I. NÚMEROS INTEIROS E FRAÇÕES → OPERAÇÕES COM

I. NÚMEROS INTEIROS E FRAÇÕES  OPERAÇÕES COM:
 Relembrando...(números inteiros: soma e subtração)
Observe os exercícios resolvidos, e a seguir resolva os demais:
1. + 2 – 5 = – 3
2. + 3 – 7 = – 4
Obs.: facilmente entendemos que essas expressões se
3. – 6 – 7 = – 13
comportam como nosso saldo bancário. Experimente
4. – 3 + 7 = + 4 ou somente 4
pensar assim.
5. + 5 – 12 = – 7
6. – 6 – 12 =
7. – 3 – 5 – 8 =
8. – 2 – 5 – 8 – 6 =
9. – 5 + 6 =
10.
11. + 6 + 5 + 4 + 8 =
–8+8=
12. + 7 + 5 =
13. – 9 – 8 =
14. – 9 + 8 – 5 =
15. + 4 + 8 – 7 =
16. – 3 + 5 – 5 =
17. + 3 – 8 + 4 =
 Relembrando...(números inteiros: multiplicação e divisão)
Observe os exercícios resolvidos, e a seguir resolva os demais:
1.
+ 2 . (– 5) = – 10
2.
– 3 . (+ 7) = – 21
3.
– 6 . (– 7) = + 42
4.
– 3 . (– 8) = + 24
5.
+ 5 . (– 12) =
6.
– 6 . (– 12) =
7.
– 3. (– 5) . (– 8) =
8.
– 2 . (– 5) . (– 8) =
9.
– 5. (+6)=
Regrinha fácil:
Sinais iguais  mais
Sinais diferentes  menos
10. – 8 . 8 =
11. – 5. (+4). (+) 8 =
12. + 7. (+ 5) =
13. – 9 . (– 8) =
14. – 9 + 8. (– 5) =
15. + 4 . (+ 8) . (– 7) =
16. – 3. (+ 5). (– 3) =
17. + 3 . (– 8) . (+ 4) =
18. – 4 . (+ 7). (– 2) =
19. + 4 . (+ 3) . (– 5) =
20. + 6. (+ 1). (– 3) =
21. + 7 . (– 2) . (+ 1) =
22. – 3 . 8 . (+ 5) =
23. + 4 . (+ 2) . 0 =
1
 Relembrando...(números fracionários: soma e subtração)
a c
  a.d  b.c (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos)
b d
a c ad  bc
2) Adição/subtração:  
. (só é possível somar/subtrair frações de mesmo
b d
bd
denominador).
Caso particular:
c ad c ad  c
soma/subtração de um inteiro com um fracionário: a  
.(transformar o
 
d
d d
d
inteiro em fração toda as vezes que for operar com um número fracionário).
a c a.c
3) Multiplicação: . 
.
b d b.d
Caso particular:
c a c a.c a.c
Produto de um inteiro com uma fração: a.  . 

(erro que aparece com
d 1 d
d
a.d
freqüência)
Observação:
a
a.d
4) Divisão: b 
(manter a fração do numerador, inverter a fração do denominador e
c b.c
d
multiplicar).
Casos particulares: (quando um dos números é um inteiro)
a a
a
a
a
a.d
i) b  b 
ii)
 1 
c
c
c c b.c
c
1
d d
1) Igualdade:
Importante: a posição do igual é fundamental para a divisão
Observe os exercícios resolvidos, e a seguir resolva os demais:
2 5  2.12  5.3  24  15 39:3 13
1.  


 :3 
3 12
36
36
36
12
2.

2 5  2.12  5.3  24  15
39 :3
13
 

  :3  
3 12
36
36
36
12
3.

2 5  2.12  5.3  24  15
9 :3
3:3
1
 

  :3   :3  
3 12
36
36
36
12
4
2 5  2.12  5.3  24  15
9 :3
3:3
1
4.  


  :3   :3  
3 12
36
36
36
12
4
5.

6 2
 
3 7
2
6.

2 5
 
8 2
7.

11 1
 
3 2
8.

7 5
 
4 3
9.

