Cap 7 - Unesp

ELETROMAGNETISMO I
53
MATERIAIS DIELÉTRICOS E
RELAÇÕES DE FRONTEIRA NO
CAMPO ELÉTRICO
7
De acordo com a teoria atômica clássica, os átomos são constituídos de um núcleo central formado
basicamente por prótons e nêutrons, orbitados por elétrons carregados negativamente, exprimindo a
idéia de um modelo planetário. À medida que se fornece energia a um elétron, este passa para uma
órbita mais afastada. Em alguns materiais, o elétron ou elétrons localizados na órbita externa
encontram-se fracamente ligados ao átomo, podendo migrar com facilidade de um átomo para outro,
mediante a aplicação de um campo elétrico, mesmo de pequena intensidade. Estes elétrons
recebem o nome de cargas verdadeiras. Materiais constituídos por estes átomos, que possuem
este tipo de comportamento, recebem o nome de condutores.
Em outro extremo, outros materiais possuem seus átomos com os elétrons vinculados ao núcleo de
tal maneira que não podem ser libertados pela aplicação de campos elétricos de pequena
intensidade. Estes materiais recebem o nome de dielétricos ou isolantes. Entretanto, quando um
dielétrico é submetido a um campo elétrico, ocorre uma polarização, ou seja, um deslocamento do
elétron em relação à sua posição de equilíbrio. Ocorre então a formação de cargas ligadas ao
material isolante que recebem o nome de cargas de polarização.
Na classificação dos materiais quanto ao comportamento elétrico, outro grupo apresenta um
comportamento intermediário entre os condutores e os isolantes. São os chamados semicondutores.
Sob certas condições podem agir como isolantes, mas com a aplicação de luz, de calor ou de um
gradiente de potenciais (campo elétrico), eles podem vir a se comportar também como condutores.
As três ilustrações na figura 7.1 nos dão uma idéia qualitativa dos níveis de energia existentes nos
átomos ou moléculas em cada tipo de material. Na figura 7.1a existe um pequeno espaço vazio
(barreira de energia) entre as bandas de condução e de valência. Esse é o caso dos materiais
condutores, onde o elétron de uma banda de valência passa facilmente para a banda de condução
vazia, mesmo que receba uma pequena quantidade de energia. Na figura 7.1b o espaço vazio já é
grande e dificilmente o elétron passará de uma banda para outra. Na figura 7.1c, o espaço vazio é
intermediário entre os dois casos, e o material pode se comportar ou como um condutor, ou como
um isolante, dependendo das circunstâncias, sendo classificado por isso com um semicondutor.
Banda
Condutora
Vazia
Banda
Condutora
Vazia
Banda
Condutora
Vazia
Espaço de Energia
Proibida
Banda de
Valência
Preenchida
a
Banda de
Valência
Preenchida
Banda de
Valência
Preenchida
b
c
Figura 7.1 Níveis de energia em condutores, isolantes e semicondutores.
A mobilidade das cargas é uma função da temperatura e o seu aumento apresenta conseqüências
diferentes, no comportamento dos materiais condutores, isolantes e semicondutores.
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ELETROMAGNETISMO I
54
Em um condutor metálico, por exemplo, o movimento vibratório aumenta com o aumento da
temperatura. Conseqüentemente, há uma diminuição na velocidade (média) de deriva ou de arraste,
devido ao aumento das colisões desordenadas entre as cargas no interior do material.
Nos materiais isolantes e semicondutores, o aumento da temperatura com o aumento do movimento
vibratório contribui com o aumento da mobilidade interna das partículas, em função do campo
elétrico aplicado.
7.1- A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Ao contrário dos materiais condutores, os dielétricos podem armazenar energia em seu interior. Isso
é possível porque ao se aplicar um campo elétrico externo em um dielétrico não ocorre a
movimentação de cargas livres, mas um deslocamento relativo nas posições das cargas negativas
(elétrons) e positivas, dando origem às cargas polarizadas. Esse armazenamento de energia
potencial ocorre contra as forças moleculares e atômicas.
O mecanismo real de deslocamento varia conforme o tipo de dielétrico. Alguns tipos de dielétricos
são constituídos por moléculas ditas polarizadas (por exemplo, a água), que possuem naturalmente
um deslocamento permanente entre os centros geométricos das cargas positiva e negativa. Cada
par de cargas opostas age como um dipolo; Uma carga positiva e outra negativa, separadas por uma
distância d. Normalmente esses dipolos encontram-se dispostos aleatoriamente no interior do
material e se alinham na direção de um campo elétrico externamente aplicado (figura. 7.2).
