questões de matemática resolvidas pela banca

QUESTÕES DE MATEMÁTICA RESOLVIDAS PELA BANCA DA UERJ
2013 - Exame Discursivo - Questão 1
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser
obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.
Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda
daqui a três anos.
Objetivo: Calcular o valor numérico de uma função exponencial em determinado ponto.
Item do programa: Funções logarítmicas e exponenciais
Subitem do programa: Propriedades operatórias
Comentário da questão:
O valor de venda atual do imóvel é igual a 50 mil reais, logo V0 = 50 000. Deseja-se saber seu valor
daqui a três anos, logo t = 3. Pode-se obter esse valor por meio da fórmula indicada, que representa
uma função exponencial. Assim:
2013 - Exame Discursivo - Questão 2
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas. Em cada linha, os
números estão dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está
registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões
que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do
cartão X.
Determine os valores de X, Y e Z.
Objetivo: Calcular os valores de três variáveis de um sistema linear.
Item do programa: Sistemas lineares de 2 ou de 3 incógnitas
Subitem do programa: Determinação do conjunto-solução
Comentário da questão:
O cartão 4 está imediatamente acima dos cartões X e Y. Como X < Y, já que os números dos cartões
estão dispostos em ordem crescente da esquerda para a direita, Y – X = 4.
Com base no mesmo procedimento, obtêm-se as igualdades Z – 1 = X e 15 – Z = Y
Essas três igualdades dão origem ao seguinte sistema linear:
Somem-se as duas últimas equações:
Obtém-se, assim, um novo sistema:
Resolvendo-o, encontram-se X = 5 e Y = 9.
Substituindo um desses valores no primeiro sistema, tem-se Z = 6.
2013 - Exame Discursivo - Questão 3
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas
para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema:
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20
m.
Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B.
Objetivo: Calcular o comprimento da base maior de um trapézio.
Item do programa: Semelhança de figuras
Subitem do programa: Proporcionalidades
Subitem do programa: Comprimentos
Subitem do programa: Áreas
Comentário da questão:
Os trapézios A e B estão unidos por uma base comum, formando um trapézio maior. Como as laterais
de A e B possuem mesmo comprimento, essa base comum corresponde à base média, de medida M, do
trapézio maior. Assim:
As áreas dos trapézios A e B são, respectivamente, iguais a:
sendo h a altura de cada um dos trapézios A e B. Observe a ilustração:
SA e SB são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2. Logo:
Substituindo o valor de M na equação da base média, tem-se:
2013 - Exame Discursivo - Questão 4
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes
empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.
Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos
iguais e procedimento idêntico.
Objetivo: Calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Item do programa: Progressões
Subitem do programa: Aritméticas
Comentário da questão:
Observando a torre de 4 andares, e lembrando que cada cubo se apoia exatamente em um cubo da
camada de baixo, conclui-se que sua base é formada por 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos.
Analogamente, uma torre de 100 andares terá sua base composta por (1 + 2 + 3 + ...+ 100) cubos .
Trata-se, portanto, da soma de uma P. A. de 100 termos cujo primeiro termo é 1, e cuja razão é 1, já
que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é igual a 1. Calculando-se essa soma S:
2013 - Exame Discursivo - Questão 5
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Considere uma folha de papel retangular que foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada
uma com metade da área inicial da folha, conforme as ilustrações.
Esse procedimento de dobradura pode ser repetido n vezes, até resultar em partes com áreas
inferiores a 0,0001% da área inicial da folha. Calcule o menor valor de n. Se necessário, utilize em seus
cálculos os dados da tabela.
Objetivo: Calcular o número de iterações de um processo.
Item do programa: Funções logarítmicas e exponenciais
Subitem do programa: Inequações
Comentário da questão:
Com a aplicação do procedimento de dobradura descrito, obtêm-se duas partes com metade da área
inicial. Ao se repetir o procedimento, a área de cada parte resultante terá, portanto, metade da área
obtida na etapa anterior. Trata-se, portanto, de um processo que se repete, ou seja, iterativo.
Após n etapas sucessivas, a área de cada parte resultante será
da área inicial.
Pretende-se obter partes com áreas inferiores a 0,0001% da área inicial (0,000001=10 – 6 ), logo:
2 n > 10 6
De acordo com a tabela e aplicando-se a propriedade do produto de potências de mesma base:
2 19 = 2 10 × 2 9 = 10 3,01 × 10 2,70 = 10 5,71 < 10 6
2 20 = (2 10 )2 = (10 3,01 )2 = 10 6,02 > 10 6
Conclui-se que o menor valor de n que satisfaz a desigualdade 2 n > 10 6 é 20.
2013 - Exame Discursivo - Questão 6
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em
código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes - vermelha, amarela e verde. Observe a
figura:
Considere as seguintes informações:
• cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;
• qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas
verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas;
• duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é
diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.
Objetivo: Calcular permutações com repetição.
Item do programa: Contagem
Subitem do programa: Permutações
Subitem do programa: Combinações
Comentário da questão:
Cada mensagem do sistema luminoso é composta por uma sequência ordenada em que se apresentam
acesas três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos apagados.
Existem, portanto, permutações de oito elementos com repetição de 3, 2, 1, 2, ou seja:
2013 - Exame Discursivo - Questão 7
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
O gráfico abaixo representa a função polinomial P do 3º grau que intersecta o eixo das abscissas no
ponto (–1, 0).
