Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 MATEMÁTICA / FÍSICA / QUÍMICA 01 B 21 E 02 A 22 A 03 B 23 B 04 A 24 C 05 A 25 * 06 D 26 D 07 D 27 B 08 C 28 * 09 A 29 C 10 E 30 A 11 D 31 D 12 C 32 E 13 C 33 * 14 D 34 C 15 C 35 B 16 * 36 D 17 D 37 E 18 B 38 A 19 B 39 A 20 A 40 C 1 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 GABARITO COMENTADO Questão 01 Letra: B Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos ˆ, B̂ e Ĉ , respectivamente. Determine o valor da expressão: internos A ˆ ˆC A 2 ˆ ˆ AC cos 2 cos a) b) c) d) e) 2. 2. 2 2. 3. 4. Solução: Pela lei dos senos temos: sen A a 2R sen B sen C sen B sen A 2R b a b c 2R sen C c 2R Como os lados estão em P.A. e o termo do meio é b temos: b Logo. 2 sen A sen C sen B 2R 2R 2R sen A sen C 2sen A C sen A sen C 2sen 180º A C 2 www.sistemaeliterio.com.br ac 2b a c 2 Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Transformando a soma dos senos em produto e usando a formula de arco dobro: 2sen A C sen A sen C AC AC AC AC 2.2.sen cos 2sen cos 2 2 2 2 AC AC 2 cos cos 2 2 AC cos 2 2 AC cos 2 Questão 02 Letra: A Sejam x e y números reais não nulos tais que: logx y π logy x e a 1 1 b 1 1 π logx y e logy x x a b 2e O valor de y a b 2π é: a) 1 π e b) ae bπ d) a – b c) e e) a b π π Solução: logx y logy xe a logx y e logy x a 1 logy x 1 1 logx y e 1 b log x 1 y log y e1 x b logx y e logy x b Somando as duas igualdades, temos: 2 logx y a b logx y 2 a b y 2 x a b Subtraindo a segunda da primeira, temos: 2e logy x a b logy x2e a b x2e y a b Assim, x a b 2e x a b x 2e 1. y a b 2 y a b y 2 3 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 03 Letra: B A função f : é definida por: f (x) ln 8 3senx sen3x 8 4senx 2sen2x cos x Marque a opção verdadeira: a) f não tem raízes reais b) f é uma função ímpar c) f é uma função par d) f x 1 e) f é sobrejetora Solução: Pelas fórmulas de prostaferese, temos 2sen2xcosx sen3x senx . Substituindo na expressão de f x , temos: 8 3senx sen3x 8 3senx sen3 x 8 3senx sen3 x f x ln ln ln 8 4senx 2sen2 x cos x 8 4senx sen3 x senx 8 3senx sen3 x Vamos calcular f x : 8 3sen x sen 3x 8 3senx sen3x f x ln ln 8 3sen x sen 3x 8 3senx sen3x 1 8 3senx sen3x 8 3senx sen3x ln f x ln 8 3senx sen3x 8 3senx sen3x Portanto, f é uma função ímpar. Questão 04 Letra: A A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Solução: Temos que a1 , r , n estão em P.A., logo a1 n 2 e r n 1. Substituindo na formula do termo geral da P.A. teremos: an a1 n 1 r an n 2 n 1 . n 1 an n2 n 1 4 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Então a soma dos termos ficará: Sn Sn a1 an n 2 n 2 n2 n 1 n n 2 Sn 2 3 n n 244 2 2 3 n 2 n3 3n 488 0 Testando os divisores de 488 vemos que n 8 é solução e, aplicando o algoritmo de BriottRuffini vemos que esta é a única solução. Então r 8 1 7 . Questão 05 Letra: A Determine o produto dos valores máximo e mínimo de y que satisfazem às inequações dadas para algum valor de x. 2x2 12x 10 5y 10 2x a) b) c) d) e) –3,2 –1,6 0 1,6 3,2 Solução: I. 2x 2 12x 10 5y 2 2 5 5 2 8 y x 3 9 5 y y x 3 , 2 2 5 5 2 8 1,6 . Como x 3 0 temos que y 5 II. x2 6x 5 2x 2 12x 10 10 2x 2x 2 10x 0 0 x 5. III. 5y 10 2x 5y 10 2.0 y 2. Portanto, o produto pedido é 2.(–1,6) –3,2 . 5 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 06 Letra: D Qual o resto da divisão do polinômio x26 – x25 – 6x24 + 5x4 – 16x3 + 3x2 pelo polinômio x3 – 3x2 – x +3? a) x2 + x –2 b) 6x2 – 4x +3 c) 3x – 9 d) 6x2 – 17x – 3 e) 6x + 1 Solução: Como o divisor é do 3 grau, então o resto é no máximo do 2 grau. Sejam o polinômio P x x26 x25 6x24 5x4 16x3 3x2 e o resto da divisão r x ax2 bx c . O divisor é x3 3x2 x 3 x2 x 3 1 x 3 x 1 x 1 x 3 . Pelo teorema do resto, temos: r 1 a b c P 1 14 r 1 a b c P 1 20 r 3 9a 3b c P 3 326 325 6 324 5 34 16 33 3 32 325 3 1 2 33 15 16 1 0 a b c 14 Assim, devemos resolver o sistema linear a b c 20 a 6 b 17 c 3 . 9a 3b c 0 Portanto, o resto da divisão é r x 6x2 17x 3 . Questão 07 Letra: D Quantos restos diferentes são possíveis da divisão de n2 por 11, sendo n um número natural? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 6 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: Olhando módulo 11, n só pode assumir valores congruentes a 0 até 10, logo seus quadrados serão dados por: n 0 n2 0 n 1 n2 1 n 2 n2 4 n 3 n2 9 n 4 n2 5 n 5 n2 3 n 6 n2 3 n 7 n2 5 n 8 n2 9 n 9 n2 4 n 10 n2 1 Logo n2 só pode ser congruente a 0,1,3,4,5 ou 9, então temos 6 valores. Questão 08 Letra: C O número de soluções da equação cos(8x) = sen(2x) + tg2(x) + cotg2(x) no intervalo [0,2) é: a) b) c) d) e) 0 1 2 4 8 Solução: Pela desigualdade das médias temos: tg2x ctg2x tg2x.ctg2x 2 2 tg x ctg2x 2 Sabendo ainda que : 1 sen2x Somando as duas inequações temos: 1 2 sen2x tg2x ctg2x 1 2 cos 8x 1 cos 8x cos 8x 1 Que ocorrerá para sen2x 1 e tg2x ctg2x 2 . A última equação é a igualdade dada na desigualdade das médias, logo só ocorrerá quando: tg2x ctg2x 1 3 5 7 Logo, as soluções de tg2x ctg2x 2 são ; ; ; . 