Em outros tipos de materiais, constituídos por moléculas não polares, este arranjo em dipolos não
existe em condições naturais, não sendo possível identificar os centros de cargas nas suas
moléculas. Somente com a aplicação de um campo elétrico é que as cargas positivas e negativas se
deslocam buscando um alinhamento na direção das linhas de força do campo (figura. 7.3), em uma
formação dipolar orientada.
-
+
+
+
-
-
-
E=0
+
-
+
+
-
+
+
E
Figura 7.2 Moléculas polarizadas (dipolos).
+
+-
+-
E= 0
-+
- +
- +
- +
- +
E
Figura 7.3 Moléculas não polarizadas.
É interessante observar que as moléculas polares já constituem dipolos mesmo sem a aplicação de
um campo elétrico, só que desorientadas. Já as moléculas não polares só constituem dipolos
orientados enquanto durar a ação do campo elétrico aplicado. No entanto, qualquer tipo de dipolo é
r
descrito pelo seu momento de dipolo p , dado por:
r r
p = Qd
(C.m)
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(7.1)
ELETROMAGNETISMO I
55
r
onde Q é a carga positiva, e d a distância vetorial orientada da carga negativa –Q para a carga
positiva +Q.
Se existem n dipolos por unidade de volume e consideramos um volume incremental ∆v, nele existem
r
n∆v dipolos. O momento total de dipolo p total é dado então pela soma vetorial:
n∆v
r
r
p total = ∑ p i (C.m)
(7.2)
i =1
r
Definindo agora o vetor polarização P como sendo o momento de dipolo total dividido por um volume
que tende a zero, podemos escrever que:
r
1 n∆v r
P = lim ∆v→0
∑ p i (C / m 2 )
∆v i
(7.3)
r
A grandeza P , expressa em coulombs por metro quadrado no Sistema Internacional de Medidas, é
tratada como um campo contínuo, embora pareça evidente não estar definida dentro de átomos ou
moléculas. A equação (7.3) nos mostra que a polarização deve ser encarada como um valor médio
em qualquer ponto sobre a amostra de volume ∆v – grande o suficiente para conter as n ∆v
moléculas, mas ainda suficientemente pequena para que seja um volume incremental.
Generalizando, vamos supor agora um dielétrico contendo moléculas inicialmente não polarizadas.
r
Portanto, a polarização P = 0 em todo o volume do material. Selecionemos então um elemento de
superfície ∆S no interior do dielétrico. Aplicando um campo elétrico sobre o dielétrico as moléculas
terão os seus centros de cargas positivas e negativas separadas e se polarizarão. Haverá, portanto
um movimento de cargas de polarização através de ∆S. O campo elétrico produzirá um momento de
dipolo em cada molécula onde:
r
r
p =Qd (C.m)
(7.4)
r
r
r
de modo que p e d formarão um ângulo θ com o vetor ∆S , normal ao elemento de superfície
considerado (figura 7.4).
+
+
∆S
+
+
+
+
θ
+
+
d
-
-
-
-
d cosθ
-
-
Figura 7.4 Movimento de cargas através da superfície elementar ∆S.
r
Admitindo a direção do campo elétrico definida por d , cada molécula cujo centro está no interior do
volume (1 2 ) d cos θ ∆S abaixo da superfície incremental contribui para o movimento de uma carga Q
através de ∆S para cima. De modo análogo, cada molécula cujo centro está no interior do volume
(1 2) d cos θ ∆S acima desta superfície incremental contribui para o movimento de uma carga – Q
através de ∆S para baixo.
Como há n moléculas/m3, a carga líquida total que atravessa a superfície ∆S é n Q d cos θ ∆S , ou:
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56
r r
∆Q p = n Q d ⋅ ∆S (C)
(7.5)
r r
∆Q p = P ⋅ ∆S ( C )
(7.6)
ou ainda pela formação dos n dipolos:
r
Considere agora uma superfície fechada elementar ∆S , com o seu sentido positivo sempre dirigido
para fora da superfície. O acréscimo líquido nas cargas de polarização no interior da superfície
fechada é expresso algebricamente por:
r r
Q p = − ∫ P ⋅ dS (C)
(7.7)
S
O sinal negativo antes da integral é devido ao fato de que a natureza das cargas que entram ou
permanecem no interior da superfície é de sinal contrário ao das cargas que saem. Em outras
palavras, este sinal negativo indica um acréscimo de cargas positivas ou um decréscimo de cargas
negativas no interior da superfície fechada.
