EFEITOS CAUSADOS POR UM TERREMOTO EM UM

EFEITOS CAUSADOS POR UM TERREMOTO EM UM PRÉDIO — UM
TRABALHO INTERDISCPLINAR NO CURSO DE ENGENHARIA DE
PRODUÇÃO CIVIL
Cleonis Viater Figueira
[email protected]
Eloise Aparecida Langaro
[email protected]
Júlia Graziela Prasnievski
[email protected]
Janecler Aparecida Amorin Colombo
[email protected]
Nádia Sanzovo
[email protected]
Resumo: O presente relato apresenta, resumidamente, a discussão teórica que foi
desenvolvida na turma do segundo período do Curso de Engenharia de Produção Civil da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campus de Pato Branco, na disciplina de
Matemática 2 (Equações Diferenciais), em parceria com a disciplina de Metodologia da
Pesquisa, do terceiro período, a respeito da Modelagem Matemática relacionada às
grandezas. Para tal, foi utilizada a problematização envolvendo um terremoto e seu
impacto sobre um prédio com n andares, usando-se conceitos de Mecânica Newtoniana,
como a Segunda Lei de Newton e a Lei de Hooke, de conceitos de Matemática, como
função e derivada (taxa de variação), dentro do contexto da disciplina de Equações
Diferenciais do Curso de Engenharia de Produção Civil. Para a Modelagem Matemática,
utilizou-se como base um sistema de n equações diferenciais de segunda ordem, em que
cada equação do sistema descreve/modela o efeito do abalo sísmico no n-ésimo andar de
um edifício. Tem-se por finalidade, também, mostrar um dos trabalhos interdisciplinares
desenvolvidos em disciplinas dos Cursos de Engenharias e Bacharelados da Universidade
Tecnológica Federal do Paraná, UTFPR, Campus Pato Branco, pelo Projeto de Abordagens
Interdisciplinares (PAI), do Grupo de Pesquisa em Educação desta mesma universidade.
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Palavras-chave: Sistema de Equações Diferenciais; Interdisciplinaridade; Modelagem
Matemática.
1. INTRODUÇÃO
Nos últimos 30 a 40 anos, de modo geral, é possível reconhecer uma crescente
valorização do trabalho em equipe, do envolvimento coletivo na realização de um projeto,
da interação entre os participantes, além de maior flexibilidade/mobilidade na atribuição de
tarefas. É nesse cenário que se enraíza e se irradia, tanto em sentido literal, quanto em
sentido metafórico, a palavra rede. A ideia de rede constitui uma imagem emergente para a
representação
do
conhecimento,
inspirada,
em
grande
parte,
nas
tecnologias
informacionais.
Nessa perspectiva, conhecer é como enredar, tecer significações, partilhar
significados. Os significados, por sua vez, são construídos por meio de relações
estabelecidas entre os objetos, as noções, os conceitos como enredar, tecer significações,
partilhar significados.
Um significado é como um feixe de relações. O significado de algo é construído
falando sobre o tema, estabelecendo conexões pertinentes, às vezes insuspeitadas, entre
diversos temas. Os feixes de relações, por sua vez, articulam-se em uma grande teia de
significações e o conhecimento é uma teia desse tipo.
Dessa forma, na UTFPR, Campus Pato Branco, nos Cursos de Engenharias e
Bacharelados, e dentro de um projeto interdisciplinar – PAI (Projeto Abordagens
Interdisciplinares), têm-se feito experiências, ainda que incipientes, no sentido de articular
conhecimentos de áreas/disciplinas distintas para tratar de conteúdos, dentro de cada
disciplina ou em temas interdisciplinares.
Assim, num trabalho conjunto entre os professores envolvidos no PAI,
especificamente com as disciplinas de Metodologia da Pesquisa e de Matemática 2
(Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais), no terceiro período do curso de Engenharia
Civil, e de Educação Matemática do Curso de Licenciatura em Matemática, são tratados
temas e problemas, com o aporte dessas disciplinas integradamente.
A temática —
terremoto — foi problema de pesquisa e estudado pela aplicação de equações diferenciais
ordinárias de segunda ordem para explicar seus efeitos e no sentido de buscar aplicações
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para a Matemática, um significado para os conceitos trabalhados e uma metodologia de
ensino que explica o realizado.
Os professores envolvidos no projeto discutem suas ideias, tendo como basilar a
ideia da rede: os conceitos, significados e relações que se enredam e se articulam,
complementam as metodologias utilizadas por eles em suas aulas, nas diferentes
disciplinas que ministram.
Esse relato apresenta uma das experiências que vimos realizando, enquanto grupo,
contado com a participação dos alunos, colaborativamente com os professores das
disciplinas e do PAI, em discussões e produções, em rede.