3 5
 
5 12
10. 
7 8
 
6 3
11. 
3
2
 
11 12
12. 
4 6
 
3 9
13. 
12 15
 
3
3
14. 
12 15
 
5
5
15. 
22 135


3
8
 Relembrando...(números fracionários: multiplicação)
Observe os exercícios resolvidos, e a seguir resolva os demais:
1.
10 :2
5
5
2  5   2.(5)


  ou
 .   
:2
3  12 
3.12
36
18 18
2.
2 5 
   
3  12 
3.

2 5 
  
3  12 
4.

2 5 
  
3  12 
5.

6 2
  
3 7
3
6.

2 5
  
8 2
7.

11  1 
  
3  2
8.

7  5
  
4 3
9.
3 5 
   
5  12 
10. 
7  8
  
6  3
11. 
3 2
  
11  12 
12. 
4 6
  
3 9
13. 
12  15 
  
3 3
14. 
12  15 
  
5  5
15. 
22  135 


3  8 
II. NÚMEROS DECIMAIS  OPERAÇÕES COM:
Números decimais são aqueles apresentados com uma vírgula entre eles. Exemplos: 0,2; 0,05;
12,385; etc.
Operações: (as regras de sinais são as mesmas que aprendemos para números inteiros)
Observe os exemplos e a seguir calcule os demais: (Soma e subtração)
1.
+ 0,5 + 2,25 = 2,75
2.
– 2,3 – 1,25 = 2,55
3.
– 1,25 + 0,5 = – 0,75
4.
– 1,35 – 2,45 =
5.
3,75 – 2,75 =
6.
1,25 – 2,76 =
7.
– 8,75 – 9,75 =
4
8.
– 7,756 – 0,009 =
9.
+ 2,57 + 1,025 =
10.
1,576 – 0,785 =
11. – 0,5(+0,5) = – 2,5
12. – 1,5(0,005) = – 0,0075
13.
2,5 . 2,5 =
14.
1,2 . 2,4 =
15.
– 1,25 (– 0,4) =
16.
– 2,4 (+0,6) =
III. RAZÃO E PROPORÇÃO
Razão:
Conceito: É o quociente (divisão) entre o primeiro pelo segundo número, sendo que o segundo
número, tem que ser diferente de zero, ou seja:
Razão entre dois números a e b é 
a
, sendo b  0.
b
Exemplos:
Leitura

3
5
3 está para 5.

x
7
x está para 7.
3
4
4

3
4
está para 4.
Exemplo:
1) Numa classe existem 30 mulheres e 20 homens. Calcule a razão do número de mulheres
em relação ao de homens.
30 3
  1,5
20 2
resposta: A razão é de 1,5 (isso quer dizer que existe uma mulher e
meia para cada um homem)
Proporção:
Conceito: É a igualdade entre duas razões.
a : b  uma razão
5
c : d  outra razão
a:b=c:d
ou
a c

b d
Elementos da proporção:
Em toda e qualquer proporção, encontramos 2 elementos fundamentais, que são: os meios e os
extremos.
b e c são os meios
a e d são os extremos.
Propriedade fundamental das proporções:
Em toda e qualquer proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:
a c
  a.d=b.c
b d
Verificação de uma proporção:
Para verificar se duas razões formam uma proporção, devemos aplicar a propriedade
fundamental das proporções.
Exemplos:
1.
3 9

4 12

3 . 12 = 4 . 9

36 = 36 forma uma proporção
2.
3 4

5 3

3.3=5.4

9  20 não forma uma proporção.
Resolução de uma proporção:
Conceito: Resolver uma proporção significa determinar o valor do termo desconhecido dessa
proporção.
Regra: Para determinar o termo desconhecido na proporção basta aplicar a propriedade
fundamental das proporções.
Exemplos:
1.
x 15

4 12
 12 . x = 4 . 15
 12 x = 60
x =
60
12
x = 5
2.
1
4

2 x 18
 4 . 2x = 1 . 18
 8 x = 18
x =
18
8
x =
9
4
6
Exercícios
Determine o valor de x nas proporções abaixo:
1.
2 x