Considerando então esta carga total como resultado de uma distribuição volumétrica com densidade
ρP, podemos escrever que:
Q p = ∫ ρ p dv (C)
(7.8)
vol
Assim, igualando esta expressão com a da equação (7.7) vem:
∫vol
r r
ρ p dv = − ∫ P ⋅ dS
(7.9)
s
Aplicando o teorema da divergência no lado direito da expressão acima, ela ficará:
r
∫vol ρ p dv = − ∫vol (∇ ⋅ P) dv
(7.10)
Ou ainda, no mesmo domínio de integração:
r
∇ ⋅ P = − ρ p (C / m 3 )
(7.11)
Salientamos que essa equação também é válida para dielétricos polares.
r
Vamos agora encontrar uma relação entre o vetor densidade de fluxo elétrico D e o vetor
r
polarização P . Primeiramente vamos escrever a Lei de Gauss na forma pontual, mesmo na presença
de dielétricos, como:
r
∇ ⋅ ε 0 E = ρ t (C / m 3 )
(7.12)
r
r
onde ρt é a densidade volumétrica total de cargas. O vetor D foi substituído por ε 0 E porque uma
vez consideradas todas as cargas (livres e de polarização), tudo se passa como se o dielétrico não
existisse. de polarização. Assim, em termos de densidade volumétrica temos:
ρ t = ρ + ρ p (C / m 3 )
(7.13)
r
∇ ⋅ ε 0 E = ρ + ρ p (C / m 3 )
(7.14)
Então por (7.12) e (7.13):
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ELETROMAGNETISMO I
57
que por (7.11) fornece:
r
r
∇ ⋅ ε 0 E =ρ −∇ ⋅ P
(7.15)
r r
∇ ⋅ ( ε 0 E + P ) = ρ (C / m 3 )
(7.16)
ou:
Como era de se esperar, a expressão acima exprime a densidade volumétrica ρ das cargas livres.
r
Podemos agora redefinir o vetor densidade de fluxo elétrico D em qualquer meio material como
sendo:
r
r r
D = ε 0 E + P (C / m 2 )
A presença de dielétricos é, portanto, levada em conta através do vetor polarização
(7.17)
r
P.
r
r
Como já foi mostrado, o vetor polarização P resultou da aplicação de um campo elétrico E que
gerou o deslocamento e a separação das cargas positivas das negativas. Podemos perceber também
r
r
que a relação existente entre P e E dependerá do tipo de material. Vamos limitar nossos estudos a
r
r
r
r
materiais isotrópicos, permitindo uma relação linear entre P e E . Nesse caso, P e E são paralelos,
embora não necessariamente no mesmo sentido.
r
r
Admitindo a linearidade entre P e E , podemos escrever:
r
r
P = χ e ε 0 E (C / m 2 )
(7.18)
onde χe é a susceptibilidade elétrica do material.
r
Substituindo o valor de P na relação fundamental de (7.17) temos:
r
r
D = ε 0 (1 + χ e )E
(7.19)
Assim, para qualquer meio, podemos estabelecer que:
r r
r
D = εE = ε 0 ε r E (C / m 2 )
(7.20)
De um modo geral, definimos aqui a permissividade elétrica ε do meio. Logo εr será a permissividade
relativa, ou a constante dielétrica do material (em relação ao vácuo), em que:
εr = 1 + χe
(7.21)
Para que uma coerência seja mantida, no espaço livre (vácuo) a permissividade relativa será unitária
e como conseqüência a susceptibilidade elétrica será nula. O valor de χ e em (7.21) substituído em
r
r
(7.18) estabelece a seguinte relação entre P e E empregada em aplicações de engenharia:
r
r
P = (ε r −1) ε 0 E (C / m 2 )
(7.22)
Finalmente, a Lei de Gauss continua válida, seja na forma pontual, seja na forma integral, mesmo na
presença de dielétricos. Logo:
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r
∇ ⋅ D = ρ (C / m 2 )
(7.23)
r r
D
∫ ⋅ dS = Q ( C )
(7.24)
e
A inclusão do vetor Polarização facilita por demais as coisas. Sem ele, teríamos que admitir o campo
elétrico resultante devido aos inúmeros vazios microscópicos presentes em um meio material.