Especificamente, no trabalho realizado, essa analogia da rede se personifica
quando, ao se falar da segunda lei de Newton, reporta-se a um modelo matemático que
necessita de uma equação diferencial de segunda ordem para ser exemplificado e, também,
quando se recorre à lei de Hooke para se modelar o impacto da vibração do terremoto em
um dado andar.
O terremoto é um movimento brusco e repentino do terreno resultante de um
falhamento nas placas tectônicas, onde a ruptura da rocha é o mecanismo pelo qual o
terremoto é produzido. Grandes consequências podem ocorrer em regiões urbanizadas com
construções que não têm uma estrutura adequada para resistir aos efeitos de um terremoto.
(TEIXEIRA; TOLEDO; FAIRCHILD; TAIOLI, 2008)
Os efeitos causados num prédio podem ser descritos, utilizando a Matemática,
através da teoria das equações diferenciais e a Física, com base na lei de Hooke, que
envolve os conceitos de elasticidade e amortecimento, e na segunda lei de Newton, que
traz o conceito de aceleração e, consequentemente, o conceito de derivada.
O trabalho consistiu em apresentar um modelo matemático baseado em princípio
da Física capaz de descrever, com simplicidade, o efeito da propagação de um terremoto
sob os andares de um prédio.
2. O TERREMOTO E AS CONSTRUÇÕES
Os maiores perigos de um terremoto são causados por estruturas que se
desmoronam, causando mortes, danos estruturais e prejuízos; mas para entender como
essas estruturas desmoronam, precisa-se conhecer como um terremoto se origina, propaga-
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se e seus principais efeitos.
2.1 Como o terremoto ocorre
A terra é formada por camadas: a hidrosfera, a atmosfera e a litosfera. A litosfera
é a camada mais rígida da terra e se divide em partes menores chamadas de placas
tectônicas.
Essas placas tectônicas se movimentam lentamente, gerando um processo
contínuo de esforço e deformação nas grandes massas da rocha. Quando esse esforço
supera o limite de resistência da rocha, faz com que ela se rompa liberando parte da
energia acumulada nela. Essa energia é liberada sob a forma de ondas elásticas, chamadas
de ondas sísmicas. Essas ondas podem se espalhar em todas as direções, fazendo a terra
vibrar intensamente, ocasionando os terremotos.
Para medir esses movimentos sísmicos mais usualmente é utilizada a escala
Richter, que é um sistema criado por dois americanos, Charles Richter e seu colega Bueno
Gutemberg, há cerca de 70 anos. Essa escala mede a potência de um tremor em um
determinado lugar e é pontuada de um a nove. A fórmula utilizada para se chegar à
magnitude de um terremoto é:
Ml = log A − log A0
(1)
Onde A é a amplitude máxima medida pelo sismógrafo e A0 é a amplitude de
referência (NUNES, 2008).
Os danos causados por terremotos dependem da magnitude dele e da proximidade
do foco em relação aos centros populacionais, à topografia do relevo, ao tipo de rocha sob
as construções e à qualidade das construções na região.
2.2 O desenho das construções
A qualidade estrutural de um imóvel é determinante para sua resistência aos
terremotos. Muitas vezes, abalos sísmicos moderados provocam perdas severas se
ocorrerem numa região cujas construções, por diversos motivos, não puderam ser feitas
com o devido reforço.
Geralmente, as construções de alvenaria reforçadas com vigas de aço são mais
resistentes que construções em madeira, embora estas sejam mais flexíveis.
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Quando o movimento abaixo de um edifício é forte o suficiente, ele rege o
movimento do edifício, começando pela fundação e se propagando ao longo de todo o
edifício de modo complexo. O movimento do edifício, por sua vez, induz outras forças que
podem provocar danos à estrutura das edificações.
A complexidade dos movimentos do solo se deve a três fatores: as ondas sísmicas
geradas no foco são de naturezas diferentes; ao se propagarem sob a superfície, as ondas
são modificadas pelos meios em que passam e uma vez que as ondas chegam a uma
edificação, os movimentos estarão sujeitos às características do terreno abaixo da
edificação. (THOMPSON; TURK, 1997)
2.3 Frequências naturais de vibração
As características mais importantes para a construção de edificações são a duração
da amplitude (de deslocamento, velocidade e aceleração) e a frequência de vibração do
terreno.
A construção passa a ser um sistema vibratório com conteúdo de frequência que
tende a uma frequência central, chamada de frequência natural da edificação.
Numa casa ou num prédio mais baixo essa frequência é maior que em um edifício
mais alto, onde a baixa frequência promove movimentos amplos e mais lentos.
