Resolução da Prova de Matemática Aplicada

1
As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.
Quando B = 100 e C = 24 tem-se A = 25 .
Qual será o valor de A quando tivermos B = 220 e C = 15 ?
Uma solução:
Temos, pelo enunciado, A = k
Então
B
AC
, onde k é uma constante. Assim,
=k .
C
B
A ⋅15 25 ⋅ 24
=
, ou seja, A = 88 .
220
100
1
2
A linha poligonal da figura a seguir foi desenhada no plano cartesiano, tem origem no ponto
A = ( 0 , 0 ) , cada um dos seus lados mede 1 e segue sempre o mesmo padrão.
1
A
1
O ponto B dessa poligonal é tal que o comprimento do pedaço AB da poligonal é igual a 2013.
Determine as coordenadas do ponto B.
Uma solução:
O padrão de repetição é
1
A
1 2
A poligonal de comprimento 4 termina no ponto (2, 0), pois há dois lados horizontais.
A poligonal de comprimento 2012 terminará no ponto (1006, 0).
O ponto B é atingido com mais um lado horizontal. Portanto, B = (1007, 0).
2
3
Uma praça retangular ABCD tem 300m de comprimento e 200m de largura, e está representada na
figura abaixo na escala 1:100. O ponto P do lado AB é tal que, quem caminha em linha reta de P até D
percorre uma distância igual à de quem caminha, sobre o contorno da praça, de P até C, passando
pelo ponto B.
D
C
3
2
A
P
B
Determine a distância percorrida, em metros, por quem caminha em linha reta de P até D.
Uma solução:
Seja AP = x . Então PB = 3 − x .
Como PD = PB + BC temos:
22 + x 2 = 3 − x + 2
4 + x2 = 5− x .
Elevando ao quadrado,
4 + x 2 = 25 − 10 x + x 2
x = 2,1.
Assim, PD = PB + BC = 3 − 2 ,1+ 2 = 2 ,9 .
Como a escala é de 1 para 100, a distância de P até D é de 290m.
3
4
Dois números reais são tais que sua soma é igual a 8, e a soma dos seus quadrados é igual a 42.
a) Calcule o produto desses números.
b) Calcule a diferença (o maior menos o menor) desses números.
Uma solução:
Sejam a e b os números procurados. Temos a + b = 8 e a2 + b2 = 42 .
a) Elevando ao quadrado a primeira relação temos:
( a + b )2 = 64
42 + 2ab = 64
2ab = 22
ab = 11 .
b) Por outro lado,
( a − b )2 = a2 + b2 − 2ab = 42 − 22 = 20
Portanto, a − b = 20 = 2 5 .
4
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Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de primeira
qualidade é anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende uma quantidade
n = 400 − 5 p quilogramas nesse dia ( 20 ≤ p ≤ 60 ).
No fim do dia, a quantidade de quilogramas vendidos é conhecida, e o gerente paga ao fornecedor a
quantia de 200 reais mais 10 reais por quilograma vendido.
a) Determine a quantia que o gerente arrecada, quanto paga ao fornecedor e qual é o seu lucro
quando anuncia o preço p = 32 reais por quilograma.
b) Determine o preço que o gerente deve anunciar para que seu lucro seja máximo.
Uma solução:
a)
Se p = 32 , então n = 400 − 5 p = 400 − 5 ⋅ 32 = 240.
A arrecadação: A = pn = 32 ⋅ 240 = 7680 reais.
O gerente paga: Q = 200 + 10n = 200 + 10 ⋅ 240 = 2600 reais.
Lucro: L = A − Q = 7680 − 2600 = 5080 reais.
b)
Arrecadação: A = pn = p( 400 − 5 p ) = 400 p − 5 p2 .
O gerente paga: Q = 200 + 10n = 200 + 10( 400 − 5 p ) = 4200 − 50 p .
Lucro: L = A − Q = 400 p − 5 p2 − ( 4200 − 50 p ) = −5 p 2 + 450 p − 4200 .
L = −5 p 2 + 450 p − 4200 .
O lucro é uma função quadrática de variável p, onde 20 ≤ p ≤ 60 .
450
= 45 reais.
2( −5 )
(Observe que esse valor pertence ao intervalo 20 ≤ p ≤ 60 ).
O lucro máximo é encontrado para p = −
5
6
Cristóvão Colombo iniciou a primeira viagem do descobrimento da América nas Ilhas Canárias
o
o
(longitude 15 W) e navegou diretamente para oeste, seguindo o paralelo 28 . Se não tivesse, nos
últimos dias, se desviado um pouco para o sul, teria descoberto a América no lugar que hoje se
o
chama Cabo Canaveral (longitude 80 W).
o
A figura abaixo mostra o equador da Terra, o paralelo 28 e o meridiano de Greenwich. As Ilhas
Canárias estão no ponto P, o Cabo Canaveral no ponto Q, e os arcos OA, AP e AQ medem,
o
o
o
respectivamente, 28 , 15 e 80 .