4 8
2.
x 2

4 5
3.
6 x

5 10
4.
x 3

8 4
5.
2 7

x 3
6.
x 5

3 15
7.
1
2

x 20
8.
3 x

5 2
9.
2 6

7 x
10.
3 x

8 16
11.
2 x 12

3
9
12.
1 1

3x 2
13.
x
2

x4 3
14.
x2 1

4
2
15.
1
3

x2 9
16.
x
4

x6 7
17.
x4 3

x
5
18.
x x 1

3
4
19.
x 1 3

6
7
20.
1
2

x  2 x  10
21.
x
9

x  2 15
1
1
4
25.
 12
1
x
2
22.
x5 3
26.

x3 5
5
29.
1
3  3
2x 2
5
1 3
3 2
4
x
15
30.
2
0,4

0,9
x
2 1
33.
x 1 x

10
8
34.
23.
1
x

3 x4
x
2
27.

x 1 3
31.
1
2

x 1 3
24.
x2 2

x3 5
2
1
3
28.
 4
1
3x
2
32.
1
x

1
1
1 1
2
2
3
x5
 5
x2 3
8
7
IV. REGRA DE TRÊS
Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos
quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor.
A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela (em
proporção) e resolvermos uma equação.
Vamos a resolução de problemas:
1) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele
percorrerá 30km?
Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o
tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar a proporção:
Multiplicamos em cruz:
20x = 60
x=3
Portanto, o atleta percorrerá 30km em 3h.
2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores
constroem uma casa?
Notem que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma
casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o
número de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a
proporção.
Multiplicando em cruz:
2x = 32
x = 16
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.
Como puderam ver, a resolução é bastante simples. Primeiro, observamos se as grandezas são
diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for diretamente proporcional,
mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção.
Feito isso, basta resolver a equação.
8
Exercícios
1. Uma empresa vai comprar brindes para os seus clientes. O custo de 1000 brindes é R$
400,00. Quanto custará 1800 brindes?
2. Um agência de propaganda contendo 3 funcionários aprontou uma campanha publicitária
para um certo produto em 34 dias. Se tivesse trabalhado com mais três funcionários,
exatamente iguais aos três que já existia, em quanto tempo aprontaria a mesma
campanha?
3. Se 12 m de certo tecido custam R$ 600,00, qual é o preço de 20 m do mesmo tecido?
4. Com 5 kg de farinha de trigo são fabricados 200 pães. Quantos pães iguais aos primeiros
serão fabricados com 8 kg de farinha de trigo?
5. Uma torneira despeja 40 litros de água em 8 minutos. Quanto tempo levará para encher
totalmente um recipiente cuja capacidade é 600 litros?
9
6. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre certa distância em 45
minutos. Se a velocidade média fosse de 75 km/h em quantos minutos o automóvel
faria a mesma distância?
7. Numa marcenaria 10 operários produzem certo número de peças em 8 dias. Quantos
operários seriam necessários para produzirem o mesmo número de peças em 5 dias?
8. No transporte de cimento para a construção de um edifício foram utilizados 12
caminhões de 6 m3 cada um. Quantos caminhões de 9 m3 cada um seriam necessários
para fazer o mesmo transporte?
9. Pra pintar uma parede de 30 m2 foram gastos 15 litros de tinta. Quantos litros da mesma
tinta serão gastos para pintar uma parede de 18 m2?
10. Um relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 60 horas?
10
11. 24 operários levam 60 dias para construir uma loja. Em quantos dias 30 operários farão
o mesmo serviço?
12. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada
página, quantas páginas teriam o mesmo livro?
Problemas de porcentagem
1. Na compra de uma bicicleta cujo preço é R$ 900,00, dá-se um desconto de R$ 135,00.
Determinar a taxa de desconto dada nesta bicicleta.
2. 15.000 candidatos inscreveram-se para o vestibular da PUC de São Paulo. Foram
aprovados 9.600 candidatos. Qual a taxa de aprovação?
3. Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual
foi a sua taxa de acerto?
4. Numa empresa de 2.500 funcionários, 800 tem curso superior, 1.000 tem o ensino médio
e o restante concluiu o ensino fundamental.
a) Qual a porcentagem de funcionários que tem o ensino superior?
b) Qual é a porcentagem de funcionários que tem o ensino médio?
c) Qual é a porcentagem de funcionários que concluiu o ensino fundamental?
11