4 4 4 4 3 7 e Dessas soluções, as únicas que satisfazem sen2x 1 e cos 8x 1 são . 4 4 Temos então 2 soluções. 7 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 09 Letra: A Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo é: 1 2 x A 1 x a) b) c) d) e) 2x 0 0 1 x 1 2 x4 0 0 –1 1 x 2 7 8 9 10 11 Solução: Aplicando a regra de Howell/Chió, temos: 1 2 det A x 1 x 2x 0 0 1 x 1 2 x4 0 0 1 1 x 2 2 1 4 x 1 1 2x3 4x 1 2x2 x 1 0 2 0 1 x 2 x 1 2 x 4 x2 3x x x 4 x 3 0 1 x 2 x0 x3 x4 Portanto, a soma dos módulos dos valores que tornam o determinante nulo é |0|+|3|+|4|=7. Questão 10 Letra: E Sejam a circunferência que passa pelos pontos (6, 7), (4, 1) e (8, 5) e t a reta tangente à , que passa por (0, –1) e o ponto de tangência tem ordenada 5. A menor distância do ponto P (–1, 4) à reta t é: a) b) c) d) e) 3 2 4 2 3 3 4 10 / 5 Solução: Primeiramente note que os vetores AC 8 6,5 7 2, 2 e BC 8 4,5 1 4, 4 tem produto escalar AC.BC 2, 2 . 4, 4 0 , logo o triângulo é retângulo de hipotenusa AB, logo seu centro é o ponto médio de AB e a medida de seu raio a metade da medida de AB: 8 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 6 4 2 6 4 1 7 C , 5, 4 e r 2 2 1 7 2 2 10 Cuja equação é x 5 y 4 10 . 2 2 Vamos descobrir os pontos de ordenada 5 (a,5) que estão nessa circunferência: a 5 5 4 5 a 5 9 2 2 10 a 5 3 a 8 ou a 2 Os possíveis pontos são 2,5 e 8,5 . A reta que contém os pontos 8,5 e 0, 1 não é tangente à circunferência dada, pois a distância do centro até esta reta é menor do que o raio. Logo a reta t é a que passa por 2,5 e 0, 1 e é dada por: 3x y 1 0 . Logo, a distância pedida é: d 3 1 4 1 3 2 1 2 8 10 4 10 5 Questão 11 Letra: D O lugar geométrico no plano complexo de w = z + 1/z, sendo z número complexo tal que z = k e k >1, e um(a): a) segmento de reta b) circunferência c) hipérbole d) elipse e) parábola Solução: Fazendo z a bi , temos: 1 w a bi a bi a bi w a bi 2 ; k 2 a2 b2 ,: a b2 a bi w a bi k2 1 1 w a 1 2 b 1 2 i k k 1 1 Fazendo : a 1 2 x e y b 1 2 . k k x2 y2 Temos: k 2 , e como k 1 : 2 2 1 1 1 k 2 1 k 2 9 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino x2 2 1 k k y2 2 1 k k IME - 2014/2015 1 Portanto, o lugar geométrico é uma Elipse. Questão 12 Letra: C O time de futebol “X” irá participar de um campeonato no qual não são permitidos empates. Em 80% dos jogos, “X” é o favorito. A probabilidade de “X” ser o vencedor quando ele é o favorito é 0,9. Quando “X” não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor é 0,02. Em um determinado jogo de “X” contra o “Y”, o time “X” foi o vencedor. Qual a probabilidade de “X” ter sido favorito neste jogo? a) 0,80 b) 0,98 c) 180/181 d) 179/181 e) 170/181 Solução: A árvore acima representa a situação descrita no enunciado. Como X venceu, o espaço amostral fica reduzido. Assim, a probabilidade de X ser favorito dado que X venceu é 0,72 180 P . 0,724 181 Questão 13 Letra: C Seja um trapézio retângulo de bases a e b com diagonais perpendiculares. Determine a área do trapézio. ab a) 2 2 a b b) 2 a b c) ab 2 2a b d) ab 2 e) a b 2 2 a b 10 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: Pela semelhança: ABD ADC temos: Logo a área é dada por: S a b 2 ab a h h h b ab . Questão 14 Letra: D Em um prisma oblíquo ABCDEFA’B’C’D’E’F’, cuja base ABCDEF é um hexágono regular de a, a face EFF’E’ está inclinada 45o em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta F’E’ sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é: 3 3 3 a a) 2 9 3 a b) 4 5 3 3 a 3 9 3 a d) 2 5 3 a e) 2 c) 11 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: Como a projeção de F ' E ' coincide com BC, o triângulo FBF ' é retângulo em ˆ FB F ' B a 3 pois F ' FB 45o . Logo a altura do prisma é a 3 e seu volume é V 6. Be a2 3 . 9 a 3 a2. 4 2 Questão 15 Letra: C Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro. 3 2 a a) 192 3 2 a b) 96 c) 3 3 2 a 32 d) 3 3 2 a 64 e) 9 3 2 a 64 12 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: Seja AG a altura do tetraedro. O ponto M , médio da altura AG , pertence à face do octaedro. Portanto, o ponto O , centro do octaedro, dista da base BCD do tetraedro um quarto da altura AG (figura 1). Como os vértices do octaedro estão sobre os pontos médios das arestas do tetraedro, então a a aresta do octaedro é metade da aresta do tetraedro, ou seja, . 2 A seção do octaedro é obtida pelo plano paralelo a uma de suas faces passando pelo seu centro. Assim, essa seção é obtida ligando-se os pontos médios das arestas indicadas na figura 2. A figura obtida é um hexágono cujo lado é metade da aresta do octaedro, ou seja, 2 a . A área desse hexágono é dada por Shex. 4 a 3 3 3 a2 6 4 . 