BIFURCA¸C˜AO E CAOS EM CIRCUITOS ELETRˆONICOS: SIMULA

BIFURCAÇÃO E CAOS EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS: SIMULAÇÃO E
EXPERIMENTO
Alı́pio Monteiro Barbosa∗, Samir Angelo Milani Martins†
∗
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627, 31270-901
Belo Horizonte, MG, Brasil
†
GCoM – Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica
Universidade Federal de São João del-Rei, Praça Frei Orlando 170 - Centro, 36307-352
São João del-Rei, Minas Gerais, Brasil
Emails: [email protected], [email protected]
Abstract— This paper presents numerical and experimental studies, evidence of bifurcation and chaos in
electronic systems by means of numerical and experimental analyzes. Bifurcation and chaos are observed in
electronic circuits as simple as a RLD (resistor-inductor-diode) circuit, an electronic system that emulates the
Duffing’s system and an electronic DC-DC Buck converter. For the DC-DC Buck converter, it was verified the
presence of chaotic behavior into the numerical and experimental analysis, equivalently.
Chaotic dynamics, chaos, bifurcation, electronic circuits, engineering applications.
Keywords—
Resumo— O presente artigo apresenta estudos numéricos e experimentais, evidências de bifurcação e caos
em sistemas eletrônicos, por meio de análises numéricas e experimentais. Bifurcação e caos são constatados em
circuitos eletrônicos muito simples, como um circuito RLD (Resistor-Indutor-Diodo), um sistema eletrônico que
emula o sistema de Duffing e um conversor eletrônico CC-CC Buck. Para o conversor CC-CC Buck, verificou-se a
presença de comportamento caótico por meio de análise numérica e experimental, sendo as mesmas equivalentes.
Palavras-chave—
1
Dinâmica caótica, caos, bifurcação, circuitos eletrônicos, aplicações em engenharia.
Introdução
Dinâmica não linear é o estudo do comportamento de sistemas cujas equações de evolução no
tempo são não lineares, ou seja, as variáveis dinâmicas que descrevem as propriedades do sistema
aparecem nas equações matemáticas que descrevem o sistema na forma não linear.
Há na literatura diferentes modelos, teóricos e
experimentais, para estudar e caracterizar o comportamento de sistemas dinâmicos não lineares.
Monteiro (2006) e Ferrara e Prada (1994) apresentam em seus livros uma série de exemplos com
ilustrações e detalhadas análises, além de um extensa lista de referências.
Uma classe de modelos que tem sido importante para o estudo de sistemas dinâmicos são os
circuitos eletrônicos. Os circuitos eletrônicos caóticos vêm se firmando como ambientes ideais para
a exploração experimental de alguns fenômenos
tı́picos da dinâmica não linear e caótica (Rocha
et al., 2005; Sprott, 2000).
Dois circuitos tradicionalmente explorados
são o circuito de Chua (Chua, 1994; Chua, 1987) e
o oscilador de Colpitts (Kennedy, 1994). Segundo
Turci (2005), são circuitos de “construção elaborada”. Diante desse contexto e do ponto de vista
prático-didático para ensino e estudo do comportamento caótico, espera-se poder trabalhar com
circuitos eletrônicos tão simples quanto possı́vel,
de modo que os mesmos apresentem caracterı́sticas de caos.
Neste trabalho estudou-se três tipos de circuitos eletrônicos, bem como sua implementação
por meio de experimentos de simulação e empı́ricos. Desse modo, caracterizou-se o comportamento caótico em sistemas eletrônicos simples, e
de fácil construção (para o caso empı́rico) e simulação.
Dentre os circuitos eletrônicos, utilizou-se um
circuito RLD, constituı́do de um indutor, um diodo, uma resistência e uma fonte senoidal (Hanias
et al., 2009), um circuito eletrônico analógico que
emula o comportamento dinâmico de sistemas fı́sicos e matemáticos, em particular o sistema de
Duffing (Battelli e Palmer, 1993), e, em especial,
um conversor eletrônico de potência CC-CC Buck.
