Capítulo 5: Torção Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond Deformação por torção de um eixo circular • • Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal: preocupação no projeto de EIXOS. A torção faz que os círculos continuem como círculos e cada linha longitudinal da grade se deforme na forma de hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. Deformação por torção de um eixo circular • • As seções transversais nas extremidades do eixo continuam planas, e as linhas radiais nessas extremidades continuam retas durante a deformação. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. Deformação por torção de um eixo circular • • Se o eixo estiver preso em uma das extremidades e for aplicado um torque, o plano sombreado será distorcido em uma forma oblíqua. Uma linha radial localizada na S.T. a uma distância x da extremidade fixa do eixo girará de um ângulo (x). Deformação por torção de um eixo circular • Devido à deformação, as faces anterior e posterior do elemento sofrerão uma rotação, (face posterior (x) e face anterior (x) + ). • O resultado é que, em razão da diferença entre essas rotações, , o elemento é submetido a uma deformação de cisalhamento. Deformação por torção de um eixo circular • Para calcular a deformação por cisalhamento, observe que, antes da deformação, o ângulo entre as bordas do elemento AB e AC é 90; depois a deformação, as bordas se tornam AD e AC e o ângulo entre elas é ’. A fórmula da torção • Quando um torque externo é aplicado a um eixo ele cria um torque interno correspondente no interior do eixo; • Podemos desenvolver uma equação que relaciona esse torque interno com a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal de um eixo. A fórmula da torção A fórmula da torção máx Tc T ou J J máx = tensão de cisalhamento máxima no eixo T = torque interno resultante que age na S.T. seu valor é determinado pelo método das seções e pela eq. de equilíbrio de momento aplicada ao redor da linha central longitudinal do eixo. J = momento polar de inércia da área da seção transversal c = raio externo do eixo = distância intermediária • Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça: 4 (mm4) J • 2 c O torque interno T não somente desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha radial no plano da S.T., como também uma distribuição de tensão de cisalhamento associada é desenvolvida ao longo de um plano axial Fig.b • Se o eixo tiver uma seção transversal tubular, J 4 4 co ci 2 Exemplo 5.1 A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura. Determine o torque interno resultante na seção. Exemplo 5.3 O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo. Exemplo 5.3 Exemplo 5.4 O tubo mostrado na Figura tem diâmetro interno de 80mm e diâmetro externo de 100mm. Se sua extremidade for apertada contra o apoio em A usando-se uma chave em B, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da porção central do tubo quando aplicadas forças de 80N à chave . Exemplo 5.4 TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA • Eixos e tubos são usados para transmitir potência desenvolvida por uma máquina. • Estes eixos estão sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo. • Potência é o trabalho realizado por unidade de tempo; o trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado e o ângulo de rotação. TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA • Portanto se durante um instante dt um torque aplicado T provocar uma rotação d: P Td dt visto que a velocidade angular do eixo é: =d/dt P=T • • • • • Potênica P: W (1W = 1N.m/s) Torque T: 1N.m Velocidade angular : rad/s (rpm = revoluções por min = 2rad / 60s) Frequencia de rotação f: 1Hz = 1 ciclo/s (1ciclo = 2 rad) =2f P=T2πf Exemplo 5.5 Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. Exemplo 5.6 Um eixo tubular com diâmetro interno de 30mm e diâmetro externo de 42mm será usado para trasmitir 90kW de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 50MPa. Exemplo 5.1 A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura. Determine o torque interno resultante na seção. Exemplo 5.2 O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T, figura. Determine a fração de T à qual resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio interno c/2 e raio externo c.