4 32 Questão 16 ANULADA Um corpo puntiforme de massa mA parte de ponto A, percorrendo a rampa circular representada na figura acima, sem atrito, colide com outro corpo puntiforme de massa mB, que se encontrava inicialmente em repouso no ponto B. Sabendo que este choque é 13 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 perfeitamente inelástico e que o corpo resultante deste choque atinge o ponto C, ponto mais alto da rampa, com a menor velocidade possível mantendo o contato com a rampa, a velocidade inicial do corpo no ponto A, em m/s é Dados: Raio da rampa circular: 2m; aceleração da gravidade g: 10 m/s2; massa mA: 1 kg; massa mB: 1 kg. a) 10 b) 20 c) 4 15 d) 10 5 e) 8 5 Solução: Dados: R 2m; g 10m s2 ; mA 1kg; mB 1kg 1) Movimento do ponto mais baixo da trajetória até o ponto C Da condição de velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória, temos que a força normal é igual a zero (corpo na iminência de perder contato com a pista); portanto, a única força que atua sobre o corpo é o peso, e esta faz o papel de força centrípeta. m v2 P Fcentrípeta mg v2 gR R Conservação da Energia: m v2C m vB2 Eantes Edepois EcinéticaB EcinéticaC EpotencialC m gh 2 2 vB2 v2C 2gh vB2 gR 2.g.2R vB2 5gR 2) Choque inelástico entre A e B Da Conservação da Quantidade de Movimento temos: Qantes Qdepois mA vA mA mB vB choque inelástico 1.vA 1 1 vB vA 2 5gR 3) Movimento do bloco A antes do choque Da Conservação da Energia temos: Eantes Edepois EpotencialA EcinéticaA EcinéticaB m gh gR v 2 oA v 2 oA 2 2 A m v2oA 2 v 2gR v2oA v2A 2gR v2oA 2 5gR 2 2 m v2A 2 2gR v2oA 20gR 18gR v2oA 18.10.2 v2oA 360 v2oA 6 10 m s 14 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 17 Letra: D A figura acima mostra uma onda transversal na forma de um pulso ondulatório em uma corda esticada. A onda está se propagando no sentido positivo do eixo x com velocidade igual a 0,5 m/s. Se o deslocamento y, em metros para uma coordenada x, em metros, no instante t = 0 é dado por 1 y( x ) 2 x 4 O deslocamento y, em centímetros, para x = 3 metros e t = 2 segundos é a) 5,50 b) 6,25 c) 8,50 d) 12,50 e) 15,25 Solução: Como o pulso se propaga no sentido positivo e com velocidade constante, seu deslocamento y x, t é dado por y x vt , pois o deslocamento é no sentido positivo. Logo, y x 1 1 1 y x, t y x, t 2 2 x 4 x vt 4 x 0,5t 4 2 Para x 3m e t 2 s temos: y 3,2 d 1 3 0,5.2 2 4 d 1 3 1 2 4 d 1 22 4 1 1 100 m d .102 cm d cm d 12,5 cm 8 8 8 15 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 18 Letra: B Uma chapa rígida e homogênea encontra-se em equilíbrio. Com base nas dimensões apresentadas na figura, o valor da razão x/a é a) b) c) d) e) 10,5975 11,5975 12,4025 15,2975 13,5975 Solução: Analisando a figura, notamos que podemos eliminar as quadriculas que apresentam o mesmo torque em módulo mas com sinais opostos (x, y e z); portanto, como M 0 teremos: 10q.3a Q.5a 2 .a. a .3 2 . a . x 8,5975a x 11,5975a 16 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 19 Letra: B A figura acima mostra um circuito elétrico composto por resistências e fontes de tensão. Diante do exposto, a potência dissipada, em W, no resistor de 10 do circuito é a) b) c) d) e) 3,42 6,78 9,61 12,05 22,35 Solução: 10I1 5I2 2I1 I2 1 5I1 10I2 10 I1 2I2 2 I2 1,0A VTh 5 1 5V TTh 15 Ω 7 17 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino i 15 5 10 15 7 IME - 2014/2015 14 A 17 P = Ri2 10 14 17 2 P 6,78W Questão 20 Letra: A A figura acima apresenta um pêndulo simples constituído por um corpo de massa 4g e carga + 50 C e um fio inextensível de 1m. Esse sistema se encontra sob a ação de um campo elétrico E de 128 kN/C, indicado na figura. Considerando que o pêndulo oscile com amplitude pequena e que o campo gravitacional seja desprezível, o período de oscilação, em segundos, é a) b) c) d) e) 20 10 5 2 5 4 5 Solução: Dados: m 4g 4.103 kg q 50C 50.106 C 5.105 C l 1m E 128kN C 128.103 N C Como o campo gravitacional é desprezível, o peso e a aceleração da gravidade são igualmente desprezíveis. Logo, 18 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 qE m Para pequenas oscilações, o período é dado por: l l ml T 2 T 2 T 2 qE a qE m Fresultante Felétrica ma qE a T 2 4.103.1 1 2 T 2 T T s 5 3 1600 40 20 5.10 .128.10 Questão 21 Letra: E Uma partícula eletricamente carregada está presa a um carrinho que se move com velocidade de módulo constante por uma trajetória no plano XY definida pela parábola y = x2 – 9x + 3 Sabe-se que, em XY, um campo magnético uniforme paralelo ao vetor (3B, B) provoca força sobre a partícula. O ponto onde a partícula é submetida ao maior módulo de força magnética é a) b) c) d) e) (– 6, (– 3, (1, – (2, – (3, – 93) 39) 5) 2) 15) Solução: Como o campo magnético é paralelo ao vetor 3B,B , então o coeficiente angular da reta