Circuitos eletrônicos chaveados apresentam
uma dinâmica “rica”. Uma das caracterı́sticas
desses circuitos é a operação comutada entre diferentes topologias de circuitos, o que ocasiona
uma variedade de comportamentos não lineares, incluindo a ocorrência de cenários especı́ficos
de bifurcações e a presença de evolução caótica
(Turci, 2009). Há uma série de trabalhos preocupados em descrever o comportamento caótico
dos conversores (Giaouris et al., 2012; Taborda
et al., 2012; Tse, 1994b; Deane e Hamill, 1990).
Estes circuitos são fáceis de construir, exibem
uma variedade de comportamentos dinâmicos e
oferecem uma excelente oportunidade para uma
comparação detalhada com a teoria. Desse modo,
o principal objetivo do artigo é constatar fenômenos não lineares e comportamentos caóticos em
circuitos eletrônicos de simples construção, simulação e implementação, do ponto de vista numérico (por meio de simulações) e prático (conversor
CC-CC Buck ).
O presente artigo está organizado como segue:
a presente seção introduziu o tema a ser estudado,
bem como apresentou o presente trabalho. A seção 2 apresenta a descrição e configuração dos circuitos eletrônicos analisados de forma numérica
(circuito RLD e Duffing) e experimental (conversor CC-CC Buck ). A seção 3 apresenta os resultados obtidos pela análise numérica de simulações,
mostrando a presença de caos em circuitos eletrônicos muito simples. Após, na seção 4, são apresentados e discutidos os resultados experimentais
obtidos na implementação do conversor CC-CC
Buck. Por fim, são apresentadas as considerações
finais e agradecimentos.
2
Descrição e configuração dos circuitos
2.1
Circuito RLD
Considere um circuito constituı́do de um diodo (D), um indutor (L) e uma resistência (R),
excitado por um sinal senoidal (Vin ), como mostra
a Figura 1, sendo o diodo o elemento não linear do
circuito. Para tensões mais elevadas, a capacitância interna do diodo depende fortemente da tensão
sobre o elemento, deixando de ser constante.
A Equação 1 mostra o sistema de equações
diferenciais, construı́das a partir da análise das
tensões de Kirchhoff. A tensão no diodo é dado
pela expressão entre parênteses. Vd consiste em
um modelo de capacitâncias linear por partes com
uma pequena tensão de offset (EO ). Cj e Cd são,
respectivamente, capacitâncias de depleção e difusão do diodo. Detalhes da descrição do circuito
podem ser vistos em Turci (2009) e Hanias et al.
(2009). Nesse sistema, o parâmetro de bifurcação
é a amplitude do sinal de entrada.
2.2
Sistema de Duffing
O sistema forçado de Duffing representa um
sistema massa-mola não linear excitado por uma
força externa periódica. A equação de Duffing
descreve a resposta de uma série de fenômenos fı́sicos importantes, como destacado por Savi (2004).
A Figura 2 ilustra um circuito eletrônico capaz de
emular o oscilador.
A construção de um circuito analógico para
emular o sistema dinâmico requer basicamente um
elemento capaz de produzir a não linearidade cúbica, o que foi feito por meio de dois multiplicadores analógicos e dois integradores (um amplificador operacional com um capacitor na malha de
realimentação) para a obtenção das variáveis u e
v a partir das suas derivadas. A adaptação do
sistema original para a implementação analógica
requer um escalamento das variáveis, como cita
Rocha et al. (2005).
A Equação 2 mostra o sistema de Duffing
equivalente ao circuito apresentado, sendo a amplitude do sinal de entrada, Fo , o parâmetro de
bifurcação.
Figura 2: Circuito eletrônico baseado no sistema
forçado de Duffing (Rocha et al., 2005).
Figura 1: Circuito a diodo. Vd queda de tensão
no diodo D.
du
dt
dv
dt
2.3
dq
dt
dI
dt
=
=
−
dθ
dt
=
I
Vin sin(θ)
RI
−
(1)
L
L
(Cj − Cd )
(Cj + Cd )
1
|q|
+
+ EO
L
2Cj Cd
2Cj Cd
2πf
=
=
1
v
(2)
25
2
4
u3
64
2
− v+ u−[
]+
Fo cos( t)
25
25
100
125
25
Conversor CC–CC Buck
A Figura 3 mostra uma possı́vel topologia
para o conversor CC-CC Buck realimentado. Em
modo descontı́nuo a operação do conversor consiste em: i) chave fechada: o diodo fica inversamente polarizado e a corrente no indutor cresce.