Quando a frequência das ondas no terreno é próxima à frequência natural do
edifício, dizemos que estão em ressonância. Isso tende a amplificar o movimento do
edifício, aumentando a possibilidade de prejuízos, como desmoronamento, mortes,
deslizamento de terra, entre outros. (THOMPSON; TURK, 1997)
2.4 A aceleração nas construções
Os danos que um edifício pode sofrer num terremoto não dependem nem do
deslocamento nem da velocidade, mas da aceleração a que o chão está sujeito. Alguns
edifícios, em países onde os terremotos acontecem com certa frequência, são equipados
com acelerômetros para se conhecer melhor a sua resposta aos terremotos. Além de
fornecer informações importantes sobre os terremotos, os acelerogramas, que já
registraram vibrações naquele local, servem de base para futuros cálculos estruturais.
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A importância da aceleração pode ser explicada pela segunda lei de Newton, onde
a força exercida no edifício seria igual a sua massa vezes a uma certa aceleração, e quanto
maior a força maiores os danos.
Outros fatores que influenciam a resistência das construções são a rigidez, que é a
capacidade de resistência ao rompimento de um material, a ductibilidade, que é a
capacidade
de
reformar-se
sem
romper,
e
a
capacidade
de
amortecimento.
(TERREMOTOS, 2008)
3. A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UMA FERRAMENTA PARA
COMPREENDER E ESTUDAR FENÔMENOS DA NATUREZA
Especificamente para este estudo, buscamos no referencial da Modelagem
Matemática subsídios teóricos para fundamentar as relações matemáticas e físicas que
explicam a estabilidade de um edifício durante um terremoto.
De acordo com Ponte (2003; 2005), tarefas que envolvem a Modelagem
Matemática são tarefas de natureza problemática e desafiante, num contexto de realidade,
ou seja, podem ser problemas ou investigações que envolvem questões reais, conforme o
grau de estruturação do respectivo enunciado.
No Brasil, existe uma forte tradição em pesquisa sobre Modelagem Matemática.
Autores como Burak (1992; 2007), Bienbenguth e Hein (2003), e Bassanezi (2002) têm se
dedicado a essa linha de pesquisa como uma forma de quebrar a dicotomia existente entre
a Matemática Científica, a Matemática ensinada na escola, em qualquer nível de ensino, e
a sua utilidade na vida real.
A propósito do conceito de Modelagem Matemática, Burak (1992, p. 62) ressalta
que esta “[...] constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é estabelecer
um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano
do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”.
Assim, a Modelagem pode ser vista como uma ferramenta da matemática aplicada
que entra nas salas de aula. Para Bassanezi (2002), fazer Modelagem Matemática é
transformar situações reais em problemas matemáticos, que possam ser resolvidos e suas
respostas serem interpretadas, não apenas como resultados matemáticos, mas também na
linguagem do senso comum.
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Por sua característica de aplicação, o ensino baseado na Modelagem proporciona
uma aprendizagem contextualizada, que procura ligar o real à necessidade de
experimentação matemática. Tal aprendizagem permite a conexão entre várias ferramentas
e conteúdos matemáticos, fazendo com que eles tenham sentido para o aluno.
O trabalho interdisciplinar é favorecido pela Modelagem, como coloca Burak
(2007), entre os vários campos da própria matemática (Números, Álgebra, Geometria,
Grandezas e Medidas e o Tratamento da Informação) e com outras áreas do conhecimento.
Possibilita transitar em várias áreas, com profissionais diferentes e com isso ampliar as
formas e modos de conhecer.
4. MODELO MATEMÁTICO EM UM PRÉDIO
O modelo matemático baseia-se em duas leis da Física Clássica: a segunda lei de
Newton e a Lei de Hooke. Essas leis foram trabalhadas na disciplina de Física 1, durante o
primeiro período do curso, de forma teórica, e, também, de forma prática, através de aulas
experimentais.
A segunda lei de Newton pode ser utilizada para mostrar o deslocamento dos
andares em um prédio, causado pela ação de uma força externa, aplicando a cada seção
(andar) do prédio uma análise unidimensional, modelando-as de forma simplificada como
uma partícula, conforme a seguinte expressão:
F = ma ,
(2),
onde F é a força externa atuando na horizontal, m é a massa e a é a aceleração do
deslocamento dos andares. Nesta etapa, partiu-se dos conceitos físicos intrínsecos à
equação (2), no que tangue à ideia de aceleração, e chegar-se à ideia ou à noção de taxa de
variação da velocidade e, consequentemente, ao conceito de derivada, personificando,
assim, um ramo ou braço de uma possível teia (rede).
Assim, suponhamos que qualquer (i-ésimo) andar de um edifício tenha massa mi e
que os andares estejam conectados por junções elásticas, cujos efeitos se parecem com os
de uma mola. Cada junção exerce uma força restauradora quando os andares são
deslocados um em relação ao outro. Com isso, pode-se aplicar a lei de Hooke, representada
por:
F = − kx ,
(3),
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onde k é uma constante de elasticidade e x é a posição do andar. (NUSSENZVEIG, 2000)
Para uma constante de elasticidade ki entre o i-ésimo e o (i+1)-ésimo andar, a
força restauradora entre os dois andares, resulta em:
F = − ki ( xi +1 − xi ) ,
(4),
onde xi da fórmula (4) é número do andar, conforme ilustrado na Figura 1.