paralela ao campo magnético é dado por: y B 1 m m m x 3 3B A direção da velocidade é a mesma da reta tangente à trajetória. Logo, podemos calcular o seu coeficiente angular derivando a equação da trajetória. y x2 9x 3 y' 2x 9 Como a velocidade da partícula é constante, a força magnética será máxima quando os vetores campo magnético e velocidade forem perpendiculares. Aplicando a condição de perpendicularidade temos: 1 m.m' 1 m' 1 m' 3 3 Substituindo na derivada temos: y ' 2x 9 3 2x 9 2x 6 x 3 Substituindo na equação da trajetória temos: y x2 9x 3 y 32 9.3 3 y 15 19 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 22 Letra: A Duas fontes puntiformes idênticas estão localizadas nos pontos A e B. As fontes emitem onde coerentes e em fase entre si. Se a distância d entre as fontes é igual a um múltiplo inteiro positivo N do comprimento de onda, o número de máximos de interferência que podem ser observados no eixo x à direita do ponto B é a) b) c) d) e) N–1 N 2N – 1 2N infinitos Solução: Sabendo que os máximos de interferência correspondem a uma diferença de percurso ótico múltiplo do comprimento de onda, temos coordenada N 2 em que se observa a N 2 x2 x m , onde x é o valor da m-ésima interferência construtiva. Logo, m 2mx . 2 O caso limite em que x 0 confere m N e, à medida que x tende a infinito, vemos que a equação acima só é satisfeita para valores de m bem próximos, mas nunca iguais, a zero. Logo, N m 0 e observamos assim, N 1 máximos de interferência. Questão 23 Letra: B Um varal de roupas é constituído por um fio de comprimento 10,0 m e massa 2,5 kg, suspenso nas extremidades por duas hastes uniformes de 200 N de peso, com articulação nas bases, inclinadas de 45° em relação às bases e de iguais comprimentos. Um vento forte 20 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 faz com que o fio vibre com pequena amplitude em seu quinto harmônico, sem alterar a posição das hastes. A frequência, em Hz, neste fio é Observação: a vibração no fio não provoca vibração nas hastes a) b) c) d) e) 3 5 10 20 80 Solução: Da condição de equilíbrio temos: l M 0 Mpeso Mtração P. 2 .cos 45 T.l.sen45 1 2 2 200. . T. T 100N 2 2 2 A velocidade de propagação da onda na corda é dada por: T T Tl 100.10 v v v v v 400 v 20 m s m m 2,5 l E as frequências dos harmônicos são dadas por: nv 5.20 fn fn fn 5Hz 2l 2.10 Questão 24 Letra: C A figura acima mostra um conjunto massa-mola conectado a uma roldana por meio de um cabo. Na extremidade do cabo há um recipiente na forma de um tronco de cone de 10 cm x 20 cm x 30 cm de dimensões (diâmetro da base superior x diâmetro da base inferior x altura) e com peso desprezível. O cabo é inextensível e também tem peso desprezível. Não há atrito entre o cabo e a roldana. No estado inicial, o carro encontra-se em uma posição tal 21 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 que o alongamento na mola é nulo e o cabo não se encontra tracionado. A partir de um instante, o recipiente começa a ser completado lentamente com um fluido com massa específica de 3000 kg/m3. Sabendo que o coeficiente de rigidez da mola é 3300 N/m e a aceleração da gravidade é 10 m/s2, o alongamento da mola no instante em que o recipiente se encontrar totalmente cheio, em cm, é igual a a) b) c) d) e) 0,5 1,5 5,0 10,0 15,0 Solução: Como o preenchimento do recipiente é lento, então a condição final de equilíbrio é dada por: mg Kx μVg Pfluido Felástica μVg Kx x m K μ V Calculando o volume do tronco de cone temos: r 5 cm; R 10 cm; h 30 cm 1 1 Vtronco V V ' Vtronco πR 2H πr 2h' 3 3 H h' h 2h' h' 30 h' 30 cm H 2h' semelhança 1 1 H 60 cm Vtronco π.102.60 π.52.30 Vtronco 2000π 250π 3 3 3 Vtronco 1750π cm Vtronco 1750π.106 m3 Vtronco 175π.105 m3 Calculando o alongamento temos: μVg 3000.175π.105.10 175π.103 x x x m K 3300 11 175π.103 175π.101 x .102 cm x cm x 5 cm 11 11 22 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 25 Letra: Anulada A figura acima mostra um sistema posicionado no vácuo formado por um recipiente contendo um gás ideal de massa molecular M e calor específico c em duas situações distintas. Esse recipiente é fechado por um êmbolo preso a uma mola de constante elástica k, ambos de massa desprezível. Inicialmente (Situação 1), o sistema encontra-se em uma temperatura T0, o êmbolo está a uma altura h0 em relação à base do recipiente e a mola comprimida de x0 em relação ao seu comprimento relaxado. Se uma quantidade de calor Q for fornecida ao gás (Situação 2), fazendo com que o êmbolo se desloque para uma altura h e a mola passe a estar comprimida de x, a grandeza que varia linearmente com Q é a) x + h b) x – h c) (x + h)2 d) (x – h)2 e) xh Solução: Temos: W 1 1 Kx 2 Kx02 2 2 1 K x 2 x02 2 U 1 U ncV T T T0 T ncV ncV U Q W U Q 1 2 2 Q 2 K x x0 Por outro lado: Kx P A V Ah PV Kxh P