O capacitor, o indutor e a carga recebem energia
da fonte; ii) chave aberta: a corrente no indutor
é mantida através do diodo (roda livre). O indutor descarrega auxiliando o capacitor a manter a
energia na carga; e iii) chave ainda aberta, o indutor é totalmente descarregado, o diodo bloqueia e
somente o capacitor mantém a tensão na carga.
O fato de operar em regime descontı́nuo, aliado ao circuito realimentado, propicia o aparecimento de comportamento caótico no conversor.
apresentou perı́odos 1, 2, 4 e caos. A rota para
o caos por duplicação de perı́odo é ilustrado pelo
diagrama de bifurcação na Figura 7.
Além da rota para o caos por duplicação de
perı́odo, pode-se verificar no sistema transições
abruptas para o comportamento caótico, ou ainda
o desaparecimento abrupto do mesmo.
Figura 4: Circuito RLD. Forma de onda temporal.
Perı́odos 1, 2, 4 e caos.
Figura 3:
Conversor
(Bernardo et al., 1998).
Buck
realimentado
O modelo dinâmico para o conversor é apresentado em (3). Quando a tensão de saı́da é menor que a tensão de referência a chave é fechada
(δ = 1) e quando a tensão de saı́da é maior que
a tensão de referência a chave é aberta (δ = 0)
(Bernardo et al., 1998; Tse, 1994a).
di
dt
dv
dt
1
δ(t)
= − v+
E
L
L
1
1
=
i−
v
C
RC
Figura 5: Circuito RLD. Perı́odos 1, 2, 4 e caos.
(3)
Tse (1994a) apresenta um desenvolvimento
detalhado para obtenção do mapa discreto para
o circuito do conversor Buck realimentado. O
mapa, para T = 333, 33µs, E = 33V , v = 25V ,
L = 208µH, C = 222µF e R = 12, 5Ω, é apresentado na Equação 4. k é uma constante relacionada ao ganho de realimentação, sendo h(dn ) é
zero para dn < 0, um para dn > 1 e dn para os
outros casos.
xn+1
=
dn
=
1, 2 · 33 · (33 − xn ) · h(dn )2
0, 8872xn +
xn
0, 4717 − k(xn − 25)
(4)
Figura 6: Circuito RLD. Mapa de Poincaré. Perı́odos 1, 2, 4 e caos.
3.2
3
3.1
Resultados de simulação
Circuito RLD
As Figuras 4 e 5 mostram, respectivamente, a
evolução temporal e o espaço de fase para quatro
valores do parâmetro de bifurcação Vo . Como fica
evidenciado no mapa de Poincaré (Figura 6), o
sistema, para os valores de Vo de 0,2; 2,5; 7,9 e 10
Sistema de Duffing
O sistema de Duffing foi simulado para quatro
valores de Fo (0,5; 0,74; 1,02; e 1,25), nos quais o
sistema apresentou perı́odo 1, 2, 3 e caos, respectivamente. As Figuras 8 e 9 mostram, respectivamente, a evolução temporal e os atratores para
tais casos. Esse sistema é muito sensı́vel aos valores de Fo , o que torna computacionalmente difı́cil traçar com precisão o diagrama de bifurcação.
Figura 7: Circuito RLD. Diagrama de bifurcação.
Vo parâmetro de controle.
Figura 11: Duffing. Diagrama de bifurcação. Fo
parâmetro de controle.
Contudo, por meio da Figura 10 é possı́vel visualizar algumas transições.
3.3
Conversor CC–CC Buck
A Figura 12 mostra o circuito implementado
no PSIM1 . O mesmo circuito foi implementado em
laboratório, como será apresentado na próxima seção.
