângulo determinado pela reta
Considerando
tangente à curva em P e a abscissa, temos:
Os autores agradecem aos que colaboraram,
professores e amigos, em particular a professora
Márcia, que sem seu trabalho de incentivo e orientação
não poderíamos apresentar esse trabalho, aos nossos
pais por superar os sonhadores na certeza de realização
de seus sonhos.
Referências
[1] Figueiredo, D. G. & Neves, A. F., 1997.
Equações
Diferenciais
Aplicadas. Coleção
Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA.
Fazendo o quociente de (1) por (2) segue
.
Agora denotaremos por y a função que queremos
achar (cujo gráfico é a catenária). Nessas condições
podemos supor que y é uma função par de classe
[2] Boyce, W. & DiPrima, 2000. Equações
Diferenciais
[3] Stewart, James, 2006. Calculo Volume I
[4] Stewart, James, 2006. Calculo Volume II
Temos.
(3).
Tendo em vista que tanto S quanto depende de x e
usando a função comprimento de arco, podemos
escrever (3) da seguinte maneira,
.
Pelo Teorema Fundamental do Calculo,
.
Chegamos, pois, a uma EDO de segunda ordem cuja
solução é a função que procuramos. Esta EDO se reduz
a uma EDO de primeira,
(4)
onde,
.
Integrando ambos os lados da equação (4) o lado
direito é imediato. O lado esquerdo pode ser resolvido
com a mudança de variáveis
z = tg θ,
de onde se obtém,
dz = sec 2 θ d θ,
e,
Daqui segue que:
ou seja, pela condição inicial z(0) = 0 temos:
-
Figura 1. A, Pode ser observada a catenária em uma construção civil, tendo sua curva traçada entre um poste de iluminação e outro.
B, Teia de Aranha é um exemplo natural de catenária. C, Visualização do eixo de coordenadas cartesiano escolhido. D, Plot 3D da
catenária.