Kx0 V Ah P V Kx h 0 0 0 0 0 0 0 A 23 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino Temos então: PV PV P0V0 Kx0 h0 PV 0 0 T T0 T T0 T0 Q IME - 2014/2015 Kxh Kx0 h0 1 1 Q K x 2 x02 ncV 2 xh x0 h0 1 K x 2 x02 T0 ncV 2 x0 h0 T0 ncV 1 1 2 2 Q xh. Kx T0 ncV Kx0 x0 h0 2 2 b c a Além disso, da figura, temos Y. Q a.xh b.x2 c Q somente teria variação linear se Y fosse proporcional a Z, ou seja, se h fosse proporcional a x, o que não é verdade, já que W é constante. Questão 26 Letra: D A figura acima representa uma lâmina de espessura e densidade constantes na forma de um semicírculo de raio a. A lâmina está suspensa por um fio no ponto A e o seu centro de massa 4a está a uma distância de da reta que contém o segmento DB. Uma das metades da lâmina 3π é retirada após um corte feito ao longo do segmento AC. Para a metade que permanece suspensa pelo ponto A nessa nova situação de equilíbrio, a tangente do ângulo que a direção do segmento de reta AC passa a fazer com a vertical é 3 a) 4π 3 4π b) 3π 4 π c) π3 4 d) 3π 4 4 e) 4π 24 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: Pela simetria da figura, observamos que o centro de massa de cada um dos quadrantes se encontra em um ponto que as divide simetricamente. Conforme o dado inicial da distância, localizamos o centro de massa de cada uma, onde 4a 4a d 4 3 tg tg 3 tg tg 4a 3 a 4a ad 3 4 a 3 3 Questão 27 Letra: B A Figura 1 apresenta um sistema composto por um trilho fixo em U e uma barra móvel que se desloca na vertival com velocidade suspensa por um balão de massa desprezível. O trilho e a barra são condutores elétricos e parmenecem sempre em contato sem atrito. Este conjunto está em uma região sujeita a uma densidade de fluxo magnético B que forma com a horizontal uma ângulo θ, como ilustrado na Figura 2. Diante do exposto, o valor da corrente induzida no sistema, em ampères, no estado estacionário é: 25 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Dados: • • • • • • • massa da barra: 1 kg; aceleração da gravidade g: 10 m/s2; ângulo q entre a horizontal e o vetor B: 60º; massa específica do ar: 1,2 kg/m3; volume constante do balão: 0,5 m3; comprimento da barra entre os trilhos: 0,2 m; densidade de fluxo magnético B: 4 T. Observação: • despreze a massa do balão com o hélio e o atrito entre a barra e os trilhos. a) b) c) d) e) 5,7 10,0 23,0 30,0 40,0 Solução: Constatamos que há 3 forças atuando sobre a barra (o peso do balão é desprezível), sendo que estas a mantém em equilíbrio cinético. Ebalão Pbarra Fmagnética 0 arVbalão g mg Bil cos 0 Substituindo os dados do enunciado temos: 1,2.0,5.10 1.10 4.i.0,2.0,5 0 i 10,0 A Questão 28 Letra: Anulada Em um laboratório localizado em um planeta desconhecido, um grupo de pesquisadores observa o deslizamento de um bloco em um plano inclinado. Nota-se que o bloco parte do repouso e atinge o final da rampa em 10 segundos e com velocidade de 4 m/s. Neste mesmo ambiente, encontra-se instalado um manômetro do tipo “tubo em U” que tem por objetivo medir o diferencial de pressão entre dois reservatórios que se localizam em cada ponta do tubo. Sabe-se que o fluido manométrico é feito através da mistura da mesma quantidade em massa de dois óleos miscíveis distintos. Levando em conta os dados abaixo, pode-se afirmar que o coeficiente de atrito (dinâmico) entre o bloco e o plano inclinado na situação física descrita é: 26 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Dados: • • • • • altura máxima do plano em relação à horizontal: 6 m; comprimento da rampa: 10 m; diferença entre as pressões nos reservatórios: 0,18 kPa; cota de desnível do fluido manométrico: 30 cm; massas específicas dos óleos: 0,3 g/cm3, 0,9 g/cm3. Observação: • considere que a massa, em kg, da mistura dos óleos é igual a soma das massas, em kg, das massas de cada óleo. a) b) c) d) e) 0,25 0,45 0,50 0,70 0,75 Solução: Função horária da velocidade: v v0 at 4 0 a.10 10a 4 a 0,4m s2 Função horária da posição: at2 0, 4.102 S v0t S 0.10 S 20m 2 2 Isso contradiz o dado do enunciado de que o comprimento da rampa é 10m, portanto, a questão deve ser anulada. OBS.: Se considerarmos a rampa com 20m teremos, calculando g: mm PA hg PB e mist = 0, 45 m m 0,3 0,9 4 Portanto: 0, 45.103.0,3.g 180 g . 