Figura 8: Duffing.Forma de onda temporal. Perı́odos 1, 2, 3 e caos.
Figura 12: Circuito do conversor Buck. Circuito
prático utilizado tanto para simulação quanto
para a montagem experimental.
Figura 9: Duffing. Atratores. Perı́odos 1, 2, 3 e
caos.
a) Contı́nuo (ver Equação 3)
Realizou-se a simulação do conversor Buck
para duas situações: perı́odo 1 e regime caótico.
A Figura 13 ilustra os atratores e a evolução temporal para as duas situações.
b) Discreto (ver Equação 4)
Figura 10: Duffing. Mapa de Poincaré. Perı́odos
1, 2, 3 e caos.
O diagrama de bifurcação do conversor, mostrado na Figura 14 apresenta uma rota para o caos
por dobramento de perı́odo. O número de Feigenbaum (ver Equação 5), que foi proposto como uma
caracterı́stica universal de razões entre os valores
dos parâmetros de controle em cada uma das bifurcações na rota para o caos, é bem definido no
1 Software especı́fico para simulação de circuitos. Disponı́vel em http://www.powersimtech.com
respectivamente, a evolução temporal e os atratores para diferentes valores de tensão de entrada
(Vin ).
Figura 13: Conversor Buck. Atratores, corrente
no indutor (eixo x) e tensão de saı́da (eixo y) e
(abaixo) formas de onda temporal da corrente no
indutor. Perı́odo 1 e caos. Figura ampliada.
diagrama do conversor. Para os dados simulados
apresentou um valor aproximado de 4,2.
Figura 15: Diagrama em fotos da montagem do
circuito experimental para estudo do conversor
Buck.
Figura 14: Diagrama de bifurcação para o conversor Buck. Parâmetro de bifurcação k, constante
relacionado ao ganho de realimentação.
σlimn→∞
=
=
4
αn − αn−1
αn+1 − αn
0, 16 − 0, 18
= 4, 2
0, 17 − 0, 16
(5)
Figura 16: Forma de onda temporal da corrente
no indutor do conversor Buck. Perı́odos 1, 2, 4 e
caos.
Resultado experimental
Além de análise numérica, implementou-se o
conversor Buck também em laboratório2. Os comportamentos obtidos na teoria foram observados
experimentalmente. A Figura 15 apresenta a montagem do circuito, que consite em quatro módulos:
circuito de controle da chave (módulo PWM), driver de acionamento, conversor e a carga. A tensão
de saı́da é constantemente corrigida, por meio de
ajustes no ciclo de trabalho, para manter o valor
de referência.
O fato do circuito ser chaveado, não linear
e realimentado são condições que permitem que
o sistema apresente caos. Essa afirmativa é ilustrada por meio das Figuras 16 e 17, que mostram,
2 Utilizou-se a plataforma de testes, isolada, desenvolvida por Santos Filho et al. (2003).
5
Conclusões
Neste trabalho estudou-se três possibilidade
de circuitos eletrônicos que podem apresentar
comportamento caótico. Tais circuitos são de
construção simples e apresentam comportamentos
valiosos para o estudo e ensino de sistemas dinâmicos não lineares.
Ademais, constatou-se que os resultados teóricos, para o conversor CC-CC Buck se aproximam bastante dos práticos, onde também foi constatado comportamento caótico, apresentando cenários de bifurcações e rota para o caos, mostrando que mesmo circuitos eletrônicos relativamente simples podem apresentar dinâmica altamente não-linear.
PEM fuel cell fed DC-DC boost converter,
International Journal of Hydrogen Energy
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Kennedy, M. P. (1994). Chaos in the Colpitts oscillator, IEEETransactions on Circuits and
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Figura 17: Atrator, corrente no indutor (eixo x) e
tensão de saı́da (eixo y). Conversor Buck. Perı́odos 1, 2, 4 e caos.
Agradecimentos
Agradecimentos ao CNPq e à agência de fomento CAPES – Brasil, pelo apoio financeiro para
realização do presente trabalho. Ao CEFET-MG,
que disponibilizou os laboratórios para ensaio e
testes experimentais.
Referências
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