Chamamos apenas a atenção que na consideração do campo no interior do meio material, suposto
sem vazios, levamos em conta apenas a presença das cargas livres
7.2 - CONDIÇÕES DE FRONTEIRA PARA OS MATERIAIS DIELÉTRICOS
Passemos agora ao estudo das relações entre os campos elétricos e as correspondentes densidades
de fluxo na interface que delimita dois meios dielétricos distintos. Por razões didáticas, vamos
analisar separadamente cada componente tangencial e normal destes vetores. Considere então a
princípio, uma fronteira entre dois meios dielétricos, e um caminho fechado e orientado abcda,
conforme mostra a figura 7.5 a seguir.
∆w
a
b
Etan1
∆h
Meio 1
Etan2
d
Meio 2
c
Figura 7.5 Campo elétrico tangencial na fronteira entre dois meios dielétricos 1 e 2.
A integral de linha do vetor intensidade de campo elétrico ao longo desse caminho fornece a
diferença de potencial, que obviamente resulta nula num caminho (malha) fechado. Considerando
ainda os trechos bc e da muito próximos (da interface entre os meios 1 e 2) e tendendo a zero,
teremos então que:
r
r
∫ E ⋅ dL = E t1.∆w −E t 2 .∆w = 0
(7.25)
A separação desta integral por caminho fechado resulta nula nos trechos bc e da em virtude da
hipótese assumida na fronteira. Nos demais trechos, ou seja, em ab e cd de mesmo comprimento, os
produtos escalares fornecem os valores Et1 ∆w e – Et2 ∆w . Daí:
E t1 = E t 2
(7.26)
r
Ou seja, a componente tangencial do vetor campo elétrico E se mantém contínua nos dois meios
dielétricos.
Podemos concluir que a diferença de potencial entre dois pontos na fronteira, separados por uma
distância ∆w é a mesma tanto num dielétrico como no outro.
r
Logo para as componentes tangenciais do vetor D , admitindo a relação constitutiva mostrada na
equação (7.20), teremos:
D t1 D t 2
=
ε1 ε 2
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(7.27)
ELETROMAGNETISMO I
59
ou ainda :
D t 1 ε1
=
Dt2 ε2
(7.28)
r
Portanto, as componentes tangenciais do vetor densidade de fluxo elétrico D não são contínuas na
fronteira entre dois dielétricos. Encontram-se na relação direta entre as permissividades elétricas dos
seus meios.
r
r
Vamos agora determinar as relações entre as componentes normais dos vetores E e D nesta
mesma interface. Considere uma superfície gaussiana elementar, constituída de um cilindro de base
∆S e altura muito pequena ∆h, disposto na fronteira entre os dois meios 1 e 2, conforme a figura 7.6.
∆S
Dn1
∆h
Meio 1
Meio 2
Dn2
Figura 7.6 Densidade de fluxo normal na fronteira entre dois meio dielétricos 1 e 2.
A aplicação da Lei de Gauss faz com que:
r r
D
∫ ⋅ dS = Q
(7.29)
r
Lembrando que o vetor elementar dS tem sempre a orientação da normal externa em cada ponto da
superfície fechada, obtemos como resultado:
D n1 ∆S − D n 2 ∆S = ρ s ∆S
(7.30)
Conforme já foi visto, ρ s representa a densidade superficial das cargas livres, presentes na interface
entre os dielétricos. Nestes materiais isolantes, as cargas livres só poderão existir se forem
propositadamente ali colocadas. Assim sendo, podemos considerar ρ s = 0 e:
D n1 = D n 2
(7.31)
r
Ou seja, a componente normal do vetor D permanece imutável nos dois meios dielétricos, admitindo
a ausência de cargas livres na superfície de interface.
r
Empregando, da mesma forma, a equação (7.20), para a componente normal do vetor E teremos:
ε1E n1 = ε 2 E n 2
(7.32)
E n1 ε 2
=
E n 2 ε1
(7.33)
ou:
Portanto, as componentes normais dos vetores intensidade de campo elétrico são descontínuas e
encontram-se numa relação inversa entre as permissividades elétricas dos seus meios.