3 Pela conservação da energia: 4 m .42 4 m . .12 . m . .0,8.20 3 2 3 64 16 8 3 3 0,375 8 27 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 29 Letra: C A figura acima apresenta um circuito elétrico e um sistema de balança. O circuito é composto por uma Fonte em U, cinco resistores, um capacitor, um quadrado formado por um fio homogêneo, duas chaves e um eletroímã interligados por fios de resistência desprezível. O sistema de balança é composto por um bloco e um balde de massa desprezível que está sendo preenchido por água através de um dispositivo. Sabe-se que, imediatamente após o carregamento do capacitor, a chave Cha se abrirá e a chave Chb se fechará, fazendo com que o capacitor alimente o eletroímã, de modo que este acione um dispositivo que interromperá o fluxo de água para o balde. O valor do capacitor para que o sistema balde e bloco fique em equilíbrio e a energia dissipada no fio a partir do momento em que o capacitor esteja completamente carregado até o vigésimo segundo são, respectivamente Dados: • • • • • U = 100 V; resistência total do fio: 32 kΩ; fluxo de água: 200 ml/s; massa específica da água = 1 g/cm3; massa do bloco: 0,8 kg. Observações: • despreze a massa do balde; • considere o capacitor carregado em um tempo correspondente a cinco vezes a constante de tempo. a) b) c) d) e) 6 μF e 10 J 8 μF e 10 J 8 μF e 20 J 10 μF e 10 J 10 μF e 20 J 28 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: 25 10–3 A 4 16 10 25 VAB –8 103 10–3 100 VAB 50V 4 i = 100 3 ΔV 0,8 103 Δt 4s Δt 200 Curto na fonte: RAB 3 97 100kΩ Δt 5RC C 4 3 5 100 10 8 10–6 C 8,0μF 29 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Até o vigésimo segundo, temos: Δt1 20 4 16s 2 25 ε 2Ri 2Δt1 2 16 103 10–3 16 4 ε 20J Questão 30 Letra: A Um capacitor de placas paralelas carregado gera um campo elétrico constante em seu interior. Num instante inicial, uma partícula de massa m e carga +Q, localizada no interior do capacitor, é liberada com velocidade nula. Neste mesmo instante, o capacitor começa a girar com velocidade angular constante ω em torno do eixo z. Enquanto estiver no interior do capacitor e antes de colidir com uma das placas, a trajetória da carga será uma Observação: • desconsidere as ações dos campos magnético e gravitacional. a) b) c) d) e) superposição de um movimento circular uniforme com um movimento uniforme no eixo Y. superposição de um movimento circular uniforme com um movimento uniforme no eixo X. elipse, não se constituindo uma circunferência. circunferência. parábola. Solução: Da 2ª Lei de Newton temos: Fresultante ma Felétrica ma qE ma a q E m Do movimento da partícula temos q x '' .E.cos t m , onde as derivadas de 2ª ordem representam as acelerações nos eixos. q y '' .E.sen t m 30 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Integrando temos: q x '' .E.cos t m y '' q .E.sen t m qE x' .sen t C1 m , onde as derivadas representam as y ' qE cos t C 2 m x ' 0 0 velocidades no eixos. Aplicando as condições iniciais , temos que: y ' 0 0 qE x' .sen t m y ' qE cos t qE m m Integrando novamente temos: qE qE ' x m 2 .cos t C1 x ' m .sen t , que são as equações de y ' qE cos t qE y ' qE sen t qE t C ' 2 m m m m 2 movimento da partícula. Note que, para fins de identificação, podemos desprezar as constantes, pois as mesmas representam apenas o ponto no qual a partícula começa o movimento. Logo, qE x m 2 .cos t y ' qE sen t qE t m m 2 Agora, note também que: 2 2 q2E 2 qE qE .cos t . sen t x 2 y 2 R2 , o que dá um movimento m 2 m 2 2 4 m circular uniforme. Além disso, temos também que: qE y .t S S0 vt , o que dá um movimento retilíneo uniforme. m 31 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 31 Letra: D A eritromicina é uma substância antibacteriana do grupo dos macrolídeos muito utilizada no tratamento de diversas infecções. Dada a estrutura da eritromicina abaixo, assinale a alternativa que corresponde às funções orgânicas presentes. a) b) c) d) e) Álcool, nitrila, amida, ácido carboxílico. Álcool, cetona, éter, aldeído, amina. Amina, éter, éster, ácido carboxílico, álcool. Éter, éster, cetona, amina, álcool. Aldeído, éster, cetona, amida, éter. Solução: 32 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 32 Letra: E Um volume V1 de uma solução aquosa de HC 6 mol/L contém inicialmente uma massa m0 de íons Fe+3. São realizadas n extrações utilizando, em cada uma delas, o mesmo volume V2 de éter etílico, o qual é um solvente seletivo para FeC3. Sabendo que o coeficiente de partição do ferro entre o éter e a solução aquosa de HC vale K, qual das expressões abaixo é equivalente à massa de íons Fe+3 remanescente na fase aquosa ao final do processo? Suponha que a extração do soluto não altera o volume da solução de HC. 6KV1 a) m0 KV2 V1 n KV1 b) m0 V2 KV1 n 6KV1 c) m0 V2 V1 n V1 d) m0 V2 6KV1 V1 e) m0 KV2 V1 n n Solução: Seja n1 o número de mols de Fe+3 na solução aquosa e n’1 o número de mols de Fe+3 na solução de éter na primeira extração. n '1 / V2 k e n0 n1 n '1 n1 / V1 n0 n1 / V1 n1 / V1 V1 k n1 n0 kV2 V1 Seja ni o número de mols de Fe+3 na solução aquosa e n’i o número de mols de Fe+3 na solução de éter na i-ésima extração. n 'i / V2 k e ni 1 ni n 'i ni / V1 ni 1 ni / V1 ni / V1 V1 k ni ni 1 kV2 V1 Ou seja, o número de mols de Fe+3 V1 kV2 V1 na solução aquosa é uma PG de razão . V1 ni n0 kV2 V1 A expressão do