Determine o resto da divisão de P(x) por x2 –1.
Objetivo: Calcular o resto em uma divisão de polinômios.
Item do programa: Polinômios e equações polinomiais
Subitem do programa: Operações
Comentário da questão:
Aplicando o algoritmo da divisão aos polinômios P(x) e (x2 – 1), obtém-se:
dividendo = divisor × quociente + resto
P(x) = (x2 – 1) × Q(x) + (ax + b)
Observe que o grau do resto é sempre menor que o do divisor.
De acordo com o gráfico de P:
P(–1) = 0
P(1) = 2
Então:
P(–1) = [(–1)2 –1] × Q(–1) + (a × (–1) + b) = 0
–a + b = 0
P(1) = (1 2 – 1) × Q(1) + (a × 1 + b) = 2
a +b =2
Resolvendo o sistema resultante:
a =b =1
Assim, o resto da divisão é x + 1.
2013 - Exame Discursivo - Questão 8
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Um professor propõe a um aluno uma tarefa de matemática composta das etapas descritas a seguir.
1ª Escrever o número de quatro algarismos da data de seu aniversário, dois referentes ao dia e dois
referentes ao mês.
2ª Misturar os quatro algarismos desse número formando um número N, de modo que a ordem das
unidades de milhar não seja ocupada
por zero.
3ª Subtrair 1001 do número N, tantas vezes quantas forem necessárias, até obter o primeiro valor
menor do que 1001.
4ª Informar ao professor o valor obtido na 3ª etapa.
5ª Calcular o resto R da divisão do número N, obtido na 2ª etapa, por 11.
O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N.
Sabendo que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, determine R.
Objetivo: Calcular o resto em uma divisão de números naturais.
Item do programa: Conjuntos numéricos
Subitem do programa: Naturais
Comentário da questão:
A 3ª etapa da tarefa consiste em dividir N por 1001, obtendo-se o resto dessa divisão que atenda a:
N = 1001q + R, com 0
R < 1001
sendo q o quociente e R o resto.
Observando que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, tem-se:
N = 1001q +204
Efetuando a fatoração de 1001, observa-se que ele é divisível por 11:
1001 = 7 × 11 × 13
Dividindo-se 204 por 11, obtém-se:
204 = 18 × 11 + 6
Então:
N = 7 × 11 × 13q + 18 × 11 + 6
N = 11 (7 × 13q + 18) + 6
Observe que o resto de uma divisão tem de ser menor que o divisor. Desse modo:
N = 11 × q’ + 6, com 0
6 < 11
q’ = 7 × 13q + 18
Então, 6 é o resto da divisão de N por 11.
2013 - Exame Discursivo - Questão 9
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em
torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x2 + y2 = 25.
Observe a figura:
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P (4, 3). A partir desse
instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P.
Determine a equação dessa reta.
Objetivo: Calcular a equação de uma reta tangente a uma circunferência.
Item do programa: Geometria analítica no R2
Subitem do programa: Circunferência
Comentário da questão:
A equação x2 + y2 = 25 representa uma circunferência de centro na origem dos eixos coordenados e
raio medindo 5 unidades.
Com base nos conhecimentos de geometria, a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de
tangência. Observe a ilustração:
Um vetor normal à reta tangente é dado por:
Desse modo, a equação da reta tangente tem a forma 4x + 3y + c = 0. Como P(4, 3) pertence a essa
reta,
4 × 4 + 3 × 3 + c = 0. Logo, c = – 25.
Portanto, a reta tangente tem equação 4x + 3y = 25.
2013 - Exame Discursivo - Questão 10
Disciplina: Matemática
Ano 5, n. 12, ano 2012
Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um
sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do
prisma, conforme representado na figura.
Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.
Objetivo: Calcular a razão entre grandezas de uma mesma espécie.
Item do programa: Sólidos com arestas
Subitem do programa: Poliedros
Subitem do programa: Prismas
Subitem do programa: Volumes
Subitem do programa: Inscrição
Comentário da questão:
O poliedro é formado por duas pirâmides hexagonais regulares congruentes. Cada uma tem metade da
altura do prisma original. Sejam a a medida das arestas da base do prisma e a’ a medida das arestas
das bases das pirâmides que compõem o poliedro. Sejam ainda h e h’ as medidas da altura do prisma e
da altura das pirâmides, respectivamente.
Observe as ilustrações:
Valem as relações:
Então:
sendo B a área da base do prisma e B’ a área da base das pirâmides.
Desse modo, obtêm-se os volumes V do prisma e V’ do poliedro:
V=B× h
Portanto:
2012 - Exame Discursivo - Questão 1
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do
produto A corresponde a
de X, e o do produto B corresponde à fração restante.
No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A.
Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor,
em reais, que o cliente deixou de gastar.
Objetivo: Calcular a raiz de uma equação.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Estudo dos conjuntos numéricos: números racionais (porcentagem)
Comentário da questão:
A soma dos valores pagos pelos produtos A e B é 350 reais. Como houve redução de 10% no preço do
produto A, pode-se escrever:
Desse modo, o cliente deixou de gastar 375,00 – 350,00 = R$ 25,00.
2012 - Exame Discursivo - Questão 2
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.
Considere um cliente que foi a esse restaurante todos os dias de uma mesma semana, pagando um
rodízio em cada dia.
Determine o valor médio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodízio nessa semana.
Objetivo: Calcular uma média aritmética.