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60
Exemplo 7.1
Seja uma placa de teflon na região do espaço definida por 0 ≤ x ≤ a m presente no espaço livre, onde
x > a e x < 0 m. A constante dielétrica do teflon é εr = 2,1 e a sua susceptibilidade elétrica é χ e = 1,1.
r
Fora do teflon, no espaço livre, existe um campo elétrico E ext = E 0 .â x e como não há material
r
r
r
r
dielétrico nessa região, P = 0. Estabeleça a relação entre Dint , E int e Pint .
Solução
εr = 2,1
Teflon
E0
E0
D0
D0
P=0
P=0
0
a
x
r
r
A relação entre o vetor D e o vetor E no interior
do teflon é:
r
r
D = ε E (C / m 2 )
onde
Fig. 7.7 - Placa de teflon
r
r
D int = D ext = ε 0 E 0 .â x (C / m 2 )
r
Então, para o campo elétrico E int :
r
r
Dint
E int =
ε
r
r
D int = ε r ε 0 E int
r
1
E int =
ε 0 E 0 .â x (V / m)
εr ε0
r
r
D int = 2,1ε 0 E int
r
O vetor polarização P é dado por:
r
1
E int = E 0 .a x = 0,476 E 0 .â x (V / m)
εr
r
r
P = χ e ε 0 E (C / m 2 )
r
Para o vetor P :
ou:
r
Pint =1,1ε 0 . 0,476 E 0 .â x (C / m 2 )
r
r
Pint = 1,1ε 0 E int
r
Pint = 0,524 ε 0 E 0 .â x (C / m 2 )
r
A continuidade da componente normal de D na
fronteira nos permite escrever:
Pelos resultados obtidos, podemos notar que a densidade de fluxo, independe do meio e corresponde
ao efeito do campo elétrico no isolante adicionado à polarização do mesmo. Este exemplo nos mostra
v r
ainda que os vetores E e D não sofrem desvio ao atravessarem dois meios, quando a incidência
deles se dá normalmente na interface, embora o campo elétrico apresente intensidades distintas em
cada meio. Trata-se de um fenômeno explicado pela refração ondulatória.
v
r
No entanto, se qualquer destes vetores E ou D , provenientes de um dado meio, vir a incidir
obliquamente na interface com outro meio, observaremos então um desvio nas linhas de campo,
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ELETROMAGNETISMO I
61
verificado pelas resultantes dos vetores intensidade de campo elétrico e densidade de fluxo elétrico.
r
r
Vamos então, encontrar as relações entre as direções de E e D em dois materiais dielétricos.
r
r
Sejam α1 e α2 os ângulos que os respectivos vetores D1 e D 2 formam com a superfície tangente à
interface no ponto de contato ou de incidência. De (7.31) sabemos que as componentes normais do
r
vetor D são contínuas. Assim, de acordo com o ilustrado na figura 7.8, podemos escrever que:
D 2 senα 2 = D1 senα1
(7.34)
Segundo a expressão (7.28), a razão entre as componentes tangenciais encontra-se na razão direta
das permissividades dos seus meios. Logo:
D1 cos α1 ε1
=
D 2 cos α 2 ε 2
D1
Dn1
D2
α2
α1
Dtan1
Dn2
Dtan2
Dtan2
Figura 7.8 Mudança na direção do campo, na fronteira entre 2 dielétricos.
Rearranjando vem:
D 2 cos α 2 =
ε2
D1 cos α1
ε1
(7.35)
Dividindo (7.34) por (7.35) teremos a relação entre os ângulos definidos α1 e α2 onde:
tgα 2 =
ε1
tgα1
ε2
(7.36)
Como a magnitude da densidade de fluxo na região 2 é
2
2
D2 = Dn 2 + Dt 2
r
esta pode ser expressa em função da magnitude de D na região 1. Desta forma:
⎛ε
D 2 = D1 sen 2 α 1 +⎜⎜ 2
⎝ ε1
2
⎞
⎟⎟ cos 2 α 1
⎠
(7.37)
r
Por um raciocínio análogo, fica fácil verificar agora que a magnitude de E 2 será dada em função de
E1 pela expressão:
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ELETROMAGNETISMO I
E 2 = E1
⎛ε
cos α 1 + ⎜⎜ 1
⎝ ε2
2
62
2
⎞
⎟⎟ sen 2 α1
⎠
(7.38)
r
Por essas expressões, podemos perceber que D é maior na região de maior permissividade, (a não
r
ser quando α1 = 90 graus e o vetor é normal à interface, não variando), e E é maior na região de
menor permissividade (a não ser quando α1 = 0 e o vetor é tangencial à interface, com sua
magnitude invariante).