termo geral da PG será: 33 www.sistemaeliterio.com.br i Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Como n=m/MM, teremos: V1 mn m0 kV2 V1 n Questão 33 Letra: Anulada Um pesquisador verificou, em uma determinada posição geográfica, por meio da análise de amostras de água do mar extraídas do local, que a massa específica média da água do mar era 1,05 g/mL, a concentração média de espécies dissolvidas era 0,80 mol/L e a temperatura média era de 290 K. O mesmo pesquisador, com o objetivo de colher água doce em seu estudo, planeja envolver, com uma membrana semipermeável ideal, uma das extremidades abertas de um longo tubo, a qual será imersa na água do mar. A que profundidade mínima, em metros, o tubo deveria ser imerso? a) 1930,0. b) 183,4. c) 73,7. d) 19,4. e) 9,7. Dados: Solução: Durante a inserção do tubo na altura h: Na base do tubo temos: Patm + Págua doce + ∏ = Patm + Págua salgada, onde ∏ = Pressão osmótica Então: ∏ = Págua salgada - Págua doce ∏ = dágua salgada.g.h - dágua doce.g.h ∏ = g.h(dágua salgada - dágua doce) M.R.T = g.h(dágua salgada - dágua doce) Considerando dágua doce = 1,00 g/mL: 0,8.103 . 8,3 . 290=10.h.(1,05 – 1,00).103 h =3667,8 m 34 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Observação: Se considerarmos o tubo vazio ao ser imerso até a profundidade h, teríamos a situação (absurda): ∏ = Págua salgada M.R.T = dágua salgada.g.h 0,8.103 . 8,3 . 290=1,05.103. 10.h h = 183,4 m Questão 34 Letra: C Considere os compostos abaixo enumerados. I. Acetona; II. Neopentano; III. Fluoreto de lítio; IV. Etanamida; V. Pentano. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, conforme a ordem crescente de ponto de ebulição. a) III, I, IV, II, V. b) V, II, I, IV, III. c) II, V, I, IV, III. d) II, V, IV, I, III. e) V, II, III, IV, I. Solução: I- IIIII- IVVII e V são alcanos isômeros e apolares. A cadeia mais ramificada é a de menor ponto de ebulição, por ser a de menor superfície de contato desses dois isômeros. IV é a mais polar que I por fazer ligações de hidrogênio, que a acetona não faz. III é a de mais alto ponto de ebulição e de fusão por ser um agregado iônico. 35 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Questão 35 Letra: B Dados os elementos abaixo, 35 17 40 ; 20 ; 107 47 marque a alternativa correta, considerando-se as condições de 1 atm e 25ºC. a) é encontrado livre na natureza na forma de gás monoatômico. b) combina-se com formando um composto solúvel em água. c) combina-se com formando um composto solúvel em água. d) combina-se com formando um composto gasoso. e) é um mau condutor de eletricidade. Solução: 2 2 6 2 6 2 20: 1s 2s 2p 3s 3p 4s é o metal alcalinoterroso cálcio. Nos compostos iônicos tem Nox = +2. e formam CaCl2, sal solúvel, porque os haletos são solúveis, exceto os de prata, chumbo e mercúrio Questão 36 Letra: D Uma certa reação química a pressão e temperatura constantes apresenta uma pequena variação da Energia Livre (G), de valor próximo de zero, uma variação positiva da entropia (S) e uma variação negativa da entalpia (H). Considerando-se apenas estes dados, podese afirmar que a reação a) é espontânea, a temperatura é aproximadamente igual a G/H e ela nunca atinge o equilíbrio. b) não é espontânea, a temperatura é aproximadamente igual a H/S e não há variação na composição do meio reacional. c) não é espontânea, a temperatura é aproximadamente igual a G/H e há uma pequena variação na composição do meio reacional. d) é espontânea, a temperatura é aproximadamente igual a H/S e há variação na composição do meio reacional. e) é espontânea, a temperatura é aproximadamente igual a G/H e o equilíbrio é atingido. Solução: Dados do problema: ΔS>0 Reação exotérmica: ΔH<0 ΔG próximo de zero. Análise de espontaneidade: Como ΔG = ΔH – T. ΔS, pelos sinais de ΔH e ΔS, ΔG < 0 : Processo espontâneo Como ΔG ≈ 0: ΔH – T. ΔS ≈ 0 T ≈ ΔH/ΔS ΔH ΔG Sendo ΔG = ΔH –TΔS, T . ΔS Portanto, ΔH – ΔG > 0, porque T >0, necessariamente. Como ΔH < 0 e ΔS > 0, essa condição só se cumpre se |ΔG| > |ΔH| e ΔG <0, embora próximo de zero. 36 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 No entanto, para T ΔH/ΔS (alternativa D), é preciso desprezar ΔG, o que é incoerente, porque não se desprezou ΔH, de valor menor que ΔG. Questão 37 Letra: E Um isótopo radioativo X transforma-se em um elemento estável Y após reações de desintegração radioativa com emissão de radiação , radiação negativa e radiação . Assinale a alternativa correta. a) A diferença entre os números de massa de X e de Y será igual à diferença entre o dobro do número de partículas emitidas e o número de partículas emitidas. b) A emissão da radiação altera o número atômico de X. c) A diferença entre os números atômicos de X e de Y será igual ao quádruplo do número de partículas emitidas. d) X e Y são