Item do programa: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Média aritmética ponderada
Comentário da questão:
Durante uma semana, o preço unitário do rodízio é R$ 18,50 em 4 dias e R$ 22,00 em 3 dias.
Portanto, o valor médio V pago por um rodízio nesta semana é igual a:
2012 - Exame Discursivo - Questão 3
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
´
Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.
Considere agora outro cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para
comer pizzas nesse sistema de rodízio, pagando também um rodízio em cada dia.
Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mínimo possível.
Objetivo: Calcular uma probabilidade.
Item do programa: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Probabilidades: definição
Comentário da questão:
Em 4 dias da semana, o custo de cada rodízio é R$ 18,50 e, nos outros 3 dias, R$ 22,00.
Para que o valor gasto seja mínimo, o cliente deverá ir ao restaurante 2 dias em que o valor do rodízio
seja R$ 18,50.
Como há 4 dias em que o rodízio tem esse valor, haverá o seguinte número de possibilidades de
escolha para se fazer o pagamento mínimo:
O número total de possibilidades de escolha de quaisquer 2 dias em uma semana para ir ao rodízio é
dado por:
Portanto, a probabilidade P de escolher 2 dias em uma semana e se gastar o mínimo possível
corresponde a:
2012 - Exame Discursivo - Questão 4
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado até o
momento em que ele para. Essa distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o
carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.
O gráfico abaixo indica a distância de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em função de sua
velocidade
, em quilômetros por hora.
Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a velocidade de 100 km/h. Calcule
sua distância de frenagem, em metros.
Objetivo: Calcular a imagem de uma função num ponto.
Item do programa: Funções e gráficos
Subitem do programa: Função quadrática
Comentário da questão:
A distância de frenagem d é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade v que o carro está
desenvolvendo no instante em que o freio é acionado:
d = kv2
sendo k a constante de proporcionalidade.
Para v = 50 km/h, a distância d é igual a 32 m, logo:
Para v = 100 km/h, a distância de frenagem d corresponde a:
2012 - Exame Discursivo - Questão 5
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas
varetas, linha e papel.
As varetas estão representadas pelos segmentos
e
. A linha utilizada liga as extremidades A, B,
C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.
Os segmentos
Se os segmentos
e
são perpendiculares em E, e os ângulos
e
linha, representada por
e
são retos.
medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine o comprimento total da
+
+
+
.
Objetivo: Calcular o perímetro de um quadrilátero.
Item do programa: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Relações métricas no triângulo retângulo
Comentário da questão:
Os triângulos ABC e ADC são congruentes, portanto
Para calcular
usam-se duas relações importantes entre segmentos de um triângulo
retângulo:
Têm-se os seguintes valores:
Logo:
e
Então,
2012 - Exame Discursivo - Questão 6
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por números, foi utilizado um sistema no qual cada
letra do alfabeto está associada a um único número n, formando a sequência de 26 números ilustrada
na tabela:
Para utilizar o sistema, cada número n, correspondente a uma determinada letra, é transformado em
um número f (n), de acordo com a seguinte função:
As letras do nome ANA, por exemplo, estão associadas aos números [1 14 1]. Ao se utilizar o sistema,
obtém-se a nova matriz [f (1) f (14) f (1)], gerando a matriz código [5 36 5].
Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome corresponde à seguinte matriz código: [7 13 5
30 32 21 24].
Identifique esse nome.
Objetivo: Transferir conhecimentos sobre função inversa para cálculo de elementos de um conjunto
imagem.
Item do programa: Funções e gráficos
Subitem do programa: Conceito de função inversa
Comentário da questão:
Com base na função
quando
tem-se
e
quando
tem-se
.
Então, a matriz [7, 13, 5, 30, 32, 21, 24] é igual a:
O nome da destinatária é Beatriz.
2012 - Exame Discursivo - Questão 7
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de
um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse
paralelepípedo é igual a 3 m.
Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.
Objetivo: Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo.
Item do programa: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Estudo de sólidos: prismas
Comentário da questão:
Considere-se a a medida da aresta da base quadrada do paralelepípedo retângulo. Como a altura
desse paralelepípedo mede 1 m, sua capacidade máxima é determinada pelo seguinte volume:
ou seja,
A maior distância entre dois pontos em um paralelepípedo retângulo corresponde à medida de uma de
suas diagonais. Como a diagonal de um paralelepípedo retângulo é determinada por
sendo a, b e c as dimensões desse paralelepípedo, então:
Elevando ao quadrado os dois membros dessa equação, obtém-se:
Logo, a medida a de uma aresta da base é igual a 2 m. Consequentemente, o volume do prisma é igual
a:
Portanto, a capacidade máxima da caçamba é de 4 m3 .
2012 - Exame Discursivo - Questão 8
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau:
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
Objetivo: Calcular as raízes de uma equação polinomial.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Polinômios: equações polinomiais
Comentário da questão:
Uma equação da forma a 4 = b 4 tem como duas de suas soluções a = b ou a = – b.
Então (x+ 2)4 = x4 tem como possíveis soluções x + 2 = x ou x + 2 = – x. Observando que a primeira
equação é impossível, deve-se ter x + 2 = – x
x=–1 como uma de suas raízes.
Desenvolvendo-se o primeiro termo, encontra-se:
(x + 2)4 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16
Então, a equação original é equivalente a:
x4 + 8x3 + 24x2 +32x + 16 = x4
8x3 + 24x2 + 32x + 16 = 0 (*)
Como já se sabe que –1 é uma de suas raízes, pode-se aplicar Briot-Ruffini para obter as outras duas
raízes dessa equação.