Exemplo 7.2
A região x > 0 m
r
E 2 = 20. a$ x + 30. a$ y
r
r
(a) D 2 , (b) D1 , (c)
contém
− 40. a$ z
r
E1 , (d)
um dielétrico para o qual εr1 = 3, e na região x < 0 m εr2 = 5. Se
V / m , encontre:
r
P1 .
Solução
z
x < 0
x > 0
y
E2
x
Fig. 7.9- figura do exemplo 8.2
Pelas condições do problema vemos que a interface entre os dois meios se dá no plano x = 0, isto é,
no plano yz. Fica fácil ver então que as componentes normais dos vetores da densidade de fluxo e do
campo elétrico estarão alinhadas na direção x.
a)
r
r
r
D 2 = εE 2 = ε r 2 ε 0 E 2 =5ε 0 (20.â x +30.â y − 40.â z ) (C / m 2 )
r
D 2 = ε 0 (100.â x + 150.â y − 200.â z ) (C / m 2 )
123 1442443
n
t
A componente normal e a tangencial ficam perfeitamente identificadas, segundo as condições
propostas pelo problema.
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63
r
D1 = ε 0 (100.â x + 90.â y −120.â z ) (C / m 2 )
b)
Das condições de contorno em x = 0:
c)
r
r
D n1 = D n 2 =100ε 0 â x (C / m 2 )
r
r
E t1 = E t 2
r
r
r
D1
D1
E1 =
=
ε1
ε r1ε 0
r
r
D t1 D t 2
⇒
=
ε1 ε 2
r
1
E 1 = (100. a$ x + 90. a$ y − 120. a$ z )
3
r
3r
D t1 = D t 2
5
( V / m)
d)
r
r r
r
r r
D = ε0E + P ⇒ εrε0E = ε0E + P
r
D t 2 = ε 0 150.â y − 200.â z (C / m 2 )
(
( V / m)
)
r
r
P1 = ( ε r1 − 1) ε 0 E1
r
3ε
D t1 = 0 (150.â y − 200.â z ) (C / m 2 )
5
( C / m2 )
r
100
P1 = 2ε 0 (
. a$ x + 30. a$ y − 40. a$ z )
3
(C / m 2 )
Este exemplo nos mostra que em módulo D1 = 180,28 ε0 C/m2, E1 = 60,09 V/m, D2 = 269,26 ε0 C/m2 e
E2 = 53,85 V/m. Neste caso podemos então observar que como εr1 < εr2 então D1 < D2 e E1 > E2.
7.3 - RELAÇÕES DE FRONTEIRA ENTRE UM DIELÉTRICO E UM CONDUTOR
Conforme vimos no capítulo 6, As cargas elétricas não ficam acumuladas no interior de materiais
condutores, que pela repulsão natural entre elas, migram todas para a superfície do material.
Portanto, o campo elétrico no interior de condutores é nulo. Desta forma, o campo elétrico em uma
interface entre um condutor e um dielétrico só existirá na região do dielétrico e deverá ser normal à
interface. Isto é verdade, pois caso existissem componentes tangenciais para o campo elétrico,
nestas condições, elas deveriam ser continuas e teríamos uma diferença de potencial que se faria
presente na superfície condutora. Portanto:
E t1 = E t 2 = 0
(7.39)
D t1 = D t 2 = 0
(7.40)
e:
Para as componentes normais, a lei de Gauss mostra que o fluxo total por uma superfície elementar e
fechada, resulta na carga disposta pela superfície da interface condutora. Assim,
r
r
∫ D ⋅ dS = D n
∆S = ρ s ∆S
(7.41)
o que resulta:
D n = ρ s (C / m 2 )
(7.42)
O campo elétrico no dielétrico e próximo à interface de separação pode ser obtido pela aplicação da
relação constitutiva básica (7.20). Daí:
En =
ρs
( V / m)
ε
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(7.43)
ELETROMAGNETISMO I
64
EXERCÍCIOS
1) O campo elétrico em um certo ponto no interior de um vidro temperado Pyrex® é dado por
r
E = −50â x + 220â y − 85â z (V / m) . Localize os valores de εR e χe e em seguida determine a
r
r
polarização P e o deslocamento D em questão.
r
2) Encontre a polarização P num material dielétrico com constante dielétrica εR = 1,8 dado o
r
deslocamento D = 4,0 x10 −7 â (C/m2).
r
3) Determine o valor de E num material que tem suscetibilidade elétrica χe = 3,5 e polarização
v
P = 2,3x10 −7 â (C/m2) suposta linear e isotrópica.
r
4) Se o campo elétrico E1 = 2â x − 3â y + 5â z (V/m) pertence a uma interface plana e
perpendicular ao eixo z, onde ε1 = 2, encontre o campo elétrico no outro meio com ε2 = 5 e os
ângulos θ1 e θ2 que eles formam com o plano da interface.