Ki*(xi+1 - xi)
m1
Ki-1*(xi – xi-1)
Figura 1 – Esquema ilustrativo das forças aplicadas em um andar.
Fonte: Adaptado de ZILL (2003).
Da mesma forma que a aceleração a é a derivada segunda da posição x, obtendose um sistema de equações diferenciais; substituindo a equação (2) em (4), tem-se
mn xn " = −k n−1 ( xn − xn−1 ) .
(5)
Assim, tem-se a fórmula aplicada a cada seção do prédio, como é ilustrado na
Figura 2.
Aplicando a equação (5), de uma forma geral, para um edifício modelo de n
andares, este sistema de equações diferenciais torna-se:
⎧m1 x1" = −k0 x1 + k1 ( x2 − x1 )
⎪m x " = − k ( x − x ) + k ( x − x )
1
2
1
2
3
2
⎪⎪ 2 2
⎨m3 x3 " = −k 2 ( x3 − x2 ) + k3 ( x4 − x3 )
.
⎪:
⎪
⎪⎩mn xn " = −k n −1 ( xn − xn −1 ) + k n ( xn +1 − xn )
(6)
A equação (6) permite que seja realizada uma análise da estabilidade do edifício
durante o terremoto, através do estudo dos autovalores e autovetores associados a este
sistema linear (ZILL, 2003).
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mn
kn-1
mn-1
kn-2
.
.
.
m2
m1
.
.
.
k1
k0
chão
Figura 2 – Esquema ilustrativo de um prédio de n andares.
Fonte: Adaptado de ZILL (2003).
Fornecendo a massa m de cada pavimento e a força restauradora k, com estas
equações, pode-se calcular as frequências naturais de um certo edifício.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade mostrar que a partir de discussões realizadas em
grupos interdisciplinares, pode-se utilizar metodologias diferenciadas para tratar de
conceitos científicos das diferentes áreas, colaborativamente, e tendo a rede como base
para articular tais conhecimentos. Como objeto específico de pesquisa, foi possível
observar que conceitos matemáticos podem ser aplicados juntamente com conceitos de
física, para entender situações reais dentro do Curso de Engenharia de Produção Civil ou
em qualquer outro contexto, manifestando-se, assim, a interdisciplinaridade e o
pensamento em rede.
Como algumas situações não são tão frequentes, acabam não sendo abordadas.
Assim, o objetivo foi mostrar que as equações matemáticas aplicadas em situações como a
abordada podem propiciar um melhor entendimento dos conceitos estudados em sala de
aula.
Por outro lado, a organização e o tratamento de conteúdos em rede, continuamente
lembram de que os nós/significados são naturalmente heterogêneos, no sentido de que
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envolvem relações pertencentes a múltiplos conteúdos, a diversas disciplinas. As noções,
os conceitos realmente relevantes sempre terminam por ultrapassar as fronteiras
disciplinares.
5. REFERÊNCIAS
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Contexto, 2002.
BURAK, D. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 1992.
BURAK, D. A modelagem matemática e a sala de aula: perspectivas para o ensino de
matemática na educação básica. In: Anais do IX Encontro Nacional de Educação
Matemática – ENEM. Belo Horizonte, 2007. 1 CD-ROM
BIENBENGUTH, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo:
Contexto, 2003.
NUNES, C. Terremoto. Disponível em: <http://www.fiocruz.br/biosseguranca/Bis/
infantil/terremoto.htm>. Acesso em: out. 2008.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica – Mecâmica. 3. ed. São Paulo: Edgard
Blucher, 2000.
PONTE, J. P. Investigar, ensinar e aprender. In: Actas do ProfMat. Lisboa: AP, 2003.
p. 25-39. 1 CD-ROM.
PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In: GTI (Ed.). O professor e o
desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. p.11-34
TEIXEIRA, W., TOLEDO, M. C. M., FAIRCHILD, T. R. e TAIOLI, F. Decifrando a
Terra. São Paulo: Companhia Editora Nacional: 2008. 43 p.
TERREMOTOS. Disponível
.htm>. Acesso em: out. 2008.
em:
http://www.iag.usp.br/siae98/terremoto/terremotos
THOMPSON, G. R. e TURK, J. Introduction to Physical Geology, 1997 , Tradução livre
com adaptações. Disponível em: < http://moho.iag.usp.br/sismologia/cuidados.php>.
Acesso em: out. 2008.
632
ZILL, D. G. Equações Diferenciais Com Aplicações Em Modelagem. São Paulo:
Editora Thomson Pioneira, 2003.
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