Desse modo, a equação (*) se reduz a:
(x + 1) (8x3 + 16x + 16) = 0
Analisando o fator 8x2 + 16x + 16 = 0, pode-se escrever 8(x2 + 2x + 2) = 0. As demais raízes são
obtidas resolvendo-se x2 + 2x + 2 = 0.
Tem-se
Então,
Logo, as raízes são –1, –1 + i e –1– i.
2012 - Exame Discursivo - Questão 9
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o
seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais.
Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas
para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério.
Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.
Objetivo: Calcular o número de elementos de um conjunto finito.
Item do programa: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Análise combinatória: combinações
Comentário da questão:
Inicialmente havia n capitais ligadas duas a duas por um total de
estradas pavimentadas.
Com a criação de duas novas capitais, o total de estradas pavimentadas passa a ser
Como foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para atingir esse total, tem-se:.
Inicialmente, portanto, havia 10 capitais.
2012 - Exame Discursivo - Questão 10
Disciplina: Matemática
Ano 4, n. 11, ano 2011
A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa retangular BFGH na qual estão apoiados os
seguintes instrumentos para desenho geométrico, ambos de espessuras desprezíveis:
- um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro
;
- um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles.
Considere as informações abaixo:
está contido em
;
está contido em
;
= 10 cm;
= 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que liga a borda do transferidor à borda do
esquadro.
Objetivo: Calcular distância mínima entre duas curvas planas.
Item do programa: Vetores e geometria analítica
Subitem do programa: Geometria analítica no
: estudos de retas
Comentário da questão:
Como a borda do transferidor é a semicircunferência AB de centro O, e a borda do esquadro é o
segmento de reta
, então o menor segmento que liga essa bordas encontra-se sobre a reta r que
contém o ponto O e é perpendicular ao segmento
.
Portanto, um modo de calcular a medida do segmento
é determinar a distância do ponto O à reta
e subtrair dessa medida o valor do raio da semicircunferência AB.
Admitindo um sistema cartesiano com origem em B e eixos coordenados nas posições habituais, têm-se:
O=(0,5)
A = (0,10)
D = (13,0)
C = (13,10)
E = (3,0)
Então, a reta
tem coeficiente angular
e equação y – 0 = 1(x – 3), ou seja, y = x – 3
x – y – 3 = 0.
Utilizando a fórmula da distância do ponto P(xo , yo ) à reta ax + by + c = 0, dada por
tem-se
Como a distância d, do ponto O à reta
, mede
, a medida do segmento
será
Veja, a seguir, outra solução possível para esse problema.
Traçando a reta perpendicular ao segmento
em
que contém o ponto O, obtêm-se os pontos I em
,J
e K em AB. Pela perpendicularidade da reta traçada, os triângulos EIJ e OBI são ambos
retângulos isósceles. Desse modo, deduz-se que:
Em relação aos segmentos contidos em
Como
Como
, tem-se ainda:
pode-se concluir que:
EIJ é retângulo isósceles , então
Portanto, a distância entre as bordas dos instrumentos de desenho corresponde a:
2011 - Exame Discursivo - Questão 1
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Um supermercado realiza uma promoção com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas plásticas: o
cliente que não utilizar as sacolas disponíveis no mercado terá um desconto de R$0,03 a cada cinco
itens registrados no caixa.
Um participante dessa promoção comprou 215 itens e pagou R$155,00.
Determine o valor, em reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras e não participasse
da promoção.
Objetivo: Calcular o valor monetário com base em raciocínio aritmético simples.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Aritmética dos números inteiros: números naturais e inteiros (operações
fundamentais); estudos dos conjuntos numéricos: números racionais
Comentário da questão:
Sabendo que o cliente comprou 215 itens e a cada 5 itens ele obteve um desconto de 3 centavos,
pode-se deduzir que, em 215 itens, foi obtido um desconto de R$ 1,29, isto é, 215
5
0,03. Desse
modo, se não tivesse participado da promoção, o cliente teria pago R$ 156,29, ou seja, 155,00 + 1,29.
2011 - Exame Discursivo - Questão 2
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma
estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da
quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de
passageiros no vagão corresponde a 120.
Determine o valor de n.
Objetivo: Calcular o valor de uma variável em função de porcentagens apresentadas.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Estudo dos conjuntos numéricos: porcentagem
Comentário da questão:
Inicialmente, havia no vagão n passageiros. Após o desembarque de 20% desses passageiros,
restaram no vagão 80% desses passageiros, ou seja, 0,8n. Em seguida, entraram no vagão 20% dessa
quantidade, totalizando uma porcentagem de 120% de 0,8n, isto é, 1,2
0,8
n =120. Logo:
n= 125
2011 - Exame Discursivo - Questão 3
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Considere a equação:
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação:
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto.
Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto-solução.
Objetivo: Indicar a resolução da equação e descrever seu conjunto solução.
Item do programa: Funções e gráficos
Subitem do programa: Equação logarítmica
Comentário da questão:
As duas primeiras linhas da resolução do aluno estão corretas e podem ser obtidas utilizando-se
propriedades operatórias dos logaritmos. Em seguida, deixando todas as variáveis no primeiro membro
da equação e fatorando-a, obtém-se:
Resolvendo a nova equação, encontra-se:
2011 - Exame Discursivo - Questão 4
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras:
- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima,
dizendo "cara" ou "coroa";
- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez;
ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;
- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo:
O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual
a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro.
Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.
Objetivo: Calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Estudo dos conjuntos numéricos: progressões aritméticas
Comentário da questão:
A cada erro são escritas 4 letras a mais que no erro anterior. Logo, está-se formando uma P.A. cujo
primeiro termo é 4 e a razão é 4:
(4; 8; 12; 16;...an)
Para determinar em que etapa o jogo termina, ou seja, quando o número total de letras escritas do
primeiro ao último erro é igual a dez vezes o número de letras consideradas apenas em razão do
enésimo erro, deve-se resolver a seguinte equação:
4 + 8 +12 + 16 +... an = 10an
Resolvendo-se essa equação obtém-se:
2011 - Exame Discursivo - Questão 5
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16
horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura.
Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do
qual a vela A foi acesa.
Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas.
Objetivo: Calcular a medida de duas alturas.
Item do programa: Vetores e geometria analítica
Subitem do programa: Geometria analítica no R2 e R3: estudo de retas
Comentário da questão:
Solução por geometria analítica
Vamos chamar de k a altura inicial da vela A. Então, a altura inicial da vela B será k_2.
De acordo com o gráfico, a reta que representa a variação de alturas da vela A em função do tempo
contém os pontos (0,k) e (5,0). Então essa reta tem como equação:
Do mesmo modo, a reta que representa a variação de alturas da vela B em função do tempo contém os
pontos (6,0) e (1,k_2). Logo sua equação é:
Observando o gráfico, nota-se que as alturas são iguais quando x=2. A partir dessa informação, tem-se
a seguinte igualdade:
Resolvendo essa igualdade:
Portanto, as alturas das velas A e B são, respectivamente, 8 cm e 6 cm.
Solução por geometria plana
Semelhança dos triângulos:
ABC e EDC
(1)
FGH e DEH
(2)
Fazendo (1) _ (2), tem-se:
2011 - Exame Discursivo - Questão 6
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi
instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano,
45º com o chão e a segunda parte,
parede inicial.
Observe a ilustração:
, faz um ângulo de
, congruente com a primeira, forma um ângulo de 45º com a
Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, formado por suas duas partes.
Objetivo: Calcular a medida de um ângulo.
Item do programa: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Relações métricas e angulares no triângulo retângulo: aplicações; teorema de
Pitágoras; lei dos cossenos
Comentário da questão:
Solução por geometria espacial
Chamando de a a medida do segmento de reta
T se encontra a uma distância de
Por esse mesmo motivo, o segmento
e do segmento de reta
mede a unidades.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao
triângulo BCT obtém-se:
Finalmente, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo BAT tem-se:
Resolvendo a equação resultante:
Solução por vetores em R3
As coordenadas dos pontos B, A e T são:
, conclui-se que a tomada
unidades do chão devido aos ângulos de 45 graus formados.
Os vetores
e
possuem as seguintes coordenadas:
e
2011 - Exame Discursivo - Questão 7
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o
jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido
aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha,
um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal.
Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.
Objetivo: Calcular a probabilidade do evento descrito.
Item do programa: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Probabilidade condicional
Comentário da questão:
Dois eventos independentes devem ser considerados:
​
escolher 3 juízes de um grupo de 10 juízes, sendo X um deles;
​
escolher o juiz principal dentre os 3 juízes previamente escolhidos.
Como X já faz parte do grupo escolhido no evento 1, na verdade, há 9 juízes dentre os quais serão
escolhidos mais 2, ou seja:
O espaço amostral terá o seguinte número de elementos:
Então:
Feito isso, a probabilidade de escolher X entre os 3 juízes previamente escolhidos será:
Portanto, a probabilidade de que X seja o juiz principal é:
2011 - Exame Discursivo - Questão 8
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Considere a matriz A3 × 3 abaixo:
Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:
Nessa relação, os arcos θ1 , θ2 e θ3 são positivos e menores que
radianos.
Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.
Objetivo: Calcular o valor numérico do determinante da matriz.
Item do programa: Vetores e geometria analítica
Subitem do programa: Matrizes: determinantes
Item do programa 2: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Equações trigonométricas
Comentário da questão:
Observando-se os elementos da diagonal principal da matriz, juntamente com a relação que os define,
conclui-se que:
a22 = a33 = 1 = 2 sen θ2 cos θ2 = 2 sen θ3 cos θ3
sen (2θ2 ) = sen (2 θ3 ) = 1
Ou seja:
θ2 = θ3 = 45 o
Desse modo, a matriz apresenta duas colunas iguais e, consequentemente, seu determinante é 0.
2011 - Exame Discursivo - Questão 9
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um
tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:
Considere os seguintes dados:
∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma;
∙
1 m.
Determine o volume inicial da pedra.
Objetivo: Calcular o volume de um sólido.
Item do programa: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Estudo de sólidos: prismas e pirâmides
Comentário da questão:
De acordo com a figura, as faces VBC e ABC do tetraedro regular encontram-se inscritas nas faces
laterais BCFD e BCGE, respectivamente. Então, o ângulo DBE é congruente ao ângulo da seção
meridiana VMA que contém o ponto M, médio de BC. Aplicando a lei dos cossenos a esse triângulo,
obtém-se:
Substituindo os valores numéricos e resolvendo a equação resultante tem-se:
Como os ângulos VMA e EBD são congruentes, conclui-se que:
Calculando o volume do prisma:
2011 - Exame Discursivo - Questão 10
Disciplina: Matemática
Ano 3, n. 9, ano 2010
O gráfico acima representa uma função polinomial P de variável real, que possui duas raízes inteiras e é
definida por:
Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio.