5) Uma região 1, definida por y < 0 é o espaço livre, enquanto que a região 2, em y > 0 é um
r
r
material dielétrico para o qual εr = 2,4. Dado D 2 = 3â x − 4â y + 6â z (C/m2), pede-se E1 e os
ângulos θ1 e θ2 que eles formam respectivamente com o plano y = 0 da interface.
6) Uma interface espaço livre-dielétrico tem a equação 3x + 2y + z = 12 m. O lado em que está a
r
r
origem tem εr1 = 3,0 e E1 = 2â x + 5â z (V/m). Dentro destas condições, pede-se o vetor E 2 .
7) A
r superfície de separação de dois dielétricos passa pela origem e o vetor
A = −2â x + 5â y + 14â z lhe é perpendicular neste ponto, apontando da região 1 (εr1 = 1) para a
r
r
região 2 (εr2 = 2). Sendo E1 = 30â x − 15â y + 45â z (V/m), determine o ângulo (agudo) entre A
e o campo elétrico em cada dielétrico.
r
8) Em um ponto da superfície condutora, E = 0,70â x − 0,35â y − 1,00â z (V/m). Qual é a
densidade superficial de cargas no referido ponto?
9) Um condutor cilíndrico de raio 5 cm com eixo ao longo de z possui uma densidade superficial
de cargas ρS = ρ0/z (C/m2). Escreva uma expressão para o vetor do campo elétrico sobre a
superfície.
10) Dois condutores cilíndricos concêntricos de raios ra = 1 cm e rb = 8 cm possuem densidades
de cargas ρSa = 40 pC/m2 e ρSb, tal que o campo elétrico existe apenas entre os dois cilindros,
sendo nulo para as demais regiões. Calcule a distribuição de cargas sobre o cilindro de raio rb
e obtenha as expressões vetoriais do deslocamento e do campo elétrico entre os dois
cilindros.
11) Um condutor sólido tem uma superfície descrita por x + y = 3 m, estendendo-se até a origem.
r r
Na superfície a intensidade de campo elétrico é 0.35 V/m. Expresse E e D na superfície e
encontre a densidade superficial de cargas.
12) Um condutor que se estende pela região z < 0 tem um lado no plano z = 0, sobre o qual
existe uma densidade superficial de cargas ρ s =5×10 −10 e −10 r sen 2 φ(C / m 2 ) em coordenadas
cilíndricas. Calcule a intensidade do campo elétrico em (0.15 m, π/3, 0).
13) Um condutor esférico centrado na origem e com raio igual a 3 m apresenta uma densidade
superficial de cargas ρ s = ρ 0 cos 2 θ ( C / m 2 ) . Encontre o vetor intensidade de campo elétrico
na superfície.
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
ELETROMAGNETISMO I
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14) A intensidade do campo elétrico em um ponto sobre a superfície de um condutor é dada por
r
E = 0,2a$ x − 0,3a$ y − 0,2a$ z . Quanto vale a densidade superficial de cargas nesse ponto?
15) Calcule os módulos do vetor densidade de fluxo elétrico, polarização, e a permissividade
relativa para um material dielétrico no qual E = 0,15 MV/m, com χe = 4,25.
r
16) Dado E = − 3a$ x + 4a$ y − 2a$ z V / m na região z < 0, onde εr = 3,0, encontre o vetor
intensidade de campo elétrico na região z > 0, para qual εr = 6.0.
17) A interface plana entre dois dielétricos é dada por 3x + z = 5 m. No lado que engloba a
r
origem, D 1 = ( 4,5a$ x + 3,2a$ z ) × 10 −7 C / m 2 ) e εr1 = 4,3, enquanto que, no outro lado, εr2 =
r r r
1,8. Encontre E1 , E 2 , D 2 e θ 2 .
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