isótonos. e) A diferença entre os números de nêutrons de X e de Y será igual à soma do dobro do número de partículas emitidas com o número de partículas emitidas. Solução: Considere as reações do decaimento: A 4 A4 Z X 2 α Z 2 B A4 Z 2 B 0 1 β ZA14 Y A 4 Z 1 Y 00γ ZA14 Y Seja n o número de nêutrons: nx A Z nY ( A 4) (Z 1) A Z 3 nx nY ( A Z ) ( A Z 3) 3 Houve uma emissão e uma . O dobro de emissão mais uma emissão é igual a 3 também. Questão 38 Letra: A Assinale a alternativa correta. a) A hidrólise total de um nucleotídeo resulta em uma base nitrogenada heterocíclica, um monossacarídeo e um íon fosfato. b) As bases nitrogenadas encontradas nos nucleotídeos do DNA são: adenina, uracila, citosina e guanina. c) Watson e Crick descobriram que o RNA possui uma estrutura de dupla hélice, estando as hélices ligadas entre si por ligações de hidrogênio entre pares de bases nitrogenadas. d) O pareamento de bases nitrogenadas em um ácido nucleico é específico: uma adenina se liga somente a outra adenina, uma citosina a outra citosina e assim por diante. e) A replicação do RNA é a responsável pela transmissão do código genético. 37 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Solução: a) Verdadeira: os nucleotídeos são formados por ácido fosfórico, monossacarídeo (desoxi-dribose) e bases nitrogenadas. As bases podem ser pirimidínicas e purínicas. Pirimidina Purina Esquema da reação de hidrólise: b) Falsa: A uracila só é encontrada no RNA; c) Falsa: A estrutura de dupla hélice se refere ao DNA; d) Falsa: Adenina se liga à timina, e citosina se liga à guanina; e) Falsa: DNA sofre replicação. Questão 39 Letra: A Considere as etapas sequenciais de mistura/filtração do processo não contínuo a seguir. No Misturador 1, antes da adição de 100 mL de uma solução aquosa de sulfato de amônio 20 g/L, encontram-se 100 mL de uma solução aquosa composta por massas iguais de nitrato de prata, nitrato cúprico e nitrato de chumbo (II), de concentração total 60 g/L. Ao Misturador 2, que contém o material passante do Filtro 1, adicionam-se 100 mL de uma solução aquosa de carbonato de sódio 40 g/L e uma pequena quantidade de uma solução de hidróxido de sódio objetivando o adequado ajuste do pH de precipitação para, em seguida, proceder a filtração. 38 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Sobre os produtos de filtração, pode se dizer que: a) o precipitado retido no Filtro 2 é uma mistura heterogênea. b) o precipitado retido no Filtro 1, conhecido como galena, é um sólido iônico resultante da reação: Pb(NO3)2(aq) + (NH4)2S(aq) PbS(s) + 2NH4NO3(aq) c) no misturador 2 observam-se os seguintes equilíbrios iônicos: 2Ag+(aq) + CO32−(aq) Ag2CO3(s) + 2− 2Cu (aq) + CO3 (aq) Cu2CO3(s) d) o chumbo no estado sólido pode ser obtido espontaneamente através do sólido retido no Filtro 1, conforme a reação comum às baterias de chumbo: 2PbSO4(s) + 2H2O(l) PbO2(s) + Pb(s) + 2SO42–(aq) + 4H+(aq) e) o precipitado retido no Filtro 2 é um sólido molecular, metaestável, com baixo ponto de fusão e com excelentes propriedades de condução térmica e elétrica. Solução: Misturador 1: Soluções de AgNO3(aq), Cu(NO3)2(aq) e Pb(NO3)2(aq). Com adição de (NH4)2SO4 ocorrerá a reação de precipitação: Pb+2(aq) + (NH4)2SO4(aq) 2NH4+(aq) + PbSO4(s) Misturador 2: Adição de Na2CO3(aq). Ocorrerão as seguintes reações de precipitação: 2Ag+(aq) + Na2CO3(aq) Ag2CO3(s) + 2Na+(aq) Cu+2(aq) + Na2CO3(aq) CuCO3(s) + 2Na+(aq) O material sólido retido no filtro 2 será constituído por Ag2CO3 (sólido esbranquiçado) e CuCO3 (sólido esverdeado), sendo uma mistura heterogênea. Questão 40 Letra: C Considere a rota sintética descrita na sequência abaixo, onde cada etapa ocorre em temperatura e pressão adequadas: 1ª Etapa: o composto A (C7H6O) sofre oxidação em solução básica de permanganato de potássio. O produto gerado, após neutralizado, é o ácido benzoico; 2ª Etapa: o ácido benzoico reage com etanol em solução ácida, produzindo o composto B e água; 3ª Etapa: o composto B sofre forte redução com hidreto de lítio-alumínio em éter, gerando dois produtos que, depois de neutralizados, formam então o composto C e o etanol. Considerando as etapas supracitadas, são feitas as seguintes afirmações: I) o composto A e o composto C são isômeros. II) o composto B é um éster. III) o composto B é o acetato de benzila. 39 www.sistemaeliterio.com.br Sistema ELITE de Ensino IME - 2014/2015 Com base na análise das afirmações acima, assinale a opção correta. a) Todas as afirmações são falsas. b) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) Existe apenas uma afirmação verdadeira. d) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras. Solução: 1ª etapa: A: Benzaldeído Ácido benzoico 2ª etapa: 3ª etapa: B: Benzoato de etila C: Ácido benzóico 40 www.sistemaeliterio.com.br