Objetivo: Calcular o valor do termo independente e das raízes do polinômio.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Equações polinomiais: pesquisa de raízes racionais e raízes imaginárias
Comentário da questão:
Como 1 é uma raiz do polinômio, P(1)=0, ou seja:
Observando o gráfico da função polinomial, nota-se que -2 também é uma raiz de P. Para determinar as
outras duas raízes, deve-se dividir P por (x-1)(x+2), obtendo o polinômio quadrático x2 -4x+8.
Resolvendo a equação:
Logo as quatro raízes desse polinômio são -2; 1; 2+2i e 2-2i.
2010 - Exame Discursivo - Questão 1
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em
reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.
A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida
constante ao longo de um determinado período.
Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao
da empresa B.
Objetivo: Calcular o número de termos presentes nas progressões aritméticas apresentadas, utilizando
procedimentos pessoais ou convencionais.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Progressões aritméticas
Comentário da questão:
Progressão aritmética formada pelos valores das doações da empresa A:
(12.000, 11.400, 10.800,..., a n , ...), sendo a 1 = 12.000 e ra = - 600
Progressão aritmética formada pelos valores das doações da empresa B:
(300, 600, 900,..., b n , ...), sendo b 1 = 300 e rb = 300
O valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B quando a n = b n . Assim:
a 1 + (n - 1) ra = b 1 + (n - 1) rb
12.000 + (n - 1) (- 600) = 300 + (n - 1) (300)
12.000 - 300 = (n - 1) (600 + 300)
11.700 = (n - 1) 900
13 = n - 1
n = 14 meses
Como a primeira doação foi feita em janeiro de 2010, os valores dos depósitos coincidirão em fevereiro
de 2011.
2010 - Exame Discursivo - Questão 2
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos
médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O
retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo.
Calcule a razão
.
Objetivo: Calcular as medidas dos lados de triângulos utilizando procedimentos convencionais.
Item do programa: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Relações métricas no triângulo retângulo: aplicações; teorema de Pitágoras
Comentário da questão:
Observe o quadrado e o retângulo abaixo:
O retângulo é formado com as mesmas peças do quadrado, logo:
A seguinte relação é válida para o triângulo retângulo ADM:
Como
pode-se obter a razão:
2010 - Exame Discursivo - Questão 3
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação,
em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante.
Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre.
Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente.
Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m
conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre.
Calcule o valor de
Objetivo: Calcular o número de elementos de um conjunto com base em técnicas de contagem,
utilizando procedimentos pessoais ou convencionais.
Item do programa: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Análise combinatória: princípio fundamental da contagem (aditivo e
multiplicativo); combinações (agrupamentos não ordenados)
Comentário da questão:
Para um conjunto formado com as seis teclas habilitadas pelo fabricante, o número n de subconjuntos
distintos formados com três teclas distintas será:
Para um conjunto formado com as cinco teclas habilitadas pelo fabricante, o número m de subconjuntos
distintos formados com três teclas distintas será:
Logo:
2010 - Exame Discursivo - Questão 4
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Uma criança guarda moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na
caixa amarela, há, exatamente, 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50.
Admita que, após a transferência de n moedas de R$ 1,00 da caixa verde para a amarela, a
probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela seja igual a 50%.
Calcule o valor de n.
Objetivo: Calcular o número de elementos de um conjunto com base na definição de probabilidade de
um evento, utilizando procedimentos pessoais ou convencionais.
Item do programa: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Probabilidades: definição, espaço amostral e eventos
Comentário da questão:
Na caixa amarela, havia exatamente 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50. Após a
transferência de n moedas de R$ 1,00, a caixa amarela terá:
​(12 + n) moedas de R$ 1,00
​(12 + n + 15) moedas de R$ 1,00 e R$ 0,50
A probabilidade igual a 50% de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela é dada por:
2010 - Exame Discursivo - Questão 5
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano que contém duas diagonais de faces opostas
da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto,
conforme ilustrado abaixo.
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão
entre o volume do cilindro e o da caixa.
Objetivo: Transferir conhecimentos referentes às relações métricas no triângulo para cálculo de volume
de sólidos.
Item do programa: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Estudo de sólidos: prismas, cilindros (elementos e volumes); inscrição e
circunscrição de sólidos
Comentário da questão:
Observe a figura abaixo, que representa parte da face superior do sólido:
A hipotenusa do triângulo retângulo isósceles da figura mede
Os volumes dos sólidos são dados por:
Logo:
. Portanto:
2010 - Exame Discursivo - Questão 6
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Sejam
e
dois números reais positivos e A, G e H, respectivamente, as médias aritmética, geométrica
e harmônica desses dois números. Admita que
geométrica de razão
Determine
>
e que a sequência (A, G, H) seja uma progressão
.
.
Objetivo: Calcular a razão entre dois números com base na definição de progressões geométricas e de
médias.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Progressões geométricas
Item do programa 2: Análise combinatória e estatística
Subitem do programa: Médias: aritmética simples, geométrica e harmônica
Comentário da questão:
Considerando as definições de médias, A, G e H são dadas por:
A sequência (A,G,H) é uma P.G. de razão
e
são números reais positivos, com
> , logo:
2010 - Exame Discursivo - Questão 7
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos
partes, como mostra a figura.
e
em três
Admita que os segmentos de reta
e
estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do
terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S.