N
meridiano de
Greenwich
Q
P A
o
paralelo 28
equador
O
Trajetória
imaginária
de Colombo
S
Dados:
• sen28o = 0,47
cos28o = 0,88
• Comprimento do equador da Terra = 40.000km.
tan28o = 0,53
Determine o comprimento aproximado do percurso PQ da figura acima.
Uma solução:
Seja C o centro da Terra e C' o centro da circunferência do paralelo 28.
r
C'
A
28
o
R
28
o
C
O
o
O ângulo central OCA mede 28 .
o
As retas C'A e CO são paralelas. Logo, o ângulo C'AC mede também 28 .
Sendo R o raio da Terra e r o raio do paralelo 28, temos r = R cos 28 o = 0 ,88R .
O comprimento do equador é C 0 = 2πR = 40000 km.
6
O comprimento do paralelo 28 é:
C 28 = 2πr = 2π ⋅ 0 ,88R = 2πR ⋅ 0 ,88 = 40000 ⋅ 0 ,88 = 35200 km.
A diferença das longitudes dá a medida do arco PQ:
arc( AQ ) − arc( AP ) = 80 o − 15o = 65o .
O comprimento do arco PQ é igual a
65
⋅ 35200 ≅ 6356 km.
C PQ =
360
7
7
A sequência de números naturais que se vê a seguir foi construída de forma que cada número natural
n foi escrito n vezes:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6 …
o
Determine o 1000 termo dessa sequência.
Uma solução:
Quando o último número n é escrito, a quantidade de números que foram escritos é
( 1 + n )n
.
1+ 2 + L + n =
2
( 1+ n )n
45 ⋅ 44
46 ⋅ 45
< 1000 , o maior valor natural de n é 44, uma vez que
= 990 e
= 1035 .
2
2
2
o
o
o
Como o 990 número é o último 44, todos os números do 991 ao 1035 são iguais a 45.
o
Logo, o 1000 número escrito é 45.
Se
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8
O piso de um enorme salão foi coberto com pequenos ladrilhos hexagonais regulares brancos e
triangulares pretos. A figura a seguir mostra uma pequena parte do piso do salão.
Determine que porcentagem do piso do salão é preta.
Uma solução:
Considere o ladrilho formado por um hexágono e dois triângulos equiláteros construídos sobre lados
opostos:
Esse ladrilho cobre, sem superposição, o plano. Assim, a porcentagem da superfície desse ladrilho,
que é preta, é a mesma porcentagem do plano todo, que é preta.
O ladrilho acima á formado por oito triângulos equiláteros iguais, dos quais dois são pretos. Assim a
2 1
porcentagem do ladrilho que é preta é de = = 0 ,25 = 25% .
8 4
Como o piso do salão é muito grande em relação ao ladrilho, a porcentagem do piso do salão, que é
preta, é também de 25%.
Pode-se dizer também que a porcentagem do piso do salão, que é preta, é aproximadamente de
25%, porque o valor exato depende da forma do salão.
9
9
Antônio tem no bolso três balas de limão, três de tangerina e quatro de menta, todas com o mesmo
tamanho e aspecto. Retirando do bolso duas balas ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo
menos uma seja de menta?
Uma solução:
Numerando as balas como L1, L2, L3, T1, T2, T3, M1, M2, M3, M4, o número de maneiras de retirar ao
2
acaso duas delas é C10
= 45 . O número de maneiras de retirar duas balas, sendo nenhuma de menta,
é C 62 = 15 .
A probabilidade de que na retirada de duas balas nenhuma seja de menta é
1 2
A probabilidade de que pelo menos uma seja de menta é p = 1− = .
3 3
10
15 1
= .
45 3
10 Quando duas resistências elétricas de valores R1 e R2 são dispostas em paralelo (figura abaixo), o
R ⋅R
valor da resistência equivalente às duas primeiras é dado por R = 1 2 .
R1 + R2
R1
R
R2
Resistências em paralelo
Resistência equivalente
A figura a seguir mostra duas semirretas AX e BY perpendiculares à reta r. Na primeira foi marcado o
ponto A', de forma que AA′ = R1 , e na segunda foi marcado o ponto B', de forma que BB ′ = R2 . As retas A′B
e AB′ cortaram-se em P e foi traçado o segmento PP′ perpendicular a r.
X
Y
A'
B'
P
A
P'
r
B
Mostre que PP' é igual ao valor da resistência R.
Uma solução:
X
Sejam AP ′ = a e P ′B = b .
Da semelhança entre os triângulos AP ′P e ABB′
tem-se:
PP′
a
.
=
R2 a + b
Y
A'
R1
P
B'
R2
Da semelhança entre os triângulos BP ′P e BAA′
tem-se:
PP′
b
.
=
R1 a + b
A
11
a
P' b B
r
Somando membro a membro essas relações tem-se:
PP′ PP′
a
b
a+b
+
=
+
=
=1
R2
R1 a + b a + b a + b
PP ′( R1 + R2 ) = R1R2
PP ′ =
R1R2
=R .
R1 + R2
Fim da Prova de Matemática Aplicada
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