Determine o maior valor, em m2 , que S pode assumir.
Objetivo: Transferir conhecimentos acerca de função polinomial de 2º grau para cálculo de área.
Item do programa: Funções e gráficos
Subitem do programa: Função quadrática: estudo de máximo
Item do programa 2: Geometria e trigonometria
Subitem do programa: Áreas de polígonos e suas partes
Comentário da questão:
Considere as seguintes equivalências:
Assim:
Logo:
2010 - Exame Discursivo - Questão 8
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15
gols cada um. O número total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas,
apenas cinco marcaram mais de 13 gols.
Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols.
Objetivo: Descrever as soluções inteiras de um sistema linear.
Item do programa: Vetores e Geometria Analítica
Subitem do programa: Sistemas lineares de equações com três incógnitas
Comentário da questão:
Em relação aos jogadores premiados, considere:
x = número de atletas que marcaram 13 gols
y = número de atletas que marcaram 14 gols
z = número de atletas que marcaram 15 gols
Logo:
13x + 14y + 15z = 125
y+z =5
z = 5 - y, sendo 0
y
5
Assim:
13x + 14y + 15(5 - y) = 125
13x + 14y + 75 - 15y = 125
13x - y = 50
y = 13x - 50
Como:
0
y
0
13x - 50
50
5
13x
5
55
x=4
Portanto:
y = 13x - 50 = 13
4 - 50 = 2
z =5 -y=5 -2 =3
O número de atletas que fizeram 15 gols é igual a 3.
2010 - Exame Discursivo - Questão 9
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
Suponha que
e
são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes,
conforme as igualdades a seguir:
Calcule a razão
.
Objetivo: Calcular a razão entre dois números com base na definição de logaritmo.
Item do programa: Funções e gráficos
Subitem do programa: Funções logarítmica e exponencial: equações
Comentário da questão:
Considere as seguintes igualdades:
log 9 x= log 6 y = log 4 (x + y) = k
Assim, têm-se:
log 9 x = k
9k = x
log 6 y = k
6k = y
log 4 (x + y) = k
4 k = (x + y )
Logo:
4k = 9k + 6k
4k - 6k - 9k = 0
(2 k )2 - 3 k (2 k ) - 3 2k = 0
Considerando z = 2 k :
z 2 - 3 k z - 3 2k = 0
Como z é positivo:
Portanto:
2010 - Exame Discursivo - Questão 10
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 5, ano 2009
As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais e
argumentos distintos.
O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo
.
Determine a medida de θ.
Objetivo: Descrever as raízes imaginárias de uma equação polinomial e calcular a medida de um ângulo.
Item do programa: Aritmética e álgebra
Subitem do programa: Polinômios: equações polinomiais (relações entre coeficientes e raízes, teorema
fundamental da álgebra, pesquisa de raízes racionais, raízes imaginárias)
Comentário da questão:
Na equação z6 + z3 +1 = 0, substitui-se z3 por y:
Para determinar as raízes cúbicas de um número complexo w =
relação:
r (cosθ + isenθ), usa-se a seguinte
Portanto, as raízes cúbicas do número complexo
são determinadas por:
Analogamente, as raízes cúbicas do número complexo
são determinadas por:
Como
2009 - Exame Discursivo - Questão 1
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8
são, respectivamente, 7 e 5.
Determine o resto da divisão do produto a.b por 8.
Objetivo: Calcular o resto de uma divisão, utilizando procedimentos convencionais.
Item do programa: Aritmética e Álgebra
Subitem do programa: Aritmética dos números inteiros: a) números naturais e inteiros: operações
fundamentais;
Comentário da questão:
a e b são números inteiros positivos. Na divisão de a e b por 8, obtêm-se, respectivamente, restos 7 e 5.
Dessa forma, é possível escrever:
Logo:
Conclui-se que o resto da divisão do produto a.b por 8 é igual a 3.
2009 - Exame Discursivo - Questão 2
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Calcule o valor de n.
Objetivo: Reconhecer uma progressão aritmética e calcular o número de termos nela presentes,
utilizando procedimentos convencionais.
Item do programa: Aritmética e Álgebra
Subitem do programa: Progressões aritméticas e geométricas, suas aplicações em matemática
financeira: juros simples e compostos, valor futuro e valor atual.
Comentário da questão:
A progressão aritmética formada pelos comprimentos em centímetros de cada salto válido corresponde
a: (704, 707, 710, ..., 722). Assim, o número de termos dessa P.A., de razão r = 3, é determinado por:
Como, entre cada dois saltos válidos consecutivos, temos um salto inválido, conclui-se que foram
realizados 7 saltos válidos e 6 saltos inválidos, perfazendo um total de 13 saltos.
2009 - Exame Discursivo - Questão 3
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Considere a situação abaixo:
Essa solução está errada. Apresente a solução correta.
Objetivo: Calcular o número de elementos de um determinado conjunto, utilizando procedimentos
pessoais ou convencionais.
Item do programa: Análise Combinatória e Estatística
Subitem do programa: Análise Combinatória: princípio fundamental da contagem (aditivo e
multiplicativo); princípio da inclusão e exclusão; arranjos (agrupamentos ordenados) e combinações
(agrupamentos não ordenados)
Comentário da questão:
Nesta situação, há seis possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas,
existem seis possibilidades de se escolher um homem.
Portanto, o número de maneiras distintas de se formar um casal é dado por:
2009 - Exame Discursivo - Questão 4
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola
perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma.
Admitindo
determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em
relação ao volume da caixa.
Objetivo: Transferir conhecimentos referentes a relações métricas no triângulo para cálculo de volume
de sólidos.
Item do programa: Geometria e Trigonometria
Subitem do programa: Esfera e suas partes: áreas e volumes.
Comentário da questão:
O volume VB da bola e o volume VC interno da caixa correspondem a:
Sendo:
AB - área da base do prisma
h - altura do prisma
L - lado do triângulo obtido da seção reta do prisma
r - raio da esfera
Observe as ilustrações:
Considerando o triângulo BCH na segunda ilustração, tem-se:
Logo:
2009 - Exame Discursivo - Questão 5
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que corta o
eixo das abscissas nos pontos A e B.
Calcule o valor numérico de
sabendo que o triângulo ABV é equilátero.
Objetivo: Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, utilizando procedimentos
convencionais.
Item do programa: Funções e gráficos
Subitem do programa: Função quadrática: gráficos; máximo ou mínimo; variação de sinal; inequações
produto e quociente.
Comentário da questão:
As raízes da função quadrática são dadas por:
Sendo:
O lado L do triângulo é dado pelo comprimento do segmento
. Assim:
A altura do triângulo relativa ao vértice V é:
Comparando as expressões para h, tem-se:
2009 - Exame Discursivo - Questão 6
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento
um marceneiro traça dois segmentos de reta,
por 10 dm de largura
. No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar
um prego, ocorre a interseção desses segmentos.
A figura abaixo representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos
coordenados.
Considerando a medida do segmento
igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F.
Objetivo: Discriminar as coordenadas de um ponto no plano.
Item do programa: Vetores e Geometria Analítica
Subitem do programa: Geometria analítica no R²: reta e cônicas (circunferência, elipse, hipérbole e
parábola).
Comentário da questão:
y = ax + b é a equação reduzida de uma reta.
A reta
passa pelos pontos A = (0, 0) e E = (10, 10), logo sua equação é dada por:
Substituindo:
y=x
A reta
passa pelos pontos D = (0, 10) e B = (15, 0), logo sua equação é dada por:
Substituindo:
O ponto de interseção dessas retas é a solução do sistema:
Assim:
F = (6, 6)
2009 - Exame Discursivo - Questão 7
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Uma seqüência de três números não nulos (a, b, c) está em progressão harmônica se seus inversos
, nesta ordem,
formam uma progressão aritmética.
As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica.
Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação.
Objetivo: Descrever as raízes de uma equação polinomial do 3°grau.
Item do programa: Aritmética e Álgebra
Subitem do programa: Polinômios: c) equações polinomiais: relações entre coeficientes e raízes,
teorema fundamental da Álgebra, pesquisa de raízes racionais, raízes imaginárias.
Comentário da questão:
Se a, b e c são as raízes e
Na equação
Como
formam uma progressão aritmética, então:
, encontram-se as seguintes relações entre coeficientes e raízes:
, a equação
tem-se:
Assim, as raízes são {5; 1 + 2i ; 1 - 2i}.
possui raízes a e c. Resolvendo essa equação,
2009 - Exame Discursivo - Questão 8
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Objetivo: Calcular o comprimento de uma curva no plano.
Item do programa: Geometria e Trigonometria
Subitem do programa: Relações métricas e angulares em quadriláteros, polígonos regulares e círculos.
Comentário da questão:
O triângulo ABD é retângulo isósceles. Observe:
Os arcos AE e BF possuem mesmo raio
O arco EF tem 90º e seu raio é
Então:
comprimento (EF) =
comprimento (AEFB) =
e mesmo comprimento igual a
2009 - Exame Discursivo - Questão 9
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados copas,
espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles.
Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e
K são denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e rei.
Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, não rasgadas, foram
guardadas em uma caixa.
A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas:
Calcule o valor de n.
Objetivo: Calcular a probabilidade de um evento utilizando procedimentos convencionais.
Item do programa: Análise Combinatória e Estatística
Subitem do programa: Probabilidades: definição, espaço amostral e eventos; probabilidades da união e
interseção de eventos; probabilidade condicional; eventos independentes e distribuição binomial
Comentário da questão:
O número de cartas não rasgadas, guardadas na caixa, é denotado por n.
As probabilidades indicadas de retirada de algumas cartas podem ser descritas da seguinte forma:
- um rei
- uma carta de copas
- uma carta de copas ou um rei
A probabilidade de retirada do rei de copas é dada por
.
Assim:
Como a probabilidade de
é diferente de zero, pode-se concluir que existe um rei de copas na
caixa.
Então:
n = 40
2009 - Exame Discursivo - Questão 10
Disciplina: Matemática
Ano 2, n. 3, ano 2009
CONSIDERE O TEOREMA E OS DADOS A SEGUIR PARA A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
Calcule tg(a _ b + c).
Objetivo: Calcular uma função trigonométrica.
Item do programa: Geometria e Trigonometria
Subitem do programa: Fórmulas trigonométricas de adição, subtração e duplicação de arcos.
Comentário da questão:
Considerando
Dado que tg(b) = 2 e fazendo
, aplica-se o teorema:
, segue que:
Aplicando novamente